九年级下册数学教案 2-5 第1课时 二次函数与一元二次方程1 北师大版

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九年级下册数学教案 2-5 第1课时 二次函数与一元二次方程1 北师大版

‎2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 ‎1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系;(重点)‎ ‎2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根;(重点)‎ ‎3.通过观察二次函数与x 轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.(难点)‎ ‎                   ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 一、情境导入 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示.现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离OC=2.4m.当水位上升一定高度到达点F时,这时,离水面距离CF=1.5m,则涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?‎ 根据已知条件,要求ED宽,只要求出FD的长度.在如图所示的直角坐标系中,只要求出点D的横坐标即可.‎ 由已知条件可得到点D的纵坐标,又因为点D在涵洞所成的抛物线上,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标.你会求吗?‎ 二、合作探究 探究点一:二次函数与一元二次方程 ‎ ‎【类型一】 求抛物线与x轴的交点坐标 ‎ 已知二次函数y=2x2-4x-6,它的图象与x轴交点的坐标是________________.‎ 解析:y=2x2-4x-6=2(x2-2x-3)=2(x-3)(x+1),设2(x-3)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1,∴它的图象与x轴交点的坐标是(3,0),(-1,0).故答案为(3,0),(-1,0).‎ 方法总结:抛物线与x轴的交点的横坐标,就是二次函数为0时,一元二次方程的解.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 ‎【类型二】 判断抛物线与x轴交点的个数 ‎ 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).‎ ‎(1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点;‎ ‎(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.‎ 解析:(1)只需证明Δ=(m+2)2-4m×2≥0即可;(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标,然后根据x的值来求正整数m的值.‎ ‎(1)证明:∵m≠0,∴Δ=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,∴此抛物线与x轴总有两个交点;‎ ‎(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,所以 x-1=0或mx-2=0,解得 x1=1,x2=.当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数.所以正整数m的值为1或2.‎ 方法总结:解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点.[来源:学科网][来源:学+科+网]‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“‎ 课堂达标训练”第8题 ‎【类型三】 已知抛物线与x轴的交点个数,求字母系数的取值范围 ‎ 已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,求k的取值范围.‎ 解析:应分k-3=0和k-3≠0两种情况进行讨论,(1)当k-3=0即k=3时,此函数是一次函数;(2)当k-3≠0,即k≠3时,此函数是二次函数,根据函数图象与x轴有交点可知Δ=b2-4ac≥0,求出k的取值范围即可.‎ 解:当k=3时,函数y=2x+1是一次函数.∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点,∴k=3;‎ 当k≠3时,y=(k-3)x2+2x+1是二次函数.∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac≥0.∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16,∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3.‎ 综上所述,k的取值范围是k≤4.‎ 方法总结:由于k的取值范围不能确定,所以解决本题的关键是要注意分类讨论,不要漏解.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 ‎【类型四】 二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合 ‎ 已知:抛物线y=x2+ax+a-2.‎ ‎(1)求证:不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点;‎ ‎(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的平方和为3,求a的值.‎ 解析:(1)利用关于x的一元二次方程x2+ax+a-2=0的根的判别式的符号进行证明;(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是x+x=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2a+4=3,由此可以求得a的值.‎ ‎(1)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,∴不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都有两个不同的交点;‎ ‎(2)解:∵x1+x2=-a,x1·x2=a-2,∴x+x=(x1+x2)2-2x1·x2=a2-2a+4=3,∴a=1.‎ 方法总结:判断一元二次方程与x轴的交点,只要看根的判别式的符号即可,而要判断一元二次方程根的情况,要利用根与系数关系.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二:利用二次函数解决运动中的抛物线问题 ‎ 如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.‎ ‎(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;‎ ‎(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4=7)?‎ ‎(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米(取2=5)?‎ 解析:要求足球开始飞出到第一次落地时,抛物线的表达式,则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标,因为OA=1,OB=6,BM=4,所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求得抛物线关系式.因为点C在x轴上,所以要求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0代入函数关系式,通过解方程求得OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解的方法有多种.‎ 解:(1)设第一次落地时,抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4,‎ 由已知:当x=0时,y=1,即1=36a+‎ ‎4,所以a=-.‎ 所以函数表达式为y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1;‎ ‎(2)令y=0,则-(x-6)2+4=0,‎ 所以(x-6)2=48,所以x1=4+6≈13,x2=-4+6<0(舍去).‎ 所以足球第一次落地距守门员约13米;‎ ‎(3)如图,第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意:CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位).‎ 所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6-2,x2=6+2,‎ 所以CD=|x1-x2|=4≈10.‎ 所以BD=13-6+10=17(米).‎ 方法总结:解决此类问题的关键是先进行数学建模,将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件.常有两个步骤:(1)根据题意得出二次函数的关系式,将实际问题转化为纯数学问题;(2)应用有关函数的性质作答.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 三、板书设计 二次函数与一元二次方程 ‎1.二次函数与一元二次方程 ‎2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题 本节课注意发挥学生的主体作用,让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题,实现师生互动,通过这样的教学实践取得一定的教学效果,再次认识到教师不仅要教给学生知识,更要培养学生良好的数学素养和学习习惯,让学生学会学习,使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.‎
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