2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学（理科）‎ 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设全集，集合，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎（2）已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎（3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 90 B. 129 C. 132 D. 138‎ 4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 ‎ C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎ ‎5.在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）‎ A.45 B.60 C.120 D. 210‎ ‎6.已知函数（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ ‎8.记，，设a,b为平面向量，则（ ）‎ ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.‎ ‎（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；‎ ‎（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.‎ 则 A. ‎ B.‎ C. D.‎ 10. 设函数，，，记，则( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.‎ 11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.‎ 12. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.‎ 13. 当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.‎ 14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.‎ ‎15.设函数若，则实数的取值范围是______‎ 15. 设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________‎ ‎17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。（仰角为直线AP与平面ABC所成角）‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为.已知，‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，求的面积. ‎ ‎19（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且 （1） 求与；‎ （2） 设。记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）求正整数，使得对任意，均有．‎ 20. ‎（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面.‎ （1） 证明：平面;‎ （2） 求二面角的大小 ‎21．(本题满分15分)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.‎ ‎（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；‎ （２） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.‎ ‎22.（本题满分14分）已知函数 ‎ （１） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；‎ （２） 设若对恒成立，求的取值范围.‎ 参 考 答 案 一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1.B 2.A 3.Ｄ 4.C 5.C ‎ ‎6. Ｃ 7.Ｄ 8.Ｄ 9. A 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。‎ ‎11. 12. 13. 14. ‎ ‎15. 16. 17.‎ 三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎ （I）由题意得，，‎ 即，‎ ‎，由得，，又，得，即，所以；‎ ‎（II）由，，得，‎ 由，得，从而，故，‎ 所以的面积为．‎ ‎19. 本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（I）由题意，，，知，‎ 又由，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，‎ 所以，故数列的通项公式为，；‎ ‎（II）（i）由（I）知，，所以；‎ ‎（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．‎ ‎20.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。‎ ‎ （I）在直角梯形中，由，得，，‎ 由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；‎ ‎（II）方法一：‎ 作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（I）知，，则，，所以是二面角的平面角，‎ 在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，，由于平面，得：，在中，由，，得，‎ 在中，，，得，在中，，，，得，，从而，‎ 在中，利用余弦定理分别可得，‎ 在中，，所以，即二面角的大小是．‎ 方法二：以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：，设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得，，由得，，可取，由得，，可取，于是，‎ 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小是．‎ ‎21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。‎ ‎（I）设直线的方程为，由，消去得，，‎ 由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，‎ 解得点的坐标为，‎ 由点在第一象限，故点的坐标为；‎ ‎（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，‎ 整理得，‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎22.本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分14分。‎ ‎（I）因为，所以，‎ 由于，‎ ‎（i）当时，有，故，‎ 此时在上是增函数，因此，，‎ ‎（ii）当时，‎ 若，，在上是增函数，‎ 若，，在上是减函数，‎ 所以，，由于，‎ 因此，当时，，当时，，‎ ‎（iii）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；‎ ‎（II）令，则，，‎ 因为，对恒成立，即对恒成立，‎ 所以由（I）知，‎ ‎（i）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；‎ ‎（ii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，‎ ‎（iii）当时，在上的最大值是，最小值是 ‎，所以，，解得，‎ ‎（iv）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.‎