2014年福建省高考数学试卷（理科）

2014年福建省高考数学试卷（理科）

‎2014年福建省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（　　）‎ A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i ‎2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎4．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）‎ A．18 B．20 C．21 D．40‎ ‎6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数 C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）‎ ‎8．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（　　）‎ A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）‎ C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）‎ ‎9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B．+ C．7+ D．6‎ ‎10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（　　）‎ A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5‎ C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置 ‎11．（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为　　．‎ ‎12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于　　．‎ ‎13．（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　　（单位：元）‎ ‎14．（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为　　．‎ ‎15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：‎ ‎①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．‎ ‎（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎17．（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．‎ ‎（1）求证：AB⊥CD；‎ ‎（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．‎ ‎（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：‎ ‎①顾客所获的奖励额为60元的概率；‎ ‎②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；‎ ‎（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ ‎19．（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．‎ ‎（1）求双曲线E的离心率；‎ ‎（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2‎ 于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换 ‎20．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ ‎21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．‎ ‎（1）求矩阵A；‎ ‎（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．‎ ‎　‎ 五、选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．‎ ‎（1）求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 六、选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．‎ ‎　‎ ‎2014年福建省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．（5分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（　　）‎ A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i ‎【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．‎ ‎【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．‎ ‎【解答】解：圆柱的正视图为矩形，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6‎ ‎【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，‎ 解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，‎ ‎∴a6=a1+5d=2+5×2=12，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•福建）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知图象过（3，1），‎ 故有1=loga3，解得a=3，‎ 选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；‎ 选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；‎ 选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；‎ 选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，‎ 但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　）‎ A．18 B．20 C．21 D．40‎ ‎【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，‎ ‎∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．‎ ‎∴输出S=20．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，‎ 则圆心到直线距离d=，|AB|=2，‎ 若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．‎ 若△OAB的面积为，则S==×2×==，‎ 即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，‎ 则（|k|﹣1）2=0，‎ 即|k|=1，‎ 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．‎ 故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数 C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）‎ ‎【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．‎ ‎【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，‎ 当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，‎ 故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，‎ 故可排除A、B、C，‎ 对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，‎ 当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），‎ 故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（　　）‎ A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）‎ C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）‎ ‎【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．‎ ‎【解答】解：根据，‎ 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；‎ 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．‎ 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．‎ 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B．+ C．7+ D．6‎ ‎【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．‎ ‎【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ‎∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，‎ ‎∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（　　）‎ A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5‎ C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）‎ ‎【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个 球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置 ‎11．（4分）（2014•福建）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为　1　．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，‎ 由z=3x+y，得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，‎ 此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于　2　．‎ ‎【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎∴，‎ 解得sinB=1，‎ ‎∴B=90°，C=30°，‎ ‎∴△ABC的面积=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　160　（单位：元）‎ ‎【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．‎ ‎【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，‎ 则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，‎ 故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，‎ ‎∵a+b≥2=4，‎ 故当a=b=2时，y取最小值160，‎ 即该容器的最低总造价是160元，‎ 故答案为：160‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为　　．‎ ‎【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．‎ ‎【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，‎ ‎∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，‎ ‎∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，‎ ‎∴落到阴影部分的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：‎ ‎①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是　6　．‎ ‎【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；‎ a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；‎ a=4时，b=1，c=3，d=2；‎ ‎∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．‎ ‎（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．‎ ‎（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，‎ ‎∴cosα=，‎ ‎∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，‎ ‎=×（+）﹣‎ ‎=．‎ ‎（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．‎ ‎=sinxcosx+cos2x﹣‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=sin（2x+），‎ ‎∴T==π，‎ 由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．‎ ‎（1）求证：AB⊥CD；‎ ‎（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，‎ ‎∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．‎ ‎（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴‎ B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．‎ ‎∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．‎ 设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，‎ 令y=﹣1，则x=1，z=1．‎ ‎∴=（1，﹣1，1）．‎ 设直线AD与平面MBC所成角为θ．‎ 则sinθ=|cos|===．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．‎ ‎（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：‎ ‎①顾客所获的奖励额为60元的概率；‎ ‎②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；‎ ‎（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；‎ ‎（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，‎ ‎①依题意，得P（X=60）=，‎ 即顾客所获得奖励额为60元的概率为，‎ ‎②依题意得X得所有可能取值为20，60，‎ P（X=60）=，P（X=20）=，‎ 即X的分布列为 ‎ X ‎60‎ ‎20‎ P 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40‎ ‎（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．‎ 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，‎ 如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，‎ 因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，‎ 对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，‎ 以下是对这两个方案的分析：‎ 对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为 ‎ X1‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎100‎ P X1 的数学期望为E（X1）=．‎ X1 的方差D（X1）==，‎ 对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 ‎ X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P X2 的数学期望为E（X2）==60，‎ X2 的方差D（X2）=差D（X1）=．‎ 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．‎ ‎（1）求双曲线E的离心率；‎ ‎（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；‎ ‎（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，‎ 所以=2．‎ 所以=2．‎ 故c=a，‎ 从而双曲线E的离心率e==．‎ ‎（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．‎ 设直线l与x轴相交于点C，‎ 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，‎ 所以|OC|•|AB|=8，‎ 因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．‎ 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．‎ 设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；‎ 则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由得y1=，同理得y2=，‎ 由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：‎ ‎|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．‎ 由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，‎ 因为4﹣k2＜0，‎ 所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），‎ 又因为m2=4（k2﹣4），‎ 所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．‎ ‎　‎ 在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换 ‎20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ ‎【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；‎ ‎（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜ex，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f′（x）=0，得x=ln2，‎ 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ ‎∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，‎ 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；‎ ‎（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex．‎ 证明如下：‎ 令h（x）=x3﹣ex，则h′（x）=x2﹣ex．‎ 由（2）知，当x＞0时，x2＜ex，‎ 从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，‎ 所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜ex，‎ 取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜ex．‎ 因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．‎ ‎（1）求矩阵A；‎ ‎（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．‎ ‎【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；‎ ‎（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．‎ ‎【解答】解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，‎ 解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；‎ ‎（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，‎ 令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，‎ 设λ1=1对应的一个特征向量为α=，‎ 则由λ1α=Mα，得x+y=0‎ 得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，‎ 所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，‎ 同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为．‎ ‎　‎ 五、选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为 ‎（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．‎ ‎（1）求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；‎ 圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；‎ ‎（2）圆心C（0，0），半径r=4．‎ 由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．‎ ‎∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．‎ ‎　‎ 六、选修4-5：不等式选讲 ‎23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．‎ ‎【分析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；‎ ‎（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．‎ ‎【解答】（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，‎ 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，‎ ‎∴f（x）的最小值为3，即a=3；‎ ‎（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，‎ ‎∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2‎ ‎=（p+q+r）2=32=9，‎ 即p2+q2+r2≥3．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘长柏；lincy；清风慕竹；maths；whgcn；wdnah；豫汝王世崇；wsj1012；沂蒙松；wfy814；wyz123；minqi5（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日