2012年福建省高考数学试卷（理科）

2012年福建省高考数学试卷（理科）

‎2012年福建省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（　　）‎ A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i ‎2．（5分）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．（5分）下列命题中，真命题是（　　）‎ A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2‎ C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 ‎4．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎5．（5分）下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．lg（x2+）＞lgx（x＞0） B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）‎ C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．（x∈R）‎ ‎6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（　　）‎ A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 ‎8．（5分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎9．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎10．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；‎ ‎②f（x2）在[1，]上具有性质P；‎ ‎③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．（4分）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=　　．‎ ‎12．（4分）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于　　．‎ ‎13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为　　．‎ ‎14．（4分）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=　　．‎ ‎15．（4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 ‎ 甲 ‎ 乙 首次出现故障时间x（年）‎ ‎0＜x＜1‎ ‎1＜x≤2‎ x＞2‎ ‎0＜x≤2‎ x＞2‎ 轿车数量（辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润（万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎17．（13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°‎ ‎（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°‎ ‎（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°‎ ‎（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°‎ ‎（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°‎ ‎（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎18．（13分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．‎ ‎19．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程．‎ ‎（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．‎ ‎　‎ 四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。）‎ ‎21．（7分）（1）选修4﹣2：矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值．‎ ‎（Ⅱ）求A2的逆矩阵．‎ ‎22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．‎ ‎　‎ ‎2012年福建省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（　　）‎ A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i ‎【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，‎ ‎∴z===﹣1﹣i，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•福建）下列命题中，真命题是（　　）‎ A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2‎ C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 ‎【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；‎ 通过特例判断，全称命题判断B的正误；‎ 通过充要条件判断C、D的正误；‎ ‎【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；‎ 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．‎ a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；‎ a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等 ‎【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；‎ B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；‎ C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；‎ D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．‎ 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•福建）下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．lg（x2+）＞lgx（x＞0） B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）‎ C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．（x∈R）‎ ‎【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可 ‎【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；‎ B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；‎ C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；‎ D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．‎ 综上，C选项是正确的．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，‎ 而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，‎ 则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•福建）设函数，则下列结论错误的是（　　）‎ A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 ‎【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D ‎【解答】解：A显然正确；‎ ‎∵=D（x），‎ ‎∴D（x）是偶函数，‎ B正确；‎ ‎∵D（x+1）==D（x），‎ ‎∴T=1为其一个周期，‎ 故C错误；‎ ‎∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，‎ 显然函数D（x）不是单调函数，‎ 故D正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）‎ ‎∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合 ‎∴4+b2=9‎ ‎∴b2=5‎ ‎∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ‎∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【分析】根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：约束条件确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，‎ 分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），‎ 若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，‎ 即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，‎ 则必有m≤1，即实数m的最大值为1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；‎ ‎②f（x2）在[1，]上具有性质P；‎ ‎③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．‎ ‎【解答】解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，‎ 但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；‎ 在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，‎ 故②不成立；‎ 在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，‎ ‎∴，‎ 故f（x）=1，‎ ‎∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，‎ 故③成立；‎ 在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，‎ 有=‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，‎ ‎∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，‎ 故④成立．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．（4分）（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=　2　．‎ ‎【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值．‎ ‎【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，‎ 令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，‎ 故答案为 2．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于　﹣3　．‎ ‎【分析】直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，‎ 第2次判断循环，s=0，k=3，‎ 第3次判断循环，s=﹣3，k=4，‎ 不满足判断框的条件，退出循环，输出S．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为　　．‎ ‎【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．‎ ‎【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，‎ ‎∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，‎ 则根据余弦定理得：cosθ==﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•福建）数列{an}的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=　3018　．‎ ‎【分析】先求出cos的规律，进而得到ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．‎ ‎【解答】解：因为cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；‎ ‎∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；‎ ‎∴ncos的每四项和为2；‎ ‎∴数列{an}的每四项和为：2+4=6．‎ 而2012÷4=503；‎ ‎∴S2012=503×6=3018．‎ 故答案为：3018．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈‎ R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是　　．‎ ‎【分析】根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，‎ ‎∴根据题意得f（x）=‎ 即f（x）=‎ 画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），‎ 当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，‎ 当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，‎ ‎∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）‎ 令y=，‎ 则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1‎ ‎∴＜0在m∈（0，）上成立，‎ ‎∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，‎ ‎∴函数的值域是（f（），f（0）），即 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（13分）（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 ‎ 甲 ‎ 乙 首次出现故障时间x（年）‎ ‎0＜x＜1‎ ‎1＜x≤2‎ x＞2‎ ‎0＜x≤2‎ x＞2‎ 轿车数量（辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润（万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其概率；‎ ‎（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；‎ ‎（III）由（II），计算期为E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ），E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ），比较期望可得结论．‎ ‎【解答】解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=‎ ‎（II）依题意得，X1的分布列为 ‎ ‎ X1‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3‎ ‎ P X2的分布列为 ‎ ‎ X2‎ ‎ 1.8‎ ‎ 2.9‎ ‎ P ‎（III）由（II）得E（X1）=1×+2×+3×=2.86（万元 ）‎ E（X2）=1.8×+2.9×=2.79（万元 ）‎ ‎∵E（X1）＞E（X2），‎ ‎∴应生产甲品牌轿车．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°‎ ‎（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°‎ ‎（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°‎ ‎（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°‎ ‎（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°‎ ‎（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．‎ ‎（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．‎ 证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣+cos2α+sin2α ‎﹣sin2α﹣，化简可得结果．‎ ‎【解答】解：选择（2），计算如下：‎ sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故 这个常数为．‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．‎ 证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）‎ ‎=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．‎ ‎（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）‎ ‎=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α ‎=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1‎ ‎=AD=1，E为CD中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．‎ ‎（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．‎ ‎（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长 ‎【解答】解：（I）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，‎ 设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（，1，0），B1（a，0，1）‎ 故=（0，1，1），=（﹣，1，﹣1），=（a，0，1），=（，1，0），‎ ‎∵•=1﹣1=0‎ ‎∴B1E⊥AD1；‎ ‎（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时=（0，﹣1，t）．‎ 又设平面B1AE的法向量=（x，y，z）．‎ ‎∵⊥平面B1AE，∴⊥B1A，⊥AE，得，取x=1，得平面B1AE的一个法向量=（1，﹣，﹣a）．‎ 要使DP∥平面B1AE，只要⊥，即有•=0，有此得﹣at=0，解得t=，即P（0，0，），‎ 又DP⊈平面B1AE，‎ ‎∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=‎ ‎（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．‎ ‎∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．‎ 由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．‎ ‎∴AD1⊥平面DCB1A1，‎ ‎∴是平面B1A1E的一个法向量，此时=（0，1，1）．‎ 设与所成的角为θ，则cosθ==‎ ‎∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，‎ ‎∴|cosθ|=cos30°=，即||=，解得a=2，即AB的长为2‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程．‎ ‎（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．‎ ‎（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=‎ ‎，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．‎ ‎∴4a=8，∴a=2‎ ‎∵e=，∴c=1‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0‎ ‎∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）‎ ‎∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0‎ ‎∴4k2﹣m2+3=0①‎ 此时x0==，y0=，即P（，）‎ 由得Q（4，4k+m）‎ 取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）‎ 取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）‎ 故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下 ‎∵‎ ‎∴‎ 故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）‎ 方法二：‎ 假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．‎ 因为=（﹣﹣x1，），‎ ‎=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，‎ 整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②‎ 由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．‎ 故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax﹣e ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，‎ ‎∴k=2a=0，∴a=0‎ ‎∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e 令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）‎ ‎（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）‎ 令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）‎ ‎∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点 ‎∵g（x0）=0，g′（x）=‎ ‎（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0‎ 当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；‎ ‎（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a 令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；‎ ‎①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增 ‎∴g（x）只有唯一零点x=x0；‎ ‎②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0‎ 任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，‎ ‎∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=‎ ‎∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得 ‎∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；‎ ‎③若x0＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；‎ 综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．‎ ‎　‎ 四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。）‎ ‎21．（7分）（2012•福建）（1）选修4﹣2：矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值．‎ ‎（Ⅱ）求A2的逆矩阵．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定点在矩阵A=（a＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A；‎ ‎（Ⅱ）先计算A2的值，求出行列式的值，即可得到A2的逆矩阵．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设曲线2x2+2xy+y2=1上的点（x，y）在矩阵A=（）（a＞0）对应的变换作用下得到点（x′，y′）‎ 则（）=，∴‎ ‎∵x′2+y′2=1‎ ‎∴（ax）2+（bx+y）2=1‎ ‎∴（a2+b2）x2+2bxy+y2=1‎ ‎∵2x2+2xy+y2=1‎ ‎∴a2+b2=2，2b=2‎ ‎∴a=1，b=1‎ ‎∴A=（）‎ ‎（Ⅱ）A2=（）（）=（），=1‎ ‎∴A2的逆矩阵为 ‎　‎ ‎22．（7分）（2012•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（），‎ 所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），‎ 直线OP的平面直角坐标方程y=；‎ ‎（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+）2=4，‎ 圆的圆心坐标为（2，﹣），半径为2，‎ 直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），‎ 方程为y=﹣（x﹣2）=﹣（x﹣2），即x+3y﹣2=0．‎ 圆心到直线的距离为：==＜2，‎ 所以，直线l与圆C相交．‎ ‎　‎ ‎23．（2012•福建）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．‎ ‎（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1，利用基本不等式证明它大于或等于9．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，‎ 即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．‎ ‎（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，‎ ‎∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）‎ ‎=1++++1++++1 ‎ ‎=3++++++≥3+6=9，当且仅当 ======1时，等号成立．‎ 所以a+2b+3c≥9‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；qiss；xize；xintrl；danbo7801；刘长柏；zlzhan；sllwyn；庞会丽；涨停（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日