2014年江苏省高考数学试卷

2014年江苏省高考数学试卷

‎2014年江苏省高考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　　．‎ ‎2．（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　　．‎ ‎3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　　．‎ ‎4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　．‎ ‎5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．‎ ‎6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　　株树木的底部周长小于100cm．‎ ‎7．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6‎ 的值是　　．‎ ‎8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　．‎ ‎9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　　．‎ ‎12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　　．‎ ‎13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）‎ ‎15．（14分）已知α∈（，π），sinα=．‎ ‎（1）求sin（+α）的值；‎ ‎（2）求cos（﹣2α）的值．‎ ‎16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：‎ ‎（1）直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．‎ ‎（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．‎ ‎18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎19．（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎20．（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；‎ ‎（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．‎ ‎　‎ 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．‎ ‎　‎ ‎【选修4-2：矩阵与变换】‎ ‎22．（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．‎ ‎　‎ ‎【选修4-3：极坐标及参数方程】‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：不等式选讲】‎ ‎24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．‎ ‎　‎ ‎(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）‎ ‎25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．‎ ‎26．（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．‎ ‎（1）求2f1（）+f2（）的值；‎ ‎（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．‎ ‎　‎ ‎2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）‎ ‎1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　{﹣1，3}　．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={﹣1，3}，‎ 故答案为：{﹣1，3}‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　21　．‎ ‎【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，‎ 故z的实部为21，‎ 故答案为：21‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　5　．‎ ‎【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，‎ ‎∵24=16＜20，25=32＞20，‎ ‎∴输出n=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　．‎ ‎【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，‎ 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，‎ 故所求概率P=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜‎ π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．‎ ‎【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，‎ ‎∴=．‎ ‎∵0≤φ＜π，∴，‎ ‎∴+φ=，‎ 解得φ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　24　株树木的底部周长小于100cm．‎ ‎【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，‎ ‎∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．‎ ‎∵a8=a6+2a4，‎ ‎∴，‎ 化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．‎ ‎∴a6===1×22=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　．‎ ‎【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．‎ ‎【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；‎ ‎∵=，‎ ‎∴，它们的侧面积相等，‎ ‎∴，‎ ‎∴===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，‎ ‎∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，‎ ‎∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．‎ ‎【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，‎ 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，‎ 即 ，解得﹣＜m＜0，‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3　．‎ ‎【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，‎ 曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，‎ ‎∴y′=2ax﹣，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故a+b=﹣3，‎ 故答案为：﹣3‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　22　．‎ ‎【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵=3，‎ ‎∴=+，=﹣，‎ 又∵AB=8，AD=5，‎ ‎∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，‎ 故•=22，‎ 故答案为：22．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　．‎ ‎【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．‎ ‎【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　．‎ ‎【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），‎ 由余弦定理得cosC===‎ ‎=≥=，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）‎ ‎15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．‎ ‎（1）求sin（+α）的值；‎ ‎（2）求cos（﹣2α）的值．‎ ‎【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；‎ ‎（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．‎ ‎【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=‎ ‎（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；‎ ‎∴sin（+α）的值为：﹣．‎ ‎（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣‎ ‎∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣‎ ‎．‎ cos（﹣2α）的值为：﹣．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：‎ ‎（1）直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；‎ ‎（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，‎ 又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ ‎∴PA∥平面DEF；‎ ‎（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；‎ 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；‎ ‎∴DE2+EF2=DF2，‎ ‎∴∠DEF=90°，‎ ‎∴DE⊥EF；‎ ‎∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；‎ ‎∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；‎ ‎∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．‎ ‎（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．‎ ‎（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴a2=（）2=2，即b2=1，‎ 则椭圆的方程为+y2=1．‎ ‎（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ ‎∵B（0，b），‎ ‎∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣‎ ‎=0，‎ 解得x=0，或x=，‎ ‎∵A（，），且A，C关于x轴对称，‎ ‎∴C（，﹣），‎ 则=﹣=，‎ ‎∵F1C⊥AB，‎ ‎∴×（）=﹣1，‎ 由b2=a2﹣c2得，‎ 即e=．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；‎ ‎（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ 过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，‎ ‎∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠BCE，‎ ‎∴．‎ 设AF=4x（m），则BF=3x（m）．‎ ‎∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，‎ ‎∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），‎ ‎∴BE=（3x+60）m．‎ ‎∵，‎ ‎∴CE=（m）．‎ ‎∴（m）．‎ ‎∴，‎ 解得：x=20．‎ ‎∴BE=120m，CE=90m，‎ 则BC=150m；‎ ‎（2）如图，‎ 设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，‎ ‎∵∠POM=∠PQC=90°，‎ ‎∴∠PMO=∠BCO．‎ 设OM=xm，则OP=m，PM=m．‎ ‎∴PC=m，PQ=m．‎ 设⊙M半径为R，‎ ‎∴R=MQ=m=m．‎ ‎∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，‎ 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，‎ ‎∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．‎ 解得：10≤x≤35．‎ ‎∴当且仅当x=10时R取到最大值．‎ ‎∴OM=10m时，保护区面积最大．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x ‎，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；‎ ‎（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，‎ ‎∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，‎ 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴ex+e﹣x﹣1＞0，‎ 即m≤在（0，+∞）上恒成立，‎ 设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，‎ ‎∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，‎ ‎∴m．‎ ‎（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），‎ 则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），‎ 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，‎ 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，‎ 故e+﹣2a＜0，‎ 即a＞（e+），‎ 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，‎ 则h′（x）=1﹣，‎ 由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，‎ 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，‎ 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），‎ 注意到h（1）=h（e）=0，‎ ‎∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，‎ 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，‎ ‎∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．‎ ‎①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，‎ ‎②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，‎ ‎③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2014•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn ‎，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；‎ ‎（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．‎ ‎【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．‎ ‎（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；‎ ‎（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，‎ 当n=1时，a1=S1=2．‎ 当n=1时，S1=a1．‎ 当n≥2时，Sn=an+1．‎ ‎∴数列{an}是“H”数列．‎ ‎（2）Sn==，‎ 对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，‎ 取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，‎ ‎∵d＜0，∴m＜2，‎ 又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．‎ ‎（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，‎ 对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，‎ cn=（n﹣1）（a1+d），‎ 对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，‎ 则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．‎ 数列{bn}的前n项和Tn=，‎ 令Tn=（2﹣m）a1，则．‎ 当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．‎ 当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．‎ 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．‎ 数列{cn}的前n项和Rn=，‎ 令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=．‎ ‎∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．‎ 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．‎ 因此命题得证．‎ ‎　‎ 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．‎ ‎【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠B，‎ ‎∵∠B=∠D，‎ ‎∴∠OCB=∠D．‎ ‎　‎ ‎【选修4-2：矩阵与变换】‎ ‎22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．‎ ‎【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．‎ ‎【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=﹣，y=4，‎ ‎∴x+y=‎ ‎　‎ ‎【选修4-3：极坐标及参数方程】‎ ‎23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．‎ ‎【解答】解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，‎ 与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，‎ ‎∴交点A（1，2），B（9，﹣6），‎ ‎∴|AB|==8．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：不等式选讲】‎ ‎24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．‎ ‎【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．‎ ‎【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥‎ 分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，‎ ‎∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．‎ ‎　‎ ‎(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）‎ ‎25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．‎ ‎【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；‎ ‎（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．‎ ‎【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况 ‎∴取出的2个球颜色相同的概率P=．‎ ‎（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=‎ 于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，‎ X的概率分布列为 ‎ X ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ P 故X数学期望E（X）=．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．‎ ‎（1）求2f1（）+f2（）的值；‎ ‎（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．‎ ‎【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；‎ ‎（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．‎ ‎【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，‎ 则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，‎ ‎∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，‎ ‎∴f0（x）+xf1（x）=cosx，‎ 两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，‎ 将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，‎ ‎（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），‎ 恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），‎ 再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），‎ 同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），‎ 猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，‎ 下面用数学归纳法进行证明等式成立：‎ ‎①当n=1时，成立，则上式成立；‎ ‎②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，‎ ‎∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）‎ ‎=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）‎ 又 ‎===，‎ ‎∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，‎ 由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，‎ 令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，‎ 所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：maths；清风慕竹；whgcn；沂蒙松；qiss；caoqz；豫汝王世崇；742048；sxs123；刘长柏；gongjy（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日