2020年高中数学第二章离散型随机变量的方差

2020年高中数学第二章离散型随机变量的方差

‎2.3.2‎‎ 离散型随机变量的方差 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)‎ A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)>D(X乙)，‎ ‎∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．‎ 答案：B ‎2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为(　　)‎ A．100和0.08 B．20和0.4‎ C．10和0.2 D．10和0.8‎ 解析：由于ξ～B(n，p)，所以 解得n＝10，p＝0.8.‎ 答案：D ‎3．若X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P q p 其中p∈(0,1)，则(　　)‎ A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2‎ C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2‎ 解析：由两点分布的方差公式得D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故选C.‎ 答案：C ‎4．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为(　　)‎ A．0.48 B．1.2‎ C．0.72 D．0.6‎ 解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴D(X)＝3×0.4×0.6＝0.72.‎ 答案：C 6‎ ‎5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck.n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24, 则D(ξ)的值为(　　)‎ A．8 B．12‎ C. D．16‎ 解析：由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24.‎ ‎∴n＝36.又D(ξ)＝n××＝×36＝8.‎ 答案：A ‎6．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．‎ 解析：依题意X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，‎ D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.‎ 答案： ‎7．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.‎ 解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E(X)＝，E(η)＝；②E(X2)＝E(η)；③E(η2)＝E(X)；④D(X)＝D(η)＝.‎ 其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)‎ 解析：X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝；E(X2)＝0×＋12×＋22×＝.‎ 6‎ D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－()2＝.‎ η的分布列为：‎ η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(η)＝1×＋2×＋3×＝；‎ E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，‎ D(η)＝E(η2)－(E(η))2＝－2＝.‎ 答案：①②④‎ ‎9．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误 天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求工期延误天数Y的均值与方差．‎ 解析：由已知条件和概率的加法公式有：‎ P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，‎ P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.‎ P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；‎ D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.‎ ‎10．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2(单位：s)，其分布列如下：‎ X1‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.05‎ ‎0.05‎ ‎0.8‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ X2‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 6‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．‎ 解析：∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．‎ ‎∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；‎ D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.‎ ‎∴D(X1)< D(X2)．‎ 由上可知，A面大钟的质量较好．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)‎ A．6,2.4 B．2,2.4‎ C．2,5.6 D．6,5.6‎ 解析：若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.‎ 答案：B ‎2．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则σ(X3)＝(　　)‎ A．0.5 B. C. D．3.5‎ 解析：∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，‎ ‎∴n＝10.‎ 又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝，‎ ‎∴p＝.‎ 又X3～B(n，p)，∴X3～B，‎ ‎∴σ(X3)＝＝＝.‎ 答案：C ‎3．随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ 6‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.‎ 解析：由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，c－a＝，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.‎ 答案： ‎4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．‎ 解析：记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，‎ 依题意知：ξ～B(25,0.8)．‎ 所以E(ξ)＝25×0.8＝20，D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，‎ 所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.‎ 答案：80　64‎ ‎5．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差为.‎ ‎(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；‎ ‎(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．‎ 解析：因为每一株沙柳成活率均为p，种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此ξ服从二项分布，可以用二项分布来解决．‎ ‎(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，‎ 得1－p＝，从而n＝6，p＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则 P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＋＋＋＝，‎ 或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－(＋＋)＝.‎ 6‎ ‎6．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：‎ X1‎ ‎5%‎ ‎10%‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ X2‎ ‎2%‎ ‎8%‎ ‎12%‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；‎ ‎(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．‎ 解析：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1‎ ‎5‎ ‎10‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ ‎　‎ Y2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，‎ D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；‎ E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，‎ D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.‎ ‎(2)f(x)＝D＋D ‎＝2D(Y1)＋2D(Y2)‎ ‎＝[x2＋3(100－x)2]‎ ‎＝(4x2－600x＋3×1002)，‎ 所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.‎ 6‎