备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题21 三角函数的图象和性质

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题21 三角函数的图象和性质

专题21 三角函数的图象和性质 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： ‎ ‎（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；‎ ‎（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；http://www.zk5u.com/（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.‎ ‎1、正弦函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点）： ‎ ‎（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数 ‎（6）单调增区间： ‎ ‎ 单调减区间：‎ ‎2、余弦函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ 24‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数 ‎（5）对称中心（零点）： ‎ ‎（6）单调增区间： ,单调减区间：‎ ‎3、正切函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称中心： ‎ ‎（5）零点：‎ ‎（6）单调增区间： ‎ 注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值 ‎4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：‎ ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴： ‎ 24‎ ‎（5）零点：‎ ‎（6）单调增区间：,单调减区间：‎ ‎5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：‎ ‎（1）定义域：‎ ‎（2）值域：‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可 注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。‎ ‎2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质 ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 24‎ ‎ ‎ 例2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 例3. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )‎ 24‎ ‎①函数的最小正周期是；‎ ‎②函数在区间上是增函数；‎ ‎③函数的图象关于直线对称；‎ ‎④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知，‎ ‎=−(−)=,∴T==π，ω=2；‎ 根据五点法画图知,2×(−)+φ=0,解得φ=；‎ ‎∴f(x)=sin(2x+)；‎ 对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；‎ 对于②,x∈[,]时,2x+∈[,]，‎ f(x)在[,]上是减函数，②错误；‎ 对于③,x=时,2x+=，‎ 24‎ ‎∴函数f(x)的图象关于直线x=对称，③正确；‎ 对于④,由f(x)=sin(2x+)=sin2(x+)知，‎ 函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到，④错误；‎ 综上，正确的命题是③.‎ 故选：C.‎ 例4.【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】 ‎ 例5.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 24‎ ‎【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.‎ 例6. 已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎(2)证明因为-≤x≤, ‎ 24‎ 所以-≤2x+.————-10分 所以sin≥sin=-.‎ 所以当x∈时,f(x)≥-.________14分 例7. 设函数．‎ ‎（）求的最小正周期．‎ ‎（）当时，求函数的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2）∵，∴, ，进而得到最值.‎ 解析：‎ 24‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴当时， 的最大值是，最小值是．‎ 例8.【2019届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若角满足， ， 的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；（2）由及的解析式求出的值，再利用三角形面积公式及，求出，然后根据余弦定理即可求出的值.‎ 24‎ 试题解析：（1） ，‎ 令， ，‎ 得， .‎ 又，化简得，则 ‎∴.‎ 例9.【2019届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量，函数.‎ ‎（1）求的对称中心；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，令即可得对称中心；‎ ‎（2）由，得，进而根据正弦函数的图象即可得最值.‎ 24‎ ‎（2）由（1）得，‎ 因为，所以，‎ 所以时，即， 的最大值为，‎ 当时，即时， 的最小值为.‎ 点睛：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值，属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.‎ 例10．【2017江苏，16】 已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ 24‎ ‎【名师点睛】(1)向量平行：，,‎ ‎(2)向量垂直：，‎ ‎(3)向量加减乘： ‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．函数 的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（ ）‎ 24‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题． 为振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即，通常通过图象我们可得和， 称为初象，通常解出， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.‎ ‎2．【2019届河北省衡水金卷一模】已知函数的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为（ ）‎ 24‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据图象，利用五点法作图的特点确定，即可.‎ 详解：由题知，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：C.‎ 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.‎ ‎3．【2019届广东省佛山市高三检测（二）】已知函数的图象在区间上不单调,则的取值范围为( )‎ 24‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为时，‎ 因此的取值范围为 ‎，选B.‎ ‎【点睛】函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间;‎ ‎ 由求减区间 ‎4．【2019届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考模拟（三）】已知函数 ，若的最小值为，且，则 24‎ 的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：易知的最小值为，从而得，再将代入求解的，令，即可得解.‎ 详解：由，且的最小值为，‎ 可知：，∴，‎ 又，则，‎ 点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.‎ 求对称轴只需令，求解即可，‎ 求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.‎ 24‎ ‎5．【2019届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模】函数的值域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴函数的值域为.‎ ‎6．【2019届四川省雅安市高三下学期三诊】函数的图象在区间上的对称轴方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎7．【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】已知函数 ‎(Ⅰ）求的最小正周期和最大值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调减区间 24‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，即可得到的最小正周期和最大值先求出，再求单调区间 解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ 所以函的最小正周期是，最大值是2．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以单调递减区间为 ‎8．【浙江省台州中学2019届第三次统练】已知向量, ，记．‎ ‎(1) 若 ，求的值；‎ ‎(2) 在锐角 中，角 的对边分别是 且满足 ，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ 24‎ 点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.‎ ‎9.【2019届四川省雅安市高三下学期三诊】已知函数 .‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求 24‎ 的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期：，单调递增区间为：；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，从而可得函数的最小正周期，再根据可解得单调增区间；（2）由，可得的值，再根据及，即可解得，结合余弦定理，即可求得的值.‎ 试题解析：（1） .‎ ‎∴最小正周期：， ‎ ‎∴ ‎ 又∵， ‎ ‎∵‎ 24‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎10．【2019届北京市京源学校高三十月月考】 已知函数, .‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大正周期与单调增区间值;‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期是: ,；（Ⅱ）最小值为0，最大值为1.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ，故而可得周期，解不等式可得单调增区间；（Ⅱ）根据的范围，计算出的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ 24‎ 所以,即,‎ 所以, ‎ 当且仅当时, 取最小值, ,‎ 当且仅当时,即时取最大值, .‎ ‎11.【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 24‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎12．【2019届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角， ， ，的对边分别为， ， ，已知， ， ，求的面积.‎ ‎【答案】（1）和；（2）.‎ 试题解析：‎ 24‎ ‎（Ⅰ）由已知得 .‎ ‎， 又 函数在的单调递减区间为和. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知 锐角， ‎ 又 ‎，即.‎ 又 ‎ ‎. ‎ 24‎