专题29 复数的解题策略-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题29 复数的解题策略-名师揭秘2019年高考数学（文）命题热点全覆盖

专题 31 复数的解题策略 一．【学习目标】 1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用． 2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用． 二．知识点与方法总结 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部，若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若 a=0，则 a＋bi 为纯虚数，i 为虚数单位． (2)复数相等：复数 a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)． (4)复数的模 向量OZ→ 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|． 2．复数的四则运算 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法： z1 z2＝ a＋bi c＋di＝ （a＋bi）（c－di） （c＋di）（c－di） ＝ （ac＋bd）＋（bc－ad）i c2＋d2 ＝ ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(c＋di≠0)． 3．两条性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中 n∈N*)； (2)(1±i)2＝±2i， 1＋i 1－i＝i， 1－i 1＋i＝－i. 4.方法规律总结 （1）.设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法. （2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数. （3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的 结合，取得事半功倍的效果. 三．典例分析 （一）复数的概念 例 1．若复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则 ， 故选 练习 1．若复数 z＝（3﹣6i）（1+9i），则（　　） A．复数 z 的实部为 21 B．复数 z 的虚部为 33 C．复数 z 的共轭复数为 57﹣21i D．在复平面内，复数 z 所对应的点位于第二象限 【答案】C 练习 2．若复数 （为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】z ，则复数 z 在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）． 故选：B． （二）复数的几何意义 例 2．已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0， 1）， ∴ ＝1+i， ＝i．∴ ．故选：D． 练习 1．复数 在复平面上对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为 所以复数 z 在复平面所对应的点是（1,3） 练习 2．设复数满足 ，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得 2iz＝2+i， ∴ ， ∴复数 z 对应的点的坐标为（ ，﹣1），位于第四象限． 故选：D． 练习 3．已知 ，且 ，则实数 的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，∴ ∴ ＝3,得 ，则 ， ∴a= ，故选：C． （三）复数的运算法则 例 3．计算 （i 为虚数单位），结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 =(11+2i) =-20-15i 故选：A. 练习 1．复数 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数 . 在复平面内对应的点为(-1,2) 位于第二象限. 故选 B. 练习 2．已知复数 是纯虚数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意 ，由于为纯虚数，故 ，解得 ， 故选 A. 练习 3．定义 ，若 展开式中 一次项的系数为 ，则 等于（为虚数单 位）（ ） A． B． C．1 D．-1 【答案】B （四）复数的模及几何意义 例 4．若复数 ， ，其中是虚数单位，则 的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数的几何意义可得，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，所以 ， 其中 ， 故选 C 练习 1．已知复数 ，则 　　 A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 ， ，则 ， 故选：B． 练习 2．已知复数 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A(－2，1)，B(a，3)． (1)若|z1－z2|＝ ，求 a 的值； (2)复数 z＝z1·z2 对应的点在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值． 【答案】（1）a＝－3 或 a＝－1。（2）a＝1。 【解析】(1)由复数的几何意义可知，z1＝－2＋i，z2＝a＋3i， ∵|z1－z2|＝|－a－2－2i|＝ ＝ ， ∴a＝－3 或 a＝－1. (2)z＝z1·z2＝(－2＋i)·(a＋3i)＝(－2a－3)＋(a－6)i， 依题意可知点(－2a－3，a－6)在直线 y＝x 上， ∴a－6＝－2a－3， 解得 a＝1. 练习 3．已知复数 z 满足|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限. (1)求复数 z; (2)若复数 ω 满足|ω-1|≤ ,求 ω 在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】(1)设 z=x+yi(x,y∈R),则 z2=x2-y2+2xyi, 由|z|= ,z2 的虚部为-2,且 z 在复平面内对应的点在第二象限, 得 解得 ∴z=-1+i. (2)由(1)知,z=-1+i, ∴ = = = =-+i, ∴ = = , ∴复数 ω 满足|ω-1|≤ . 由复数的几何意义,得 ω 在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心, 为半径的圆面, ∴其面积为 π· = . （五）共轭复数 例 5．若复数 ，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 则的共轭复数是-1+i,故选：C 练习 1．设复数 （是虚数单位），则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故选 B. 练习 2．下面是关于复数 的四个命题： ； ； 的虚部为 2； 的共轭复数为 . 其中真命题为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 练习 3．已知下列 4 个命题： （2）若复数是方程 的一个根，求实数 ， 的值. 【答案】（1） ；（2）4，10 练习 2．已知 1＋i 是实系数方程 x2＋ax＋b＝0 的一个根． (1)求 a，b 的值； (2)试判断 1－i 是否是方程的根． 【答案】（1）a，b 的值分别为－2，2；（2）1－i 是方程的一个根． 【解析】(1)∵1＋i 是方程 x2＋ax＋b＝0 的根， ∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0， ∴ ∴ ∴a，b 的值分别为－2，2. (2)由(1)知，实系数方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程， 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根． 练习 3．对于 n 个复数 z1，z2，…，zn，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，…，kn，使得 k1z1＋k2z2＋… ＋knzn＝0，就称 z1，z2，…，zn 线性相关．若要说明复数 z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2 线性相关，则可取 {k1，k2，k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可) 【答案】 (或{2，4，3}等) 【解析】由 k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，得 k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0， 即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0， ∴ ∴k1∶k2∶k3＝1∶2∶ ， 故答案为 或{2，4，3}等．