2020届高三数学上学期第三次月考试题 文（含解析）新人教版

2020届高三数学上学期第三次月考试题 文（含解析）新人教版

- 1 - 2019 学年第一学期高三第三次月考试卷 数学(文科) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故选 A 2. 若向量、 满足 ， ， ，则与 的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知 故选 C 3. 已知 ， 幂函数 在 上单调递减，则 是 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 等价于 ， ∵幂函数 在 上单调递减， 且 ， 解得 ， ∴ 是 的的必要不充分条件， 故选 B 4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. 6 B. 11 C. 33 D. 48 - 2 - 【答案】B 【解析】由 ，得 ，即 ， 故选 B． 5. 下列命题中正确的是( ) A. 命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ” B. 若命题 为假命题，命题 为真命题，则 为假命题 C. 命题“若 ，则与 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 D. 命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ” 【答案】D 【解析】 选择 A：命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”； ............... 6. 已知函数 的图像与 轴交点的横坐标依次构成一个公差为 的等 差数列，把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图像，则下列叙述不正确．．．的 是( ) A. 的图像关于点 对称 B. 的图像关于直线 对称 C. 在 上是增函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】由已知 由题意可知， ，则 的图 象关于点 对称，故 A 正确； 的图象关于直线 对称，故 B 正确； 由 得 可知 在 上是减函数，故 C 错误； - 3 - 由 ，可得 是奇函数，故 D 正确． 故选 C． 7. 函数 的大致图像是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数的定义域为 ，又函数 有两个零点，排除选项 A， 又 ，可知函数由两个极值点，排除 C，D； 故选 B． 8. 在 中， 为 边上一点， 是 的平分线，且 ， ，则 ( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】C - 4 - 【解析】 如图所示， 中， 由平面向 量的基本定理得， 解得 又 是 的平分线， 故选 C． 9. 已知 ，角 的对边分别为 ， ， ， ，则 的面积 为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 ，化简可得 ，得 ，即 由正弦定理： 可得 的面积 故选 D． 10. 在 中， 分别为角 对边的长，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解: ， 11. 奇函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有 ， 则关于 的不等式 的解集为( ) - 5 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，可构造函数 其导数 当 时，有 ，其导数 在 上为增函数，又由 为 奇函数，即 ， 则 ，即函数 为偶函数， 当 时， ，不等式 又由函数 为偶函数且在 上激增， 则 解得 此时 的取值范围为 ； 当 时， ，不等式 同理解得此时 的取值范围为 ； 综合可得：不等式的解集为 故选 D． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数 ，并利用导数分析 的单调性． 12. 已知数列 的前 项和为 ，定义 为数列 前 项的叠加和，若 2016 项数列 的叠加和为 2017，则 2017 项数列 的叠加和为( ) A. 2017 B. 2018 C. D. 【答案】A 【解析】由 则 ． - 6 - 则 2017 项数列 的叠加和 故选 A． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 函数 的定义域是__________. 【答案】 【解析】由 知， ，又因为 ，所以解得， 函数 的定义域为 即答案为 14. 已知奇函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 __________. 【答案】3 【解析】根据题意，函数 满足条件 ， 则 ，即函数 为周期为 4 的函数， 又由函数 为奇函数，则 ，则 ； 故答案为 3． 【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据条件 求出函数的周期． 15. __________. 【答案】 【解析】 故答案为 16. 在 中， ， ， 与 的交点为 ，过 作动直线分别交线段 、 - 7 - 于 两点，若 ， ，( )，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】由 三点共线可得存在实数，使得 同理由 三点共线可得存在实数 ，使得 ，解得 ，设 ，可得 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 . (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（1）首先 当 时， ，然后当 时， ， 在验证当 代入仍然适合；（2） ，再由列相消法求得 . 试题解析：（1） 当 时， ， 当 时， 将 代入上式验证显然然适合， - 8 - （2） 18. 已知向量 ， ，记函数 . (Ⅰ)求函数 的最大值及取得最大值时 的取值集合； (Ⅱ)求函数 在区间 上的单调递减区间. 【答案】(Ⅰ) 最大值为 ，取得最大值时 的集合为 . (Ⅱ) 和 . 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得 ，即可求解函数 的最值，及 其相应的 的值. (Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解 在 的单调递减区间． 试题解析： (1)由 ， ， 当 ，即 时， 取得最大值. 此时 ， 最大值 . 且取得最大值时 的集合为 . (2)由题意: ， 即 ， ． 于是， 在 的单调递减区间是 和 ． 19. 已知函数 . - 9 - (Ⅰ)若函数 的图像在 处的切线方程为 ，求 的值； (Ⅱ)若函数 在 上是增函数，求实数的最小值. 【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（1） ， ， ．根据函数 f（x）的 图象在 处的切线方程为 ，可得 ，， . 联立解 ． （2）由函数 在 上是增函数，可得 在 上恒成立， ，令 ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 试题解析： (Ⅰ) ∵ ，∴ ， 当 时， ， ，解得： (Ⅱ)由题意知 恒成立，∴ ， 设 ， ， 当 ， ；当 ， ∴ ，∴ ， 所以的最小值是 . 20. 已知 中，角 所对的边分别为 ， . (Ⅰ)若 ，求角 的大小； (Ⅱ)若 为三个相邻的正偶数，且 ，求 的面积. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出 C 的值． （2）利用正弦定理和余弦定理求出边长，进一步求出三角形的面积 试题解析： (Ⅰ) ∵ ，∴由正弦定理有 ， 又 ，即 ，于是 ， 在 中， ，于是 ， . (Ⅱ) ∵ ，故 ，且 为三个连续相邻的正偶数， 故可设 ，其中 为偶数， - 10 - 由 ，得 ，∴ . 由余弦定理得: ，代入 可得： ，解得： ， ∴ 故 ，故 ， 故 的面积为 . 21. 设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，各项均为正数 的等比数列 满足 . (Ⅰ)求数列 和 的通项公式； (Ⅱ)若 ，数列 的前 项和为 .若对任意 ， ，均有 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：（1） ，可得 时， ，两式相减 得 ，根据数列 的各项均为正数，可得 ，根据 ，解得 ．利用等差数列的通项公式即可得出．进而利用等 比数列的通项公式可得 ． （2）由（1）可知 ．利用错位相减法可得 ．可知若对任意 均 有 恒成立，等价于 恒成立，即 恒 成立，利用数列单调性即可得出． 试题解析： (Ⅰ) ， ， ∴ ， ∴ 且各项为正，∴ 又 ，所以 ，再由 得 ，所以 - 11 - ∴ 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，∴ ∴ . (Ⅱ) ∴ 恒成立 ∴ ，即 恒成立. 设 ， 当 时， ； 时， ∴ ，∴ . 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减 法、等价转化方法、不等式的性质，对学生推理能力与计算能力有较高要求． 22. 设函数 . (Ⅰ)讨论 的单调性； (Ⅱ)当 时， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为 ，求得 ，分 ， 两种情况讨论，即可得 出函数的单调性； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到 ，则 恒成立，转化为函数 ， 得出 ，令令 ，利用导数得出 的单调性和最值，即可求解实数的取值 范围. 试题解析： - 12 - (1)由定义域为 ， ， 当 时， ， 在 单调增． 当 时， ， ； 在 单调增， 在 单调减． 综上所述:当 时， 在 单调增； 当 时， 在 单调增， 在 单调减． (2)由(Ⅰ)可知 ， ，则 恒成立． 令 ，显然 ， 再令 ， ，当 ，当 ． 在 单调减， 单调增． ， ，∴ ， 在 单调增， ，∴ ．