2014河南省普通高中招生考试数学试卷

2014河南省普通高中招生考试数学试卷

‎2014年河南省普通高中招生考试数学试卷 参考公式：y=ax2+bx+c(c≠0)图象的顶点坐标为（-）‎ 一、 选择题（每小题3分，共24分）‎ 下列各小题均有的四个答案，其中只有一个是正确的将正确答案的代号字母填入题后括号内。‎ ‎1. （2014河南省，1，3分）下列各数中，最小的数是 【 】‎ ‎（A）0 （B） （C）－ （D）－3‎ ‎【答案】D ‎2. （2014河南省，2，3分）据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元. 若将3875.5亿用科学记数法表示为，则n等于 【 】‎ ‎ （A）10 （B）11 （C）12 （D）13‎ ‎【答案】B ‎（第3题）‎ ‎3. （2014河南省，3，3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM. 若 ‎∠AOM=35°，则∠CON的度数为 【 】‎ ‎（A）35° （B）45° （C）55° （D）65°‎ ‎【答案】C ‎4. （2014河南省，4，3分）下列各式计算正确的是 【 】‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎5. （2014河南省，5，3分）下列说法中，正确的是 【 】‎ ‎ （A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件 ‎ （B）某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖 ‎（C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查 ‎ （D）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 ‎【答案】D ‎6. （2014河南省，6，3分）将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能【 】‎ ‎【答案】C ‎7. （2014河南省，7，3分）如图，□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若 ‎ AB=4，AC=6，则BD的长是 【 】‎ ‎（第7题）‎ ‎ （A）8 （B）9 （C）10 （D）11‎ ‎【答案】C ‎8. （2014河南省，8，3分）如图，在Rt中，，AC=‎1cm，BC=‎2cm，点P从点A出发，以‎1cm/s的速度沿折线ACCBBA运动，最终回到点A.设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是 【 】‎ ‎【答案】A 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9. （2014河南省，9，3分）计算：= .‎ ‎【答案】1‎ ‎10. （2014河南省，10，3分）不等式组的所有整数解的和为 .‎ ‎【答案】－2‎ ‎（第11题）‎ ‎11. （2014河南省，11，3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 . ‎ ‎【答案】105‎ ‎12. （2014河南省，12，3分）已知抛物线（）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 .‎ ‎【答案】8‎ ‎13. （2014河南省，13，3分）一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球.两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎14. （2014河南省，14，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD ‎（第14题）‎ 绕点A顺时针旋转30°得到菱形，其中点C的运 ‎ 动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎15. （2014河南省，15，3分）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动 ‎（第15题）‎ 点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在 的角平分线上时，DE的长为 .‎ ‎【答案】‎ 一、 解答题（本大题共8个小题， 满分75分）‎ ‎16. （2014河南省，16，8分）先化简，再求值：‎ ‎，其中x=-1.‎ ‎【答案】解：原式=‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ 当x=-1时，原式=‎ ‎17. （2014河南省，17，9分）如图，CD是⊙O的直径，且CD=‎2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为点A、B.‎ ‎ （1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；‎ ‎（2）填空：‎ ‎ ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；‎ ‎ ②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形.‎ ‎【答案】解：（1）连接OA. ∵ PA为的切线，∴OA⊥PA. ‎ 在Rt△AOP中，∠AOP =∠APO =.‎ ‎∴. ‎ ‎∴∠ACP =∠APO. ∴.‎ ‎∴△ACP是等腰三角形.‎ ‎（2）①1；‎ ‎②. ‎ ‎18．（2014河南省，18，9分）某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.‎ 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎(1) 课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；‎ ‎(2) 请补全条形统计图；‎ ‎(3) 该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；‎ ‎（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为 ‎”.请你判断这种说法是否正确，并说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）144； ‎ ‎（2）（“篮球”选项的频数为40，正确补全条形统计图）； ‎ ‎（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为 ‎(人)； ‎ ‎（4）这种说法不正确. 理由如下： ‎ 小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人. ‎ ‎19．（2014河南省，19，9分）在中俄“海上联合—‎2014”‎反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方‎1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°. 试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数. 参考数据：sin68°≈ 0.9，cos68°≈ 0.4，tan68°≈ 2.5，≈ 1.7）‎ ‎【答案】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度 .‎ 根据题意得 ∠ACD =，∠BCD =.‎ 设AD = x，则BD = BA + AD = 1000 + x. ‎ 在Rt△ACD中，. 在Rt△BCD中，. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ ‎∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为‎308米. ‎ ‎20．（2014河南省，20，9分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A、B的坐标分别为、，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线经过点D，交BC于点E.‎ （1） 求双曲线的解析式；‎ （2） 求四边形ODBE的面积.‎ ‎【答案】解：（1）过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为点M、N.‎ ‎∵A、B，∴OM = BC = 2，BM = OC = 6，AM = 3.‎ ‎∵∥BM，∴△ADN∽△ABM. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴DN = 2，AN = 1. ∴ON = 4. ‎ ‎∴点D的坐标为. 又∵双曲线经过点D，‎ ‎∴，即. ‎ ‎∴双曲线的解析式为. ‎ ‎（2）∵点E在BC上，∴点E的纵坐标为6. ‎ 又∵点E在双曲线上，‎ ‎∴点E的坐标为. ∴CE=. ∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=12.‎ ‎∴四边形ODBE的面积为12. ‎ ‎21．（2014河南省，21，10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.‎ ‎（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；‎ ‎（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元. ‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？‎ ‎（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调（0<<100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台. 若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.‎ ‎【答案】解：‎ ‎（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有 ‎ 解得 ‎ 即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元.‎ ‎…………………………………4分 ‎（2）①根据题意得 ，即. …………5分 ‎②根据题意得 ≤，解得≥.‎ ‎∵中，，∴y随x的增大而减小.‎ ‎∵x为正整数，∴当时，y取得最大值，此时.‎ 即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大. …7分 ‎（3）根据题意得 ，即.‎ ‎≤≤70.‎ ‎①当时，，随x的增大而减小.‎ ‎∴当x =34时，y取得最大值.‎ 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；………8分 ‎②当时，，.‎ 即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润；‎ ‎……………………………………………9分 ③当时，，随x的增大而增大.‎ ‎∴时，y取得最大值.‎ 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润. ……10分 图1‎ ‎22．（2014河南省，22，10分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等 边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．‎ 填空：‎ ‎ ①∠AEB的度数为 ；‎ ‎ ②线段AD、BE之间的数量关系为 .‎ ‎ ‎ ‎ （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD=.若点P满足PD =1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到 BP的距离. ‎ ‎ 【答案】解：（1）①60；②AD = BE. ‎ ‎（2）∠ＡＥＢ＝９０°；AE = ‎2CM + BE. ‎ 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE = 90°，‎ ‎∴AC = BC，CD = CE，∠ACB∠DCB =∠DCE∠DCB，即∠ACD = ∠BCE.‎ ‎∴△ACD≌△BCE. ‎ ‎∴AD = BE, . ‎ ‎∴∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ－∠ＡＥＣ==. ‎ 在等腰直角三角形DCE中， CM为斜边DE上的高，‎ ‎∴CM = DM = ME. ∴DE = ‎2CM. ‎ ‎ ∴AE = DE + AD = ‎2CM + BE. ‎ ‎（3）或. ‎ ‎【提示】∵PD =1，∠BPD=90°，‎ ‎∴BP是以点D为圆心、以1为半径的的切线，点P为切点.‎ 第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点, ‎ 可证△APD≌△，PD ==1.‎ ‎∵CD=，∴BD=2，BP=. ∴AM=.‎ 第二种情况：如图②，可得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（2014河南省，23，11分）如图，抛物线与轴交于(-1,0)，(5,0)两点，直线与轴交于点，与轴交于点.点是轴上方的抛物线上一动点，过点作⊥轴于点，交直线于点.设点的横坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：解：（1）∵抛物线与轴交于，(5,0)两点，‎ ‎∴　　　　　　　　　　　　∴‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎（2）∵点P的横坐标为m，则,　　　　　　　　　 ,.‎ ‎ ∵点P在轴上方，要使，点P应在y轴右侧，∴0＜＜5.‎ ‎∴PE =　　　　　　　　　　　　　=. ‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①当点E在点F上方时，EF =.‎ ‎∵，∴　　　　　　　　 =.‎ 即，解得　　　　　　　　（舍去）；‎ ‎②当点E在点F下方时， EF =.‎ ‎∵，∴=.‎ 即，解得　　　　　　　　　　　　　　　（舍去）；‎ ‎∴m为2或. ‎ ‎（3）点P的坐标为 ‎【提示】∵E和关于直线PC对称，∴.‎ 又∵PE∥轴，∴. ∴.‎ 又∵ＣＥ＝ＣＥ′, ∴四边形为菱形.‎ 过点E作ＥＭ⊥ｙ轴于点M, ∴△∽△. ∴.‎ ‎∵，∴　　　　　　　　　　或.‎ 解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（舍去）.‎ 可求得点P的坐标为.‎