2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆教学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆教学案

第1讲 直线与圆 ‎ [考情考向·高考导航]‎ 对于直线的考查,主要是求直线的方程;两条直线平行与垂直的判定;两条直线的交点和距离等问题.一般以选择题、填空题的形式考查.对于圆的考查,主要是结合直线的方程,用几何法或待定系数法确定圆的标准方程;对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题,含参数问题为命题热点,一般以选择题、填空题的形式考查,难度不大,涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势.‎ ‎[真题体验]‎ ‎1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )‎ A.[2,6]         B.[4,8]‎ C.[,3] D.[2,3]‎ 解析:A [由已知A(-2,0),B(0,-2).圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d==2,又圆的半径为.∴点P到直线x+y+2=0的距离的最小值为,最大值为3,又|AB|=2.∴△ABP面积的最小值为Smin=×2×=2,最大值为Smax=×2×3=6.]‎ ‎2.(2018·北京卷)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为(  )‎ A.1     B.2      C.3      D.4‎ 解析:C [本题考查直线与圆的位置关系.‎ 点P(cos θ,sin θ)是单位圆x2+y2=1上的点,直线x-my-2=0过定点(2,0),当直线与圆相离时,d可取到最大值,设圆心到直线的距离为d0,d0=,d=d0+1=+1,可知,当m=0时,dmax=3,故选C.]‎ ‎3.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.‎ - 14 -‎ 解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则:‎ 解得 则圆的方程为x2+y2-2x=0.‎ 答案:x2+y2-2x=0‎ ‎4.(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.‎ 解析:圆方程可化为x2+(y+1)2=4,∴圆心为(0,-1),半径r=2,圆心到直线x-y+1=0的距离d==,∴|AB|=2=2=2.‎ 答案:2 ‎[主干整合]‎ ‎1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.‎ ‎2.两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.‎ ‎(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.‎ ‎3.圆的方程 ‎(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.‎ ‎(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为,半径为r=.‎ ‎4.直线与圆的位置关系的判定 ‎(1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.‎ ‎(2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.‎ 热点一 直线的方程及其应用 ‎[例1] (1)(2020·大连模拟)“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的(  )‎ - 14 -‎ A.充要条件        B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[解析] A [由ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行,得a(a-1)=2,∴a=-1,a=2.经检验当a=-1时,两直线重合(舍去).∴“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的充要条件.]‎ ‎(2)(2020·厦门模拟)过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________.‎ ‎[解析] 由得所以l1与l2的交点为(1,2),当所求直线的斜率不存在时,所求直线为x=1,显然不符合题意.‎ 故设所求直线的方程为y-2=k(x-1),‎ 即kx-y+2-k=0,‎ 因为P(0,4)到所求直线的距离为2,所以2=,所以k=0或k=.‎ 所以所求直线的方程为y=2或4x-3y+2=0.‎ ‎[答案] y=2或4x-3y+2=0‎ ‎(3)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.‎ ‎①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是________.‎ ‎②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是________.‎ ‎[解析] 设,线段A1B1的中点为E1(x1,y1),则Q1==2y1.‎ 因此,要比较Q1,Q2,Q3的大小,只需比较线段A1B1,A2B2,A3B3中点纵坐标的大小,作图(图略)比较知Q1最大.‎ - 14 -‎ 又p1====,其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率,‎ 因此,要比较p1,p2,p3的大小,只需比较线段A1B1,A2B2,A3B3中点与坐标原点连线的斜率,作图比较知p2最大.‎ ‎[答案] ①Q1 ②p2‎ 求解直线方程应注意的问题 ‎(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况.‎ ‎(2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.‎ ‎(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在.‎ ‎(2020·宁德模拟)过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,则此直线方程为____________.‎ 解析:过点M且与x轴垂直的直线是x=0,它和直线l1,l2的交点分别为,(0,8),显然不符合题意,故可设所求直线方程为y=kx+1,其图象与直线l1,l2分别交于A,B两点,则有① ‎② 由①解得xA=,由②解得xB=.‎ 因为点M平分线段AB,所以xA+xB=2xM,‎ 即+=0,解得k=-.‎ 故所求的直线方程为y=-x+1,即x+4y-4=0.‎ 答案:x+4y-4=0‎ 热点二 圆的方程及应用 ‎[例2] (1)(山东高考题)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________________.‎ - 14 -‎ ‎[解析] 设圆C的圆心为(a,b)(b>0),由题意得a=2b>0,且a2=()2+b2,解得a=2,b=1.‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.‎ ‎[答案] (x-2)2+(y-1)2=4‎ ‎(2)(2019·唐山三模)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是____________.‎ ‎[解析] 依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2×=3+.‎ ‎[答案] 3+ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系,求出圆的基本量:圆心坐标和半径.如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直,设圆的半径为r,弦长为|AB|,弦心距为d,则r2=d2+2等.‎ ‎(2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解.在求圆的方程时,要根据具体的条件选用合适的方法,但一般情况下,应用几何法运算较简捷.‎ ‎(1)(2019·临沂三模)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的标准方程为________________.‎ 解析:由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,得 解得满足条件的一组解为 所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4.‎ 答案:(x+1)2+y2=4‎ ‎(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的标准方程为________________.‎ 解析:由条件设圆心坐标为(a>0),又因为圆与直线2x+y - 14 -‎ ‎+1=0相切,所以圆心到直线的距离d=r=≥=,当且仅当2a=,即a=1时取等号,所以圆心坐标为(1,2),圆的半径的最小值为,则所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.‎ 答案:(x-1)2+(y-1)2=5‎ 热点三 直线(圆)与圆的位置关系 直观 想象 素养 直观想象——圆的方程应用中的核心素养 以学过的圆的相关知识为基础,借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”,然后利用“直观想象”解决问题.‎ ‎[例3] (1)(2020·湖北八校联考)过点(,0)作直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于________.‎ ‎[解析] ‎ 令P(,0),如图,易知|OA|=|OB|=1,‎ 所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=90°时,△AOB的面积取得最大值,此时过点O作OH⊥AB于点H,则|OH|=,‎ 于是sin∠OPH===,‎ 易知∠OPH为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB的倾斜角为150°,故直线AB的斜率为tan 150°=-.‎ ‎[答案] - ‎(2)如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.‎ ‎①当|MN|=2时,则直线l的方程为____________.‎ - 14 -‎ ‎②若·为定值,则这个定值为________.‎ ‎[解析] ①设圆A的半径为R.‎ ‎∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,‎ ‎∴R==2.‎ ‎∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.‎ a.当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;‎ b.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,则AQ⊥MN.‎ ‎∵|MN|=2,∴|AQ|==1.‎ 由|AQ|==1,得k=,‎ ‎∴直线l的方程为3x-4y+6=0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.‎ ‎②∵AQ⊥BP,∴·=0.‎ ‎∵·=(+)· ‎=·+·=·.‎ 当直线l与x轴垂直时,得P.‎ 则=,又=(1,2),‎ ‎∴·=·=-5.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).‎ 由解得P.‎ ‎∴=.‎ ‎∴·=·=-=-5.‎ 综上所述:·为定值,其定值为-5.‎ ‎[答案] ①x=-2或3x-4y+6=0 ②-5‎ 直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 - 14 -‎ ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.‎ ‎(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为两圆心之间的距离问题.‎ ‎(1)(2020·银川调研)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是____________.‎ 解析:由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d==(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=,则R-r<<R+r,所以两圆的位置关系为相交.‎ 答案:相交 ‎(2)(2020·江西七校联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.‎ 解析:‎ 圆C:(x-4)2+y2=1,如图,直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于等于2即可,‎ ‎∴≤2⇒0≤k≤.‎ ‎∴kmax=.‎ 答案: 限时40分钟 满分80分 一、选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分)‎ ‎1.(2020·成都二诊)设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线sin A·x - 14 -‎ ‎+ay-c=0与bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是(  )‎ A.平行         B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 解析:C [由题意可得直线sin A·x+ay-c=0的斜率k1=-,bx-sin B·y+sin C=0的斜率k2=,故k1k2=-·=-1,则直线sin A·x+ay-c=0与直线bx-sin B·y+sin C=0垂直,故选C.]‎ ‎2.(2020·杭州质检)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 解析:D [点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),∵反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圆心(-3,2)到直线的距离d==1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-或-.]‎ ‎3.(2020·广州模拟)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(  )‎ A. B.2 C.3 D.4 解析:C [由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据两平行线间的距离公式得,=,即|m+7|=|m+5|,所以m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得点M到原点的距离的最小值为=3.]‎ ‎4.(2020·河南六校联考)已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|+|=|-|,则实数a的值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.±1 D.±2‎ 解析:C [由,满足|+|=|-|,得⊥,‎ 因为直线x+y=a的斜率是-1,‎ 所以A,B两点在坐标轴上并且在圆上;‎ - 14 -‎ 所以(0,1)和(0,-1)两点都适合直线的方程,故a=±1.]‎ ‎5.(2020·怀柔调研)过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(  )‎ A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- 解析:B [圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.故选B.]‎ ‎6.(2020·温州模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx,其中k为[-,]上的任意一个实数,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:D [当直线l与圆C相离时,圆心C到直线l的距离d=>,解得k>1或k<-1,又k∈[-,],所以-≤k<-1或1<k≤,故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P==,故选D.]‎ ‎7.(2019·潍坊三模)已知O为坐标原点,A,B是圆C:x2+y2-6y+5=0上两个动点,且|AB|=2,则|+|的取值范围是(  )‎ A.[6-2,6+2] B.[3-,3+]‎ C.[3,9] D.[3,6]‎ 解析:A [圆C:x2+(y-3)2=4,取弦AB的中点M,连接CM,CA,在直角三角形CMA中,|CA|=2,|MA|=1,则|CM|==,则点M的轨迹方程为x2+(y-3)2=3,则|+|=2||∈[6-2,6+2].]‎ ‎8.(多选题)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是(  )‎ A.0
查看更多