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文档介绍
高考数学试题分类汇编解析几何1
解析几何 安徽理(2) 双曲线的实轴长是 (A)2 (B) (C) 4 (D) 4 C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】可变形为,则,,.故选C. (5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为 (A)2 (B) (C) (D) (5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化,考查两点间距离. 【解析】极坐标化为直角坐标为,即.圆的极坐标方程可化为,化为直角坐标方程为,即,所以圆心坐标为(1,0),则由两点间距离公式.故选D. (15)在平面直角坐标系中,如果与都是整数,就称点为整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数,则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点 ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 (15)①③④⑤【命题意图】本题考查直线方程,考查逻辑推理能力.难度较大. 【解析】令满足①,故①正确;若,过整点(-1,0),所以②错误;设是过原点的直线,若此直线过两个整点,则有 ,,两式相减得,则点也在直线上,通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点,通过上下平移得对于也成立,所以③正确;④正确;直线恰过一个整点,⑤正确. (21)(本小题满分13分) 设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。 (21)(本小题满分13分)本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养. 解:由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设 ① 再设 解得 ②,将①式代入②式,消去,得 ③,又点B在抛物线上,所以, 再将③式代入,得 故所求点P的轨迹方程为 安徽文(3) 双曲线的实轴长是 (A)2 (B) (C) 4 (D) 4 (3)C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】可变形为,则,,.故选C. (4) 若直线过圆的圆心,则a的值为 (A)1 (B) 1 (C) 3 (D) 3 (4)B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,属容易题. 【解析】圆的方程可变形为,所以圆心为(-1,2),代入直线得. (17)(本小题满分13分) 设直线 (I)证明与相交; (II)证明与的交点在椭圆 (17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明:(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. (II)(方法一)由方程组,解得交点P的坐标为,而 此即表明交点 (方法二)交点P的坐标满足, ,整理后,得 所以交点P在椭圆 北京理3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是 A. B. C. D. 【解析】:,圆心直角坐标为(0,-1),极坐标为,选B。 8. 设A(0,0),B(4,0),C(,4),D(t,4)(),记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为 C A.{ 9,10,11 } B.{ 9,10,12 } C.{ 9,11,12 } D.{ 10,11,12 } 14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称; ③若点P在曲线C上,则的面积不大于. 其中,所有正确结论的序号是____________.②③ 19.已知椭圆G:,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。 (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将表示为m的函数,并求的最大值。 (19)解:(Ⅰ)由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为,离心率为 (Ⅱ)由题意知,.当时,切线l的方程, 点A、B的坐标分别为此时 当m=-1时,同理可得 当时,设切线l的方程为 由;设A、B两点的坐标分别为,则; 又由l与圆 所以 由于当时,因为 且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2. 北京文8.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y = x的图像上,则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A A.4 B.3 C.2 D.1 19.(本小题共14分) 已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2). (I)求椭圆G的方程;(II)求的面积. (19)解:(Ⅰ)由已知得解得,又 所以椭圆G的方程为 (Ⅱ)设直线l的方程为 由得 设A、B的坐标分别为AB中点为E, 则;因为AB是等腰△PAB的底边, 所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。 此时方程①为解得所以 所以|AB|=.此时,点P(—3,2)到直线AB:的距离 所以△PAB的面积S= 福建理7.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足=4:3:2,则曲线r的离心率等于 A. B.或2 C.2 D. 17.(本小题满分13分) 已知直线l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程; (II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。 17.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一: (I)依题意,点P的坐标为(0,m) 因为,所以, 解得m=2,即点P的坐标为(0,2) 从而圆的半径 故所求圆的方程为 (II)因为直线的方程为所以直线的方程为 由, (1)当时,直线与抛物线C相切 (2)当,那时,直线与抛物线C不相切。 综上,当m=1时,直线与抛物线C相切;当时,直线与抛物线C不相切。 解法二:(I)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为 依题意,所求圆与直线相切于点P(0,m), 则解得所以所求圆的方程为 (II)同解法一。 21.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为 . (I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系; (II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. (2)选修4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分7分。 解:(I)把极坐标系下的点化为直角坐标,得P(0,4)。 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线的方程, 所以点P在直线上, (II)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为, 从而点Q到直线的距离为 , 由此得,当时,d取得最小值,且最小值为 福建文11.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2,若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线的离心率等于 A A. 或 B.或2 C.或2 D.或 18.(本小题满分12分) 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A。 (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程。 18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分。 解:(I)由,(*) 因为直线与抛物线C相切,所以解得b=-1。 (II)由(I)可知, 解得x=2,代入故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切, 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即 所以圆A的方程为 广东理14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和,它们的交点坐标为 19. (本小题满分14分) 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切. (1)求C的圆心轨迹L的方程. (2)已知点且P为L上动点,求的最大值及 此时点P的坐标. 19. (1)解:设C的圆心的坐标为,由题设条件知 化简得L的方程为 (2)解:过M,F的直线方程为,将其代入L的方程得 解得 因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故 ,若P不在直线MF上,在中有 故只在T1点取得最大值2。 (2)设是定点,其中满足.过作的两条切线,切点分别为,与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明:; 21.解:(1), 直线AB的方程为,即, ,方程的判别式, 两根或, ,,又, ,得, . (2)由知点在抛物线L的下方, ①当时,作图可知,若,则,得; 若,显然有点; . ②当时,点在第二象限, 作图可知,若,则,且; 若,显然有点; . 根据曲线的对称性可知,当时,, 综上所述,(*); 由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或, 同理点M在直线上,方程的两根或, 若,则不比、、小, ,又, ;又由(1)知,; ,综合(*)式,得证. (3)联立,得交点,可知, 过点作抛物线L的切线,设切点为,则, 得,解得, 又,即, ,设,, ,又,; ,,. 广东文8.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 D 21.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP (1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程; (2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标; (3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。 21.(本小题满分14分) 解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q, 因此即 ① 另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。 MQ为线段OP的垂直平分线, 又 因此M在轴上,此时,记M的坐标为 为分析的变化范围,设为上任意点 由(即)得, 故的轨迹方程为 ② 综合①和②得,点M轨迹E的方程为 (2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3): ; 当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。 再过H作垂直于的直线,交 因此,(抛物线的性质)。 (该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。 当时,则 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为 (3)由图3知,直线的斜率不可能为零。 设 故的方程得: 因判别式 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。 又由E2和的方程可知,若与E2有交点, 则此交点的坐标为有唯一交点 ,从而表三个不同的交点。 因此,直线的取值范围是 湖北理4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为,则 A. B. C. D. x y O F A B C D 【答案】C 解析:根据抛物线的对称性,正三角形的两个 顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为和,这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形 的个数记为,,所以选C. x y (y/) C/ O x/ •P/ 14.如图,直角坐标系所在的平面为,直角坐标系(其中轴与轴重合)所在的平面为,. (Ⅰ)已知平面内有一点, 则点在平面内的射影的坐标为 ; (Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是 ,则曲线在平面内的 x y (y/) C/ O x/ •P/ P H 射影的方程是 . 【答案】, 解析:(Ⅰ)设点在平面内的射影的坐标为, 则点的纵坐标和纵坐标相同, 所以,过点作,垂足为, 连结,则,横坐标 , 所以点在平面内的射影的坐标为; (Ⅱ)由(Ⅰ)得,,所以代入曲线的方程,得, 所以射影的方程填. 20. (本小题满分14分) 平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系; (Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。 20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分) 解:(I)设动点为M,其坐标为, 当时,由条件可得 即,又的坐标满足 故依题意,曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆; 当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆; 当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆; 当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。 (II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为 当时,C2的两个焦点分别为 对于给定的,C1上存在点使得的 充要条件是 ② ① 由①得由②得 当或时,存在点N,使S=|m|a2; 当或时,不存在满足条件的点N, 当时, 由, 可得令, 则由, 从而, 于是由,可得 综上可得: 当时,在C1上,存在点N,使得 当时,在C1上,存在点N,使得 当时,在C1上,不存在满足条件的点N。 湖北文 4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为,则 C A. B. C. D. 14.过点(—1,—2)的直线l被圆截得的弦长为,则直线l的斜率为__________。1或 湖南理9.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为 。 答案:2 解析:曲线,,由圆心到直线的距离,故与的交点个数为2. A. (本小题满分13分) 如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。 (Ⅰ)求,的方程; (Ⅱ)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明:; (ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线,使得=?请说明理由。 解析:(I)由题意知,从而,又,解得。 故的方程分别为。 (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为. 由得, 设,则是上述方程的两个实根,于是。 又点的坐标为,所以 故,即。 (ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为,又直线的斜率为 ,同理可得点B的坐标为.于是 由得,解得或, 则点的坐标为;又直线的斜率为,同理可得点的坐标为 于是 因此 由题意知,解得 或。 又由点的坐标可知,,所以 故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。 湖南文6.设双曲线的渐近线方程为则的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案:C 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知。 9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为则与的交点个数为 .答案:2 解析:曲线,曲线,联立方程消得,易得,故有2个交点。 15.已知圆直线 (1)圆的圆心到直线的距离为 . (2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 . 答案:5,解析:(1)由点到直线的距离公式可得; (2)由(1)可知圆心到直线的距离为5,要使圆上点到直线的距离小于2,即与圆相交所得劣弧上,由半径为,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为,故所求概率为. 21.已知平面内一动点到点F(1,0)的距离与点到轴的距离的等等于1. (I)求动点的轨迹的方程; (II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点, 与轨迹相交于点,求的最小值. 解析:(I)设动点的坐标为,由题意为 化简得当、 所以动点P的轨迹C的方程为 (II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为. 由,得 设则是上述方程的两个实根,于是 . 因为,所以的斜率为.设则同理可得: 故 当且仅当即时,取最小值16. 江苏14.设集合, , 若 则实数m的取值范围是________. 答案:. 解析:当时,集合A是以(2,0)为圆心,以为半径的圆,集合B是在两条平行线之间,(2,0)在直线的上方 ,又因为此时无解; 当时,集合A是以(2,0)为圆心,以和为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有当时,只要,. 当时, 只要, 当时,一定符合 又因为,. 本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.本题属难题. N M P A x y B C 18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限, 过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设 直线PA的斜率为k. (1)当直线PA平分线段MN时,求k的值; (2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0,求证:PA⊥PB. 答案:(1)由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,), 直线PA平分线段MN时,即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以. (2)直线,由得,, AC方程:即: 所以点P到直线AB的距离 (3)法一:由题意设, A、C、B三点共线, 又因为点P、B在椭圆上,,两式相减得: . 法二:设, A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上, ,两式相减得:, , 法三:由得 ,直线 代入得到,解得, 解析:本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组,共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题;(3)是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题. C.选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程. C.选修4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力,满分10分。 解:由题设知,椭圆的长半轴长,短半轴长,从而,所以右焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程: 故所求直线的斜率为,因此其方程为 江西理9. 若曲线:与曲线:有4个不同的交点,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】曲线:,图像为圆心为(1,0),半径为1的圆;曲线:,或者,直线恒过定点,即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析: O x y 1 ,, 又直线(或直线)、轴与圆共有四个不同 的交点,结合图形可知 M N 10. 如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是 A B C D 【答案】A 【解析】 由运动过程可知,小圆圆心始终在以原点为圆心 M 0.5为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于 O A P点时,则小圆与大圆的切点P转过的弧长PA长度 F 等于弧PM,过小圆圆心B作MP垂线BF, B B 设转动角度为∠AOP=β,则大圆弧长PA=1×β, P N 小圆弧长PM=0.5×∠MBP,所以∠MBP=2β, 则∠MBF=β,则∠MBF=∠FBP=∠POA,所以BF∥OA,则MP平行y轴。又∠PMB=∠BNO,所以ON∥MP,所以ON∥y轴,则N点在y轴上,又BF为△PMO中位线,∴BF∥OM,则OM∥OA,所以M点在x轴上。故最终运动轨迹如A图所示。 14. 若椭圆的焦点在轴上,过点作圆的切线,切点分别为,,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 . 【答案】 【解析】作图可知一个切点为(1,0),所以椭圆.分析可知直线为圆与以为圆心,为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为:.令,解得,∴,又,∴,故所求椭圆方程为: 15(1).(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 . 【答案】 【解析】对方程左右两边同时乘以得,将,,代入得方程为: 20. (本小题满分13分) 是双曲线:上一点,,分别是双曲线的左、右顶点,直线,的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点,为坐标原点,为双曲线上一点,满足,求的值. 【解析】(1)点是双曲线:上,有 ,由题意又有,可得, 则 (2)联立,得,设, 则,设,,即 又为双曲线上一点,即,有 化简得: 又,在双曲线上,所以, 由(1)式又有 得:,解出,或 江西文10.如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在源点O处,一顶点及中心M在Y轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成 今使“凸轮”沿X轴正向滚动有进,在滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为 答案:A 根据中心M的位置,可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转动,M的位置会先变高,当C到底时,M最高,排除CD选项,而对于最高点,当M最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相同,因此排除B ,选A。 12. 若双曲线的离心率e=2,则m=____. 答案:48. 解析:根据双曲线方程:知,,并在双曲线中有:, 离心率e==2=,m=48 19.(本小题满分12分) 已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于()两点,且. (1)求该抛物线的方程; (2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值. 解析:(1)直线AB的方程是 所以:,由抛物线定义得:,所以p=4, 抛物线方程为: (2) 、由p=4,化简得,从而,从而A:(1,),B(4,) 设=,又,即8(4),即,解得 辽宁理3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为 C A. B.1 C. D. 13.已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为 .2 20.(本小题满分12分) 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上, 椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1 交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D. (I)设,求与的比值; (II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由. 20.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设 设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 ………………4分 当表示A,B的纵坐标,可知 ………………6分 (II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即 解得 因为 所以当时,不存在直线l,使得BO//AN; 当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合. (I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值; (II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积. 23.解: (I)C1是圆,C2是椭圆. 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3. 当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1. (II)C1,C2的普通方程分别为 当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为 当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此, 四边形A1A2B2B1为梯形. 故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分 辽宁文 13.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为___________. 全国Ⅰ理(7)设直线L过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,L与C交于A ,B两点,为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 B (A) (B) (C)2 (D)3 (9)曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 C (A) (B)4 (C) (D) 6 (14)在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为。过的直线L交C于两点,且的周长为16,那么的方程为 。 (20)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足, ,M点的轨迹为曲线C。 (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。 (20)解: (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). 再由题意可知(+)• =0, 即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为,即。 则O点到的距离.又,所以 当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2. (23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数),M为上的动点,P点满足,点P的轨迹为曲线. (I)求的方程; (II)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求|AB|. (23)解:(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,所以 即 从而的参数方程为(为参数) (Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为。 射线与的交点的极径为, 射线与的交点的极径为。所以. 全国Ⅰ文 (4)椭圆的离心率为 D (A) (B) (C) (D) (20)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上. (I)求圆C的方程; (II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值. (20)解: (Ⅰ)曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为( 故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=1. 则圆C的半径为所以圆C的方程为 (Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组: 消去y,得到方程 由已知可得,判别式 因此,从而 ① 由于OA⊥OB,可得又所以 ②;由①,②得,满足故 山东理 8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A. 22.(本小题满分14分) 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点,且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点. (Ⅰ)证明和均为定值; (Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求的最大值; (Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由. 【解析】22.(I)解:(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称, 所以因为在椭圆上,因此 ① 又因为所以②;由①、②得 此时 (2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为 由题意知m,将其代入,得, 其中即 …………(*) 又 所以 因为点O到直线的距离为所以 ,又 整理得且符合(*)式, 此时 综上所述,结论成立。 (II)解法一: (1)当直线的斜率存在时,由(I)知 因此 (2)当直线的斜率存在时,由(I)知 所以 所以,当且仅当时,等号成立. 综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二: 因为 所以 即当且仅当时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 (III)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得 证明:假设存在, 由(I)得 因此D,E,G只能在这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾, 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G. 山东文 (9)设M(,)为抛物线C:上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则的取值范围是 (A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞) C (15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . (22)(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若∙,(i) 求证:直线过定点; (ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由. (I)解:设直线, 由题意, 由方程组得,由题意,所以 设, 由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点, 因此此时所以OE所在直线方程为 又由题设知D(-3,m),令x=-3,得,即mk=1,所以 当且仅当m=k=1时上式等号成立,此时 由得 因此 当时,取最小值2。 (II)(i)由(I)知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程,并由 解得,又,由距离公式及得 由因此,直线的方程为 所以,直线 (ii)由(i)得,若B,G关于x轴对称,则 代入即,解得(舍去)或 所以k=1,此时关于x轴对称。又由(I)得所以A(0,1)。 由于的外接圆的圆心在x轴上,可设的外接圆的圆心为(d,0), 因此故的外接圆的半径为, 所以的外接圆方程为 陕西理2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键. 【解】选B 由准线方程得,且抛物线的开口向右(或焦点在轴的正半轴),所以. C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中,以原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线:上,则的最小值为 . 【分析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【解】曲线的方程是,曲线的方程是,两圆外离,所以的最小值为. 【答案】3 17.(本小题满分12分) 如图,设P是圆上的动点,点D是P在轴上投影, M为PD上一点,且. (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 【分析】(1)动点M通过点P与已知圆相联系,所以把点P的坐标用点M的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可;(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;结合两点的距离公式计算. 【解】(1)设点M的坐标是,P的坐标是, 因为点D是P在轴上投影, M为PD上一点,且,所以,且, ∵P在圆上,∴,整理得, 即C的方程是. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是,设此直线与C的交点为,, 将直线方程代入C的方程得:,化简得,∴,,所以线段AB的长度是: ,即所截线段的长度是. 陕西文 C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中,以原点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线: 上,则的最小值为 . 【分析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 【解】曲线的方程是,曲线的方程是,两圆外离,所以的最小值为. 【答案】1 17.(本小题满分12分) 设椭圆: 过点(0,4),离心率为. (1)求的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被所截线段的中点坐标. 【分析】(1)由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组,解方程组即可,也可以分步求解;(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;然后利用中点坐标公式求解. 【解】(1)将点(0,4)代入的方程得, ∴b=4, 又 得,即, ∴,∴的方程为 (2)过点且斜率为的直线方程为, 设直线与C的交点为A,B,将直线方程代入C的方程,得 ,即,解得,, AB的中点坐标,, 即所截线段的中点坐标为.注:用韦达定理正确求得结果,同样给分. 上海理 3.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m= . 5.在极坐标系中,直线与直线的夹角大小为 . (结果用反三角函数值表示) 23.(本大题满分18分,第1小题满分4分,第二小题满分6分,第3小题满分8分) 已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作 (1)求点到线段的距离; (2)设是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积; (3)写出到两条线段距离相等的点的集合,其中,是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分;若选择了多于一种情形,则按照序号较小的解答计分. ①. ②. ③. 23、解:⑴ 设是线段上一点,则 ,当时,。 ⑵ 设线段的端点分别为,以直线为轴,的中点为原点建立直角坐标系, 则,点集由如下曲线围成 , 其面积为。 ⑶ ① 选择, ② 选择。 ③ 选择。 上海文 5.若直线过点(3,4),且(1,2)是它的一个法向量,则直线得方程为 22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 已知椭圆(常数),是曲线上的动点,是曲线上的右顶点,定点的坐标为 (1)若与重合,求曲线的焦点坐标; (2)若,求的最大值与最小值; (3)若的最小值为,求实数的取值范围. 22、解:⑴ ,椭圆方程为, ∴ 左、右焦点坐标为。 ⑵ ,椭圆方程为,设,则 ∴ 时; 时。 ⑶ 设动点,则 ∵ 当时,取最小值,且,∴ 且 解得。 四川理 10.在抛物线上取横坐标为、的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切,则抛物线顶点的坐标为 (A) (B) (C) (D) 答案:A 解析:令抛物线上横坐标为、的点为、,则,由,故切点为,切线方程为,该直线又和圆相切,则,解得或(舍去),则抛物线为,定点坐标为,选A. 14.双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么P到左准线的距离是_____. 答案:16 解析:离心率,设P到右准线的距离是d,则,则,则P到左准线的距离等于. 21.(本小题共l2分) 椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (Ⅰ)当时,求直线l的方程; (Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力. 解:(Ⅰ)因椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为, 由已知得,,所以,则椭圆方程为. 直线l垂直于x轴时与题意不符. 设直线l的方程为,联立得, 设,,则,,, . 由已知得,解得, 所以直线l的方程为或. (Ⅱ)直线l垂直于x轴时与题意不符. 设直线l的方程为(且),所以P点的坐标为. 设,,由(Ⅰ)知,, 直线AC的方程为:,直线BD的方程为:, 方法一: 联立方程设,解得, 不妨设,则 , 因此Q点的坐标为,又,∴. 故为定值. 方法二: 联立方程消去y得, 因为,所以与异号. 又, ∴与异号,与同号,∴,解得. 因此Q点的坐标为,又,∴. 故为定值. 四川文 3.圆的圆心坐标是 (A)(2,3) (B)(-2,3) (C)(-2,-3) (D)(2,-3) 答案:D 解析:圆方程化为,圆心(2,-3),选D. 21.(本小题共l2分) 过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点、,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长; (Ⅱ)当点P异于点B时,求证:为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力. 解:(Ⅰ)由已知得,解得,所以椭圆方程为. 椭圆的右焦点为,此时直线的方程为 ,代入椭圆方程得 ,解得,代入直线的方程得 ,所以, 故. (Ⅱ)当直线与轴垂直时与题意不符. 设直线的方程为.代入椭圆方程得. 解得,代入直线的方程得, 所以D点的坐标为. 又直线AC的方程为,又直线BD的方程为,联立得 因此,又. 所以. 故为定值. 天津理 5.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( ). A. B. C. D. 【解】解法1.由题设可得双曲线方程满足,即. 于是. 又抛物线的准线方程为,因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则 ,于是. 所以双曲线的方程.故选B. 解法2.因为抛物线的准线方程为,双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则.由此排除A,C. 又双曲线的一条渐近线方程是,则,由此又排除D,故选B. 13.已知圆的圆心是直线(为参数)与轴的交点,且圆与直线相切,则圆的方程为 . 【解】. 把直线(为参数)化为普通方程为,与轴的交点为. 于是圆心的坐标为; 因为圆与直线相切,所以圆心到直线的距离即为半径, 因此. 所以圆的方程为. 20.(本小题满分分)已知椭圆的离心率.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且.求的值. 【解】(Ⅰ)由得,再由得. 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为, 所以,则, 解方程组得.所以椭圆的方程. (Ⅱ)解法1.由(Ⅰ)得.设点的坐标为, 由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。 于是两点的坐标满足方程组 由方程组消去并整理得 , 因为是方程的一个根,则由韦达定理有:, 所以,从而。 设线段的中点为,则的坐标为. 下面分情况讨论: (1) 当时,点的坐标为,线段的垂直平分线为轴. 于是,,由得. (2) 当时,线段的垂直平分线方程为 . 令得,由,, .整理得..所以. 综上,或. 解法2.若轴,则,; 若直线的中垂线斜率存在,设, 则直线中垂线方程: . 令,则, 因为在椭圆上,则, 因此. . 整理得,解得,(舍). ,所以. 于是.综上,或. 天津文 13.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为 . 【解】. 由题设可得双曲线方程满足,即. 于是.又抛物线的焦点为,则.与 ,于是.所以双曲线的方程. 14..已知圆的圆心是直线与轴的交点,且圆与直线相切,则圆 的方程为 . 【解】. 直线与轴的交点为. 于是圆心的坐标为; 因为圆与直线相切,所以圆心到直线的距离即为半径, 因此. 所以圆的方程为. 21.(本小题满分分) 已知椭圆的离心率 .连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为. (ⅰ) 若,求直线的倾斜角; (ⅱ)点在线段的垂直平分线上,且.求的值. 【解】(Ⅰ)由得,再由得. 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为, 所以,则, 解方程组得.所以椭圆的方程. (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得.设点的坐标为, 由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。 于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得 ,因为是方程的一个根,则由韦达定理有 ,所以,从而. ,由,得, 整理得 ,,所以. 所以直线的倾斜角为或. (ⅱ)线段的中点为,则的坐标为. 下面分情况讨论: (1) 当时,点的坐标为,线段的垂直平分线为轴. 于是,,由得. (2) 当时,线段的垂直平分线方程为 .令得 由,, .整理得..所以. 综上,或. 浙江理8.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则 A. B. C. D. C 17.设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 . 21.(本题满分15分) 已知抛物线:=,圆:的圆心为点M (Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离; (Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线, 交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂直于AB,求直线的 方程 21.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: 所以圆心M(0,4)到准线的距离是 (II)解:设,则题意得, 设过点P的圆C2的切线方程为,即 ① 则即, 设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以 ,将①代入 由于是此方程的根,故,所以 由,得, 解得即点P的坐标为,所以直线的方程为 浙江文(9)已知椭圆(a>b>0)与双曲线有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于两点.若C1恰好将线段三等分,则 A.a2 = B.a2=13 C.b2= D.b2=2 C (12)若直线与直线互相垂直,则实数=_____________________1 (22)(本小题满分15分)如图,设P是抛物线:上的动点。过点做圆的两条切线,交直线: 于两点。 (Ⅰ)求的圆心到抛物线 准线的距离。 (Ⅱ)是否存在点,使线段被抛物线在点处得切线平分,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。 (22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 (Ⅰ)解:因为抛物线C1的准线方程为: 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为: (Ⅱ)解:设点P的坐标为,抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。 再设A,B,D的横坐标分别为 过点的抛物线C1的切线方程为: (1) 当时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为: 可得 当时,过点P(—1,1)与圆C2的切线PA为: 可得 ,所以 设切线PA,PB的斜率为,则 (2) (3) 将分别代入(1),(2),(3)得 从而 又,即 同理, 所以是方程的两个不相等的根,从而 因为,所以 从而,进而得 综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为 重庆理(8)在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是和,则四边形的面积为 B (A) (B) (C) (D) (15)设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为__________ (20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分.) 如题(20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由 20.(本题12分) 解:(I)由 解得,故椭圆的 标准方程为 (II)设,则由得 因为点M,N在椭圆上,所以, 故 设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因,因此两焦点的坐标为 重庆文9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点,左焦点在以为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 B A. B. C. D., 13.过原点的直线与圆相交所得弦的长为2,则该直线的方程为 21.如题(21)图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是 (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点P满足:,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,问:是否存在定点F,使得与点P到直线l:的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由。 题(21)图 解:(I)由 解得,故椭圆的标准方程为 (II)设,则由 得 因为点M,N在椭圆上,所以 , 故 设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点,该椭圆的右焦点为,离心率是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点,使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。查看更多