【数学】2019届一轮复习北师大版解析几何学案

【数学】2019届一轮复习北师大版解析几何学案

讲练测之练案【新课标版文 数学】 学 ] 1.练高考 1.【2017 天津，文 5】已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线 的渐近线上， 是边长为 2 的等边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】 2. 【2017 课标 3，文 11】已知椭圆 C ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F A OAF△ O 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = D 2 2 2 2 1x y a b + = 2 0bx ay ab− + = 6 3 3 3 2 3 1 3 3. 【2017 课标 II，文 12】过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴上方）， 为 的准线，点 在 上且 ,则 到直线 的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 4.【2017 天津，文 12】设抛物线 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 ，则圆的方程为 . 【答案】 【解析】 [ | | ] 5. 【2017 课标 II，文 20】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦 2: 4C y x= F 3 C M M x l C N l MN l⊥ M NF 5 2 2 2 3 3 3 2 4y x= 120FAC∠ = ° 2 2( 1) ( 3) 1x y+ + − = 2NP NM=  Q 3x = − 1OP PQ⋅ =  l 点 F. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 试题分析 （1）转移法求轨迹 设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标 关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，（2）证明直线过定点问题，一 般方法以算代证 即证 ，先设 P（m，n），则需证 ，根据条件 可得 ，而 ，代入即得 . （2）由题意知 F（-1,0），设 Q（-3，t），P（m，n），则 ， . 由 得 ，又由（1）知 ，故 . 所以 ，即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F[ 学* * *X*X* ] 6. 【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线 与 x 轴交于 A，B 两 点，点 C 的坐标为 .当 m 变化时，解答下列问题 （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】试题分析 （1）设 ，由 AC⊥BC 得 ；由韦达定理得 3 3 0m tn+ − = 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 3 3 0m tn+ − = 2 23 1m m tn n− − + − = 3 3 0m tn+ − = 2 2y x mx= + − (0,1) ( ) ( )1 2,0 , ,0A x B x 1 2 1 0x x + = ，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为 ,因为过 ， 所以 ，令 得 ，即弦长为 3. 令 得 ，所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 ， 所以 所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解法 2 设过 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D， 由 可知原点 O 在圆内，由相交弦定理可得 ， 又 ，所以 ， 所以过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 ，为定值. 2.练模拟 1.直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆心 到直线 3y kx= + ( ) ( )2 22 3 4x y− + − = 2 3 5 6 6 π π或 3 3 π π− 或 6 6 π π− 或 6 π ( ) ( )2 22 3 4x y− + − = ( )3,2 2=r ( )3,2 3y kx= + 1 2 2x x = − 2 2 2 0x y mx Ey+ + + − = (0,1) 1E = 0x = 2 2 0 1 2y y y y+ − = ⇒ = = −或 0x = 1 21, 2y y= = − ( )1 2 3− − = 1 2 2x x = − 1 2 2OD OC OA OB x x= = = 1OC = 2OD = 3OC OD+ = 的距离 ，∵直线 被圆 截得的弦长为 ，∴ 由勾股定理得 ，即 ，解得 ，故直线的倾斜角为 或 ，故选 A． 2.【2018 届湖北省稳派教育高三上第二次联考】 已知椭圆 的半焦距 为 c，且满足 ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是__________． 【答案】 3. 【2018 届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】已知直线 交抛物 线 于 和 两点，以 为直径的圆被 轴截得的弦长为 ，则 __________．学 【答案】 [ 学 ] 【解析】由 消去 y 整理得 ， 设 ， 1 2 2 + = k kd 3y kx= + ( ) ( )2 22 3 4x y− + − = 32 2 22 2 32      += dr 31 44 2 2 ++= k k 3 3±=k 6 π 6 5π ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 0c b ac− + < 10, 2      ( )1 0y kx k= + ≠ 2 4x y= E F EF x 2 7 k = 1± 2 1{ 4 y kx x y = + = 2 4 4 0x kx− − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,E x y F x y 则 ， ∴ ． 由抛物线的定义可得 ， ∴以 为直径的圆的半径为 ，圆心到 x 轴的距离为 ． 由题意得 ， 解得 ． 4.过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线， 切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率是 . 【答案】 5. 【2018 届湖南省长郡中学高三月考（五）】已知中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 的椭圆过点 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆与 轴的非负半轴交于点 ，过点 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > ( ,0) ( 0)F c c− > 2 2 2 4 ax y+ = E FE P 2OP OE OF= −   5 10 1 2 1 24 , 4x x k x x+ = = − ( ) 2 1 2 1 2 2 4 2y y k x x k+ = + + = + 2 1 2 2 4 4EF y y k= + + = + EF 21 2 22 EF k= + ( ) 2 1 2 1 2 12 y y k+ = + ( ) ( ) ( )22 22 22 2 7 2 1k k+ = + + 1k = ± O x 2 2 3 72, 3       y B B 点 ， 两点，连接 ，求 的面积的最大值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 由 ，消去 得 ， 则 ，将式子中的 换成 ，得 ． P Q PQ BPQ∆ 2 2 19 x y+ = 27 8 2 2 1{ 9 9 0 y kx x y = + + − = y ( )2 21 9 18 0k x kx+ + = 2 2 181 1 9 kBP k k = + + 0k > 1 k − 2 2 18 1 9 kBQ k += + 1 2BPQS BP BQ∆ = = 2 2 2 2 1 18 1 18 1· ·2 1 9 9 k k k k k + + + + 3.练原创 1. 方程 与 的曲线在同一坐标系中的示意图可能 是（ ） 【答案】A 【解析】原方程可化为 ① ②当 异号且 时，①为焦 点在 轴正半轴上的抛物线，②为焦点在 轴上的双曲线,选项 A、B 不符合；当 异号且 时，①为焦点在 轴正半轴上的抛物线，②为焦点在 轴上的双曲线，选项 A 符 合、B 不符合；当 同号且 时，①为焦点在 轴负半轴上的抛物线，②为焦点 在 轴上的椭圆, 选项 D 不符合； 当 同号且 时，①为焦点在 轴负半轴上 的抛物线，②无轨迹.学 02 =+ nymx )0(122 >>=+ nmnymx ,2 xn my −= 111 22 =+ n y m x nm, nm >> 0 x x nm, mn >> 0 x y nm, 0>> nm x y nm, nm >>0 x 2．已知动点 满足 ，则点 的轨迹是 ( ) A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 【答案】B 【解析】动点 的轨迹满足与定点 和一定直线 距离相等，且定 点不在定直线上，故是抛物线. 3.已知 是椭圆 长轴的两个端点， 是椭圆上关于 轴对称 的 两 点 ， 直 线 的 斜 率 分 别 为 ， 若 椭 圆 的 离 心 率 为 , 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 已知圆 经过点 ，与直线 相切，且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程； （2）已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程. 【答案】(1) ；(2) ， . 【解析】（1） . （2） 不存在时， 符合题意， 存在时， ，综上，直线方程为 ， . 5.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，且椭圆 经过点 ， 过椭 ),( yxP 5 |1243|)2()1( 22 ++=−+− yxyx P ),( yxP (1,2) 01243 =++ yx ,A B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,M N x ,AM BN 1 2,k k )0( 21 ≠kk 2 3 |||| 21 kk + 1 2 3 2 C (2,0)A 2x y+ = C 2 1 0x y+ − = C l (0,1) C l 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = 0x = 3 4 4 0x y+ − = 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = k 0x = k 3 4 4 0x y+ − = 0x = 3 4 4 0x y+ − = C x 1 2e = C (2,3)P 圆 的左焦点 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）设线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求△ 的面积 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 学 易知 ， 设 ， ，则 ， ， 设 是 的中点，则 线段 的垂直平分线 的方程为 ， 令 ，得 ． 因为 ，所以 ， C 1F C A B C AB x G 1PFG S 2 2 116 12 x y+ = 9( ,3)4 0∆ > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 16 4 +3 kx x k −+ = 2 1 2 2 16 48 4 3 kx x k −= + 0 0( , )M x y AB 2 0 2 0 0 2 8 ,4 3 6( 2) .4 3 kx k ky k x k  −= +  = + = + AB MG 0 0 1 ( )y y x xk − = − − 0y = 2 2 0 0 2 2 2 8 6 2 34 3 4 3 4 G k kx x ky k k k −= + = + = −+ + + 0k ≠ 1 02 Gx− < < 因为 ， ， 所以 的取值范围是 ． 1 1 1 3| | | | | 2 |2 2PF G P GS S FG y x∆= = ⋅ = + 1( ,0)2Gx ∈ − S 9( ,3)4