八年级数学上册第七章平行线的证明7-5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学课件新版北师大版

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7.5 三角形内角和定理 第七章 平行线的证明 第2课时 三角形的外角 学习目标 1. 了解并掌握三角形的外角的定义．（重点） 2. 掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点） 导入新课 复习引入 1. 在 △ ABC 中， ∠ A =80°, ∠ B =52°, 则 ∠ C = . 3. 什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是 180 °. 2. 如图，在△ ABC 中， ∠ A =70°, ∠ B =60°, 则∠ ACB = ，∠ ACD = . A B C D 50 ° 130° B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 问题： 发现懒洋洋独自在 O 处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从 A 前进到 C 处，然后再折回到 B 处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在 A 处拦截懒洋洋，已知∠ BAC =40° ， ∠ ABC =70°. 灰太狼从 C 处要转多少度角才能直达 B 处？ 利用 “ 三角形的内角和为 180 ° ” 来求 ∠ BCD ，你会吗？ 思考： 像 ∠ BCD 这样的角有什么特征吗？猜想它的性质 . 这节课让我们一起来探讨吧 . B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得 ∠ BCA =180 °－ ∠ A － ∠ CBA =70 °， 所以 ∠ BCD = 180 °－ ∠ BCA= 110 ° . 讲授新课 三角形的外角的概念 一 定义 如图，把 △ ABC 的一边 BC 延长 ， 得到 ∠ ACD ， 像这样 ， 三角形的一边与另一边的 延长线 组成的角，叫做 三角形的外角 . ∠ ACD 是 △ ABC 的一个外角 C B A D 问题 1 如图，延长 AC 到 E , ∠ BCE 是不是△ ABC 的一个外角？∠ DCE 是不是△ ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角 . ∠ ACD 与∠ BCE 为对顶角 ， ∠ ACD = ∠ BCE ； C B A D ∠ BCE 是△ ABC 的一个外角，∠ DCE 不是△ ABC 的一个外角 . 问题 2 如图，∠ ACD 与∠ BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ ABC 的所有外角，共有几个呢 ? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角 为对顶角 . 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线 . ∠ ACD 是 △ ABC 的一个外角 C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 总结归纳 F A B C D E 如图 , ∠ BEC 是哪个三角形的外角？ ∠ AEC 是哪个三角形的外角？ ∠ EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△ AEC 的外角 ; ∠AEC 是△ BEC 的外角 ; ∠EFD 是 △ BEF 和△ DCF 的外角 . 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 二 问题 1 如图，△ ABC 的外角 ∠ BCD 与其相邻的内角 ∠ ACB 有什么关系？ ∠ BCD 与 ∠ ACB 互补 . 问题 2 如图，△ ABC 的外角 ∠ BCD 与其不相邻的两内角 (∠ A ， ∠ B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵ ∠ A +∠ B + ∠ ACB =180 °， ∠ BCD +∠ ACB = 180 °， ∴∠ A +∠ B =∠ BCD . 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过 C 作 CE 平行于 AB ， A B C 1 2 ∴ ∠ 1= ∠ B ， （两直线平行，同位角相等） ∠ 2= ∠ A ， （两直线平行，内错角相等） ∴ ∠ ACD = ∠ 1+ ∠ 2= ∠ A + ∠ B . E 已知：如图，△ ABC ，求证： ∠ ACD =∠ A +∠ B . 验证结论 如图 ，试比较∠ 2 、∠ 1 的大小； 如图 ，试比较∠ 3 、∠ 2 、 ∠ 1 的大小 .   图 图 解： ∵∠2=∠1+∠ B , ∴∠2 ＞ ∠1. 解： ∵∠2=∠1+∠ B , ∠3=∠2+∠ D , ∴∠3 ＞ ∠2 ＞ ∠1. 拓展探究 性质 1 ： 三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 . 性质 2 ： 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . A B C D 三角形外角的性质： ∠ B+∠C=∠CAD ∠ CAD > ∠B ， ∠ CAD > ∠C 归纳总结 练一练： 说出下列图形中∠ 1 和∠ 2 的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠ 1=40 °, ∠2=140 ° ∠ 1=18 °, ∠2=130 ° 例 1 如图 , 在△ ABC 中 ,AD 平分外角∠ EAC,∠B= ∠C. 求证 :AD ∥ BC. A C D B E 典例精析 例题是运用了定理 “ 内错角相等 , 两直线平行 ” 得到了证实 . 证法一 :∵∠EAC=∠B+∠C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),∠B=∠C ( 已知 ), ∴∠C= ∠EAC( 等式的性质 ). ∵AD 平分 ∠ EAC( 已知 ). ∴∠DAC= ∠EAC( 角平分线的定义 ). ∴∠DAC=∠C( 等量代换 ). ∴AD ∥ BC( 内错角相等 , 两直线平行 ). 证法二 : 推理可得 : ∠DAC=∠C ( 已证 ), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°( 三角形内角和定理 ). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° ( 等量代换 ). ∴ AD∥BC( 同旁内角互补 , 两直线平行 ). 这里是运用了定理 “ 同旁内角互补 , 两直线平行 ” 得到了证实 . A C D B E 例 2 如图 ,P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . ∠B= ∠C. 求证 : ∠ BPC ＞∠ A . 证明 : 如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC 是△ PDC 的一个外角 ( 外角定义 ), ∴ ∠BPC>∠PDC( 三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角 ). ∵ ∠PDC 是△ ABD 的一个外角 ( 外角定义 ), ∴ ∠PDC>∠A ( 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角 ). ∴ ∠BPC>∠A . （不等式的性质） A B C P D 还有其他证明方法吗？ 1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角 , 则这个三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 C 2. 如图所示 , 若∠ A=32°,∠B=45°,∠C=38°, 则∠ DFE 等于 ( ) A.120° B.115° C.110° D.105° F E D C B A B 练一练 例 3 如图 , ∠ A =42°,∠ ABD =28°,∠ ACE =18°, 求∠ BFC 的度数 . ∵ ∠ BEC 是△ AEC 的一个外角， ∴ ∠ BEC = ∠ A + ∠ ACE ， ∵∠ A =42° ， ∠ ACE =18° ， ∴ ∠ BEC =60 °. ∵ ∠ BFC 是△ BEF 的一个外角， ∴ ∠ BFC = ∠ ABD + ∠ BEF ， ∵ ∠ ABD =28° ， ∠ BEC =60° ， ∴ ∠ BFC =88 °. 解： F A C D E B 典例精析 例 4 如图， P 为 △ ABC 内一点， ∠ BPC ＝ 150° ， ∠ ABP ＝ 20° ， ∠ ACP ＝ 30° ，求 ∠ A 的度数． 解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出 ∠ A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E ， 则 ∠ BPC ， ∠ PEC 分别为 △ PCE ， △ ABE 的外角， ∴∠ BPC ＝ ∠ PEC ＋ ∠ PCE ， ∠ PEC ＝ ∠ ABE ＋ ∠ A ， ∴∠ PEC ＝ ∠ BPC － ∠ PCE ＝ 150° － 30° ＝ 120°. ∴∠ A ＝ ∠ PEC － ∠ ABE ＝ 120° － 20° ＝ 100°. 【变式题】 ( 一题多解 ) 如图， ∠ A =51 °， ∠ B =20 °， ∠ C =30 °，求 ∠ BDC 的度数 . A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题 . A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接 AD 并延长于点 E . 在△ ABD 中， ∠1+∠ ABD =∠3 ， 在△ ACD 中， ∠2+∠ ACD =∠4. 因为 ∠ BD C =∠3+∠4 ， ∠ BAC =∠1+∠2 ， 所以 ∠ BDC =∠ BAC +∠ ABD +∠ ACD =51 ° +20 ° +30 ° =101 ° . E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E . 在△ ABE 中， ∠1=∠ ABE+ ∠ BAE ， 在△ ECD 中， ∠ BDC =∠1+∠ ECD . 所以 ∠ BDC =∠ BAC +∠ ABD +∠ ACD =51 ° +20 ° +30 ° =101 ° . 解法三 : 连接延长 CD 交 AB 于点 F （解题过程同解法二） . ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解 . 总结 三角形的外角和 三 例 5 如图 ， ∠ BAE , ∠ CBF , ∠ ACD 是 △ ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠ BAE = ∠ 2+ ∠ 3 ， ∠ CBF = ∠ 1+ ∠ 3, ∠ ACD = ∠ 1+ ∠ 2. 又知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=180 ° ， 所以∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD =2( ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解法二：如图， ∠ BAE + ∠ 1=180 ° ① ， ∠ CBF + ∠ 2=180 ° ② ， ∠ ACD + ∠ 3=180 ° ③ ， 又知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=180 ° ， ①+ ②+ ③ 得 ∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD +( ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3)=540 ° ， 所以∠ BAE + ∠ CBF + ∠ ACD =540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC ， ∠ 3 ＝ ∠ 4 B C 1 2 3 4 A ∠ 2 ＝ ∠ BAM ， 所以 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 1 ＋ ∠ 4 ＋ ∠ BAM =360° M ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 4 ＋ ∠ BAM ， 结论：三角形的外角和等于 360° . 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 当堂练习 1. 判断下列命题的对错 . （ 1 ） 三角形的外角和是指三角形的所有外角的和 . （ ） （ 2 ） 三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍 . （ ） （ 3 ） 三角形的一个外角等于两个内角的和 . （ ） （ 4 ） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 . （ ） （ 5 ） 三角形的一个外角大于任何一个内角 . （ ） （ 6 ） 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角 . （ ） 2. 如图， AB // CD ，∠ A ＝ 37°, ∠ C ＝ 63° ， 那么∠ F 等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 3. （ 1 ）如图，∠ BDC 是 __ ______ 的外角 , 也是 的外角； (2) 若∠ B =45 ° ， ∠ BAE =36 °, ∠ BCE =20 °, 试求∠ AEC 的度数 . A B C D E △ ADE △ ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ ADC = ∠ B + ∠ BCE , ∠ AEC = ∠ ADC + ∠ BAE. 所以∠ AEC = ∠ B + ∠ BCE + ∠ BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 解：因为 ∠ ADC 是 △ ABD 的外角 . 4 . 如图， D 是 △ ABC 的 BC 边上一点, ∠ B =∠ BAD , ∠ ADC =80°，∠ BAC =70°， 求： （ 1） ∠ B 的度数； （2）∠ C 的度数 . 在 △ ABC 中， ∠ B +∠ BAC +∠ C =180° ， ∠ C =180º-40º-70º=70°. 所以 ∠ ADC =∠ B +∠ BAD =80°. 又因为 ∠ B =∠ BAD ， A B C D A B C D E 1 2 F G 解：∵∠ 1 是△ FBE 的外角 , ∴∠ 1=∠ B + ∠ E , 同理∠ 2=∠ A +∠ D . 在△ CFG 中 , ∠ C +∠1+∠2=180º, ∴∠ A + ∠ B +∠ C + ∠ D +∠ E = 180º. 5. 如图，求∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数 . 能力提升： 1 2 3 B A C P N M D E F 6. 如图，试求出 ∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F =________. 360° 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360 ° 2. 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角