2014年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题及答案

2014年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题及答案

‎2014年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（2014黑龙江哈尔滨市，1，3分）哈市某天的最高气温‎28℃‎，最低气温‎21℃‎，则这一天的最高气温与最低气温的差为（ ）‎ ‎（A）5℃ （B）6℃ （C）7℃ （D）8℃‎ ‎【答案】C ‎2．（2014黑龙江哈尔滨市，2，3分）用科学记数法表示927 000正确的是（ ）‎ ‎（A）9.27×106 （B）9.27×105 （C）9.27×104 （D）927×103‎ ‎【答案】B ‎3．（2014黑龙江哈尔滨市，3，3分）下列计算正确的是（ ）‎ ‎（A）3a－2a＝1 （B）a2＋a5＝a7 （C）a2·a4＝a6 （D）(ab)3＝ab3‎ ‎【答案】C ‎4．（2014黑龙江哈尔滨市，4，3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎5．（2014黑龙江哈尔滨市，5，3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）‎ ‎（A）k＞1 （B）k＞0 （C）k≥1 （D）k＜1‎ ‎【答案】A ‎6．（2014黑龙江哈尔滨市，6，3分）如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的俯视图是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第6题图 ‎【答案】D ‎7．（2014黑龙江哈尔滨市，7，3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是（ ）‎ ‎（A）30° （B）25° （C）20° （D）15°‎ 第7题图 ‎【答案】B ‎8．（2014黑龙江哈尔滨市，8，3分）将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　　）‎ ‎（A）y＝－2(x＋1)2－1 （B）y＝－2(x＋1)2＋3‎ ‎（C）y＝－2(x－1)2＋1 （D）y＝－2(x－1)2＋3‎ ‎【答案】D ‎9．（2014黑龙江哈尔滨市，9，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A/B/C是由△ABC绕C点顺时针旋转得到，其中点A/与点A是对应点，点B/与点B是对应点，连接AB/，且A、B/、A/在同一条直线上，则AA/的长为（ ）‎ ‎（A）6 （B） （C） （D）3‎ 第9题图 ‎【答案】A ‎10．（2014黑龙江哈尔滨市，10，3分）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家．15分钟后妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校．小刚始终以‎100米/分的速度步行，小刚与妈妈的距离y（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：‎ ‎①打电话时，小刚和妈妈的距离为‎1250米；‎ ‎②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；‎ ‎③小刚与妈妈相遇后，妈妈回家的速度为‎150米/分；‎ ‎④小刚家与学校的距离为‎2550米．‎ 其中正确的个数是（ ）‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 第10题图 ‎【答案】C 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（2014黑龙江哈尔滨市，11，3分）计算：＝____________．‎ ‎【答案】‎ ‎12．（2014黑龙江哈尔滨市，12，3分）在函数中，自变量x的取值范围是_____________________．‎ ‎【答案】x≠－2‎ ‎13．（2014黑龙江哈尔滨市，13，3分）把多项式‎3m2‎－6mn＋3n2分解因式的结果是_________________________．‎ ‎【答案】3(m－n)2‎ ‎14．（2014黑龙江哈尔滨市，14，3分）不等式组的解集是_________________________．‎ ‎【答案】－1＜x≤1‎ ‎15．（2014黑龙江哈尔滨市，15，3分）若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为_________________________．‎ ‎【答案】1‎ ‎16．（2014黑龙江哈尔滨市，16，3分）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是1的概率为_________________________．‎ ‎【答案】‎ ‎17．（2014黑龙江哈尔滨市，17，3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为_________________________．‎ 第17题图 ‎【答案】5‎ ‎18．（2014黑龙江哈尔滨市，18，3分）一个底面直径为‎10cm，母线长为‎15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是_________________度．‎ ‎【答案】120‎ ‎19．（2014黑龙江哈尔滨市，19，3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为_________________________．‎ 第19题图 ‎【答案】5‎ ‎20．（2014黑龙江哈尔滨市，20，3分）如图，在△ABC中，4AB＝‎5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，则的值为________________．‎ 第20题图 ‎【答案】‎ 三、解答题（其中第21—24题各6分，25—26题各8分，27—28题各10分，共计60分）‎ ‎21．（本题6分）（2014黑龙江哈尔滨市，21，6分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos45°＋2，y＝2．‎ ‎【答案】解：原式＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝……………………………………2分 ‎ 当x＝2cos45°＋2＝＋2＝＋2，y＝2时，……………2分 原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝．……………………………………2分 ‎22．（本题6分）（2014黑龙江哈尔滨市，22，3分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．‎ ‎（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；‎ ‎（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．‎ 第22题图 ‎【答案】解：（1）如下图：‎ ‎（画图正确3分）‎ ‎（2）6．…………………3分 ‎23．（本题6分）（2014黑龙江哈尔滨市，23，6分）君场中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需要的文具是什么？（必须且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，最需要圆规的学生有多少名？并补全条形统计图；‎ ‎（2）如果全校有970名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名．‎ 第23题图 ‎【答案】解：（1）∵18÷30%＝60（名），‎ ‎ 60－21－18－6＝15（名），…………………1分 ‎∴在这次调查中，最需要圆规的学生有15名，…………………1分 补全条形统计图如下图所示：…………………1分 ‎（2）∵970×＝97（名），…………………2分 ‎∴估计全校学生中最需要钢笔的学生有97名．…………………‎ ‎1分 ‎24．（本题6分）（2014黑龙江哈尔滨市，24，6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为‎60m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．‎ ‎（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；‎ ‎（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．‎ 第24题图 ‎【答案】解：（1）根据题意得BD∥AE，‎ ‎∴∠ADB＝∠EAD＝45°．…………1分 ‎ ∵∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠ADB＝45°．…………1分 ‎∴BD＝AD＝60（米）．‎ ‎∴两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为60米．………1分 ‎ （2）延长AE、DC交于点F，根据题意可知四边形ABDF是正方形，‎ ‎ ∴AF＝BD＝DF＝60．…………1分 ‎ 在Rt△AFC中，∠FAC＝30°，由tan∠CAF＝，得 CF＝AFtan∠CAF＝60tan30°＝60×＝20．…………1分 又∵DF＝60，‎ ‎∴CD＝60－20．‎ ‎∴建筑物CD的高度为（60－20）米．…………1分 ‎25．（本题8分）（2014黑龙江哈尔滨市，25，8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE．‎ ‎（1）求∠ACB的度数；‎ ‎（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．‎ 第25题图 ‎【答案】解：（1）在⊙O中，∠A＝∠D，…………1分 ‎ ∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，‎ ‎∴△AEB≌△DEC．…………1分 ‎∴EB＝EC．…………1分 又∵BC＝CE，‎ ‎∴△EBC是等边三角形．‎ ‎∴∠ACB＝60°．…………1分 ‎ （2）过点B作BM⊥AC于点M，‎ ‎ ∵OF⊥AC，‎ ‎∴AF＝CF．…………1分 ‎∵△EBC是等边三角形，‎ ‎∴∠GEF＝60°．‎ ‎∴∠EGF＝30°．‎ ‎∵EG＝2，‎ ‎∴EF＝1．…………1分 又∵DE＝AE＝3，‎ ‎∴CF＝AF＝4．‎ ‎∴AC＝8，CE＝5．‎ ‎∴BC＝5．…………1分 ‎∵∠BCM＝60°，‎ ‎∴∠MBC＝30°．‎ ‎∴CM＝，BM＝．‎ ‎∴AM＝AC－CM＝．‎ ‎∴AB＝＝7．…………1分 ‎26．（本题8分）（2014黑龙江哈尔滨市，26，8分）荣庆公司计划从商店购买同一种品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．‎ ‎（1）求购买该品牌的一个台灯、一个手电筒各需要多少元；‎ ‎（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌的台灯赠送一个该品牌的手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可以购买多少个该品牌的台灯？‎ ‎【答案】解：（1）设购买一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要(x＋20)元，根据题意，得…………2分 ‎ 解得x＝5，‎ ‎ 经检验，x＝5是原方程的解．…………1分 ‎ ∴x＋20＝25．‎ ‎ 答：购买该一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元．…1分 ‎ （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需购买手电筒的个数为(‎2a＋8‎ ‎－a)个，由题意得 ‎25a‎＋5(‎2a＋8－a)≤670，…………2分 解得a≤21．…………1分 ‎∴荣庆公司最多可以购买21个该品牌的台灯．…………1分 ‎27．（本题10分）（2014黑龙江哈尔滨市，27，10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝－x＋4交于另一个点B，且点B的横坐标为1．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）点P是线段AB上一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F．设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当S△ACN＝S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR－∠BRN＝45°时，求点R的坐标．‎ ‎ ‎第27题图 第27题备用图 ‎【答案】解：（1）∵直线y＝－x＋4与x轴交于点A，‎ ‎∴A(4，0)．‎ ‎∵点B的横坐标为1且直线直线y＝－x＋4经过点B，‎ ‎∴B(1，3)．…………1分 ‎∵抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)、B(1，3)，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴ a＝－1，b＝4．…………1分 ‎（2）如图1，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E．‎ ‎ ∵A(4，0)、B(1，3)，‎ ‎∴OD＝1，BD＝3，OA＝4．‎ ‎∴AD＝3．…………1分 ‎∵∠BDA＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABD＝45°．‎ ‎∵MC⊥x轴，‎ ‎∴∠ANC＝∠NAC＝45°．‎ ‎∵PF⊥MC，‎ ‎∴∠PNF＝∠ANC＝45°．‎ ‎∵NF＝PF＝t．…………1分 ‎∵∠PFM＝∠ECM＝90°，‎ ‎∴PF∥EC．‎ 第27题答图1‎ ‎∴∠MPF＝∠MEC．‎ ‎∵PM∥OB，‎ ‎∴∠BOD＝∠MEC．‎ ‎∴∠BOD＝∠MPF．‎ 又∵∠ODB＝∠PFM＝90°，‎ ‎∴△MPF∽△BOD．‎ ‎∴．‎ ‎∴MF＝3PF＝3t．…………1分 ‎∵MN＝MF＋FN，‎ ‎∴d＝3t＋t＝4t．‎ ‎∴d与t之间的函数关系式为d＝4t．…………1分 ‎（3）如图2，由（2）知，PF＝t，MN＝4t．‎ ‎ ∴S△PMN＝MN·PF＝×4t×t＝2t2．‎ ‎ ∵∠CAN＝∠ANC，‎ ‎∴CA＝CN．‎ ‎∴S△PMN＝AC2．‎ ‎∵S△ACN＝S△PMN，‎ ‎∴AC2＝2t2．‎ ‎∴AC＝2t．‎ ‎∴CN＝2t．‎ ‎∴MC＝MN＋NC＝6t．‎ ‎∴OC＝OA－AC＝4－2t．‎ ‎∴M(4－2t，6t)．…………1分 ‎∵点M(4－2t，6t)在抛物线y＝－x2＋4x上，‎ ‎∴6t＝－(4－2t)2＋4(4－2t)，解得t1＝0（舍去），t2＝．…………1分 ‎∴PF＝FN＝，AC＝CN＝1，OC＝3，MF＝．‎ ‎∴PN＝，PM＝，AN＝．‎ ‎∵AB＝3，‎ ‎∴BN＝2．‎ 过N点作NH⊥RQ于点H．‎ ‎∵QR∥MN，‎ ‎∴∠MNH＝∠RHN＝90°，∠RQN＝∠QNM＝45°．‎ ‎∴∠MNH＝∠NCO．‎ ‎∴NH∥OC．‎ ‎∴∠HNR＝∠NOC．‎ ‎∴tan∠HNR＝tan∠NOC，．‎ 设RH＝n，则HN＝3n，‎ 第27题答图2‎ ‎∴RN＝n，QN＝3n．‎ ‎∴PQ＝QN－PN＝3n－．‎ ‎∵ON＝，OB＝，‎ ‎∴OB＝ON．‎ ‎∴∠OBN＝∠BNO．‎ ‎∵PM∥OB，‎ ‎∴∠OBN＝∠MPB．‎ ‎∴∠BNO＝∠MPB．‎ ‎∵∠MQR－∠BRN＝45°，∠MQR＝∠MQP＋∠RQN＝∠MQP＋45°，‎ ‎∴∠BRN＝∠MQP．‎ ‎∴△PMQ∽△NBR．…………1分 ‎∴．‎ ‎∴，解得n＝．‎ ‎∴R(，)．…………1分 ‎28．（本题10分）（2014黑龙江哈尔滨市，28，10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB＝∠CAD＋∠ABD，∠BAD＝3∠CBD．‎ ‎（1）求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）M是线段BD上的一点，BM︰AB＝3︰4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF的中点，连接MH，当GN＝GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．‎ 第28题图 第28题备用图 ‎【答案】解：‎ （1） 证明：如图1，作∠BAP＝∠DAE，AP交BD于点P，设∠CBD＝α，∠CAD ＝β．‎ ‎ ∵∠ADB＝∠CAD＋∠ABD，∠APE＝∠BAP＋∠ABD，‎ ‎∴∠APE＝∠ADE．‎ 第28题答图1‎ ‎∴AP＝AD．…………1分 ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠PAE＝∠DAE＝β．…………1分 ‎∴∠PAD＝2β，∠BAD＝3β．‎ ‎∵∠BAD＝3∠CBD，‎ ‎∴3β＝3α．‎ ‎∴β＝α．…………1分 ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠ACB＝90°－α＝90°－β．‎ ‎∵∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝90°－β，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB．…………1分 ‎∴AB＝AC．‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．…………1分 ‎（2）2MH＝FM＋CD．…………1分 ‎ 证明：如图2，由（1）知AP＝AD，AB＝AC，∠BAP＝∠CAD＝β，‎ 第28题答图2‎ ‎ ∴△ABP≌△ACD．‎ ‎ ∴∠ABE＝∠ACD．…………1分 ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠GDN＝90°－β．‎ ‎∵GN＝GD，‎ ‎∴∠GND＝∠GDN＝90°－β．‎ ‎∴∠AGF＝∠NGD＝2β．‎ ‎∴∠AFG＝∠BAD－∠AGF＝3β－2β＝β．‎ ‎∵FN平分∠BFM，‎ ‎∴∠NFM＝β．‎ ‎∴∠FMN＝90°．…………1分 ‎∵点H为BF的中点，‎ ‎∴BF＝2HM．‎ 在FB上截取FR＝FM，连接RM．‎ ‎∴∠FRM＝∠FMR＝90°－β．‎ ‎∵∠ABC＝90°－β．‎ ‎∴∠FRM＝∠ABC．‎ ‎∴RM∥BC．‎ ‎∴∠CBD＝∠RMB．‎ ‎∵∠CAD＝∠CBD＝β，‎ ‎∴∠RMB＝∠CAD．…………1分 又∵∠RBM＝∠ACD．‎ ‎∴△RMB∽△DAC．‎ ‎ ∴．‎ ‎∴FB－FM＝BR＝CD．‎ ‎∴2MH＝FM＋CD．…………1分 ‎ ‎