2019年湖南岳阳中考数学试题（解析版）

2019年湖南岳阳中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年岳阳中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年湖南省岳阳市中考数学试卷 考试时间：90分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分． ‎ ‎{题目}1．（2019年岳阳T1）－2019的绝对值是（ ）‎ A．2019 B．－2019 C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，得：|－2019|＝2019，，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年岳阳T2）下列运算结果正确的是（ ）‎ ‎ A．3x－2x＝1 B．x3÷x2＝x C．x3·x2＝x6 D．x2＋y2＝(x＋y)2‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了整式的运算，选项A：3x－2x＝x；选项B正确；选项C ：x3·x2＝x5；选项D：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:整式加减}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年岳阳T3）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 　A．　　　　B．　　　 C． 　　 D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了立体图形的三视图，正方体的俯视图与正方形，其它三个的俯视图都是圆，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单} ‎ ‎{题目}4．（2019年岳阳T4）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）‎ A．20º B．25º C．30º D．50º ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了平行线的性质，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC＝×50º＝25º．∵BE∥DC，∴∠C＝∠EBC＝25º．，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:角平分线的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年岳阳T5）函数中，自变量x的取值范围是（ ）‎ A．x≠0 B．x≥－2 C．x＞0 D．x≥－2且x≠0‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了函数自变量的取值范围，由题意可知：x＋2≥0，解得x≥－2，又因为x为分母，故x≠0，所以x≥－2且x≠0，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-1-1]变量与函数}‎ ‎{考点:函数自变量的取值范围}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．（2019年岳阳T6）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，则射击成绩最稳定的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了方差，根据方差越小越稳定可知丙的方差最小，故丙的射击成绩最稳定，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{考点:方差的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019年岳阳T7）下列命题是假命题的是（ ）‎ A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．同角（或等角）的余角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了真假命题的判断，因为平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A是假命题，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}‎ ‎{考点:命题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019年岳阳T8）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）‎ A．c＜－3 B．c＜－2 C． D．c＜1‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了二次函数与一元二次方程，当y＝x时，x＝x2+2x+c，即为x2+x+c＝0，由题意可知：x1、x2是该方程的两个实数根，所以：‎ ‎∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0‎ 即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0‎ ‎∴c－(－1) ＋1＜0‎ ‎∴c＜－2‎ 又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0‎ 即12－4c＞0，‎ 解得：c＜‎ ‎∴c的取值范围为c＜－2 ，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:抛物线与不等式（组）}‎ ‎{考点:代数选择压轴}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，合计32分．‎ ‎{题目}9．（2019年岳阳T9）因式分解：ax－ay＝ ．‎ ‎{答案}a(x－y)‎ ‎{解析}本题考查了多项式的因式分解，提公因式a，得ax－ay＝a(x－y)，因此本题答案为a(x－y)．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}10．（2019年岳阳T10）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳 “水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为，600000人次．数据600000用科学记数法表示为 ．‎ ‎{答案}6×105‎ ‎{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 600000＝6×105，因此本题答案为6×105．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}11．（2019年岳阳T11）分别写有数字，，－1，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了事件的概率，五个数中和π是无理数，故从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是，因此本题答案为．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．（2019年岳阳T12）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 .‎ ‎{答案}4‎ ‎{解析}本题考查了多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n－2) ·180º＝360º，解得：n＝4．所以这个多边形的边数为4，因此本题答案为4．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:多边形的外角和}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．（2019年岳阳T13）分式方程的解为x＝ .‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的解法，去分母，得：x+1＝2x，解得x＝1，经检验x＝1是原方程的解，因此本题答案为1．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14．（2019年岳阳T14）已知x－3＝2，则代数式(x－3)2－2(x－3) ＋1的值为 ．‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了求代数式的值，把“x－3＝2”整体代入，可得22－2×2＋1＝1，因此本题答案为1．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-2-1]整式}‎ ‎{考点:代数式求值}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019年岳阳T15）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了一元一次方程的应用，设该女子第一天织布x尺，根据题意得：x＋2x＋4x＋8x＋16x＝5，解得：，所以，该女子第一天织布尺.因此本题答案为．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019年岳阳T16）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①AM平分∠CAB；‎ ‎②AM2＝AC·AB；‎ ‎③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；‎ ‎④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．‎ ‎{答案}①②④‎ ‎{解析}本题考查了圆的基本性质，切线的性质，弧长计算，相似三角形的判定和性质，‎ 连接OM，BM ‎∵PE是⊙O的切线，‎ ‎∴OM⊥PE．‎ ‎∵AC⊥PE，‎ ‎∴AC∥OM．‎ ‎∴∠CAM＝∠AMO．‎ ‎∵OA＝OM，‎ ‎∴∠AMO＝∠MAO．‎ ‎∴∠CAM＝∠MAO．‎ ‎∴AM平分∠CAB．选项①正确；‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AMB＝90º＝∠ACM．‎ ‎∵∠CAM＝∠MAO，‎ ‎∴△AMC∽△ABM．‎ ‎∴．‎ ‎∴AM2＝AC·AB．选项②正确；‎ ‎∵∠P＝30°，‎ ‎∴∠MOP＝60°．‎ ‎∵AB＝4，‎ ‎∴半径r＝2．‎ ‎∴．选项③错误；‎ ‎∵BD∥OM∥AC，OA＝OB，‎ ‎∴CM＝MD．‎ ‎∵∠CAM＋∠AMC＝90°，∠AMC＋∠BMD＝90°，‎ ‎∴∠CAM＝∠BMD．‎ ‎∵∠ACM＝∠BDM＝90°，‎ ‎∴△ACM∽△MDB．‎ ‎∴．‎ ‎∴CM·DM＝3×1＝3．‎ ‎∴CM＝DM＝．选项④正确；‎ 综上所述，结论正确的有①②④，因此本题答案为①②④．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计64分．‎ ‎{题目}17．（2019年岳阳T17）计算：‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握任何不等于0的数的零次方都等于1，特殊角的三角比，负指数幂的意义．‎ ‎{答案}解： ‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{题目}18．（2019年岳阳T18）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF．求证：∠1＝∠2．‎ ‎{解析}本题考查了菱形的性质及全等三角形判定和性质，根据菱形的性质得AD＝CD，运用“SAS”证明△ADF≌△CDE即可．‎ ‎{答案}解：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AD＝CD．‎ ‎∵∠D＝∠D，DE＝DF，‎ ‎∴△ADF≌△CDE．‎ ‎∴∠1＝∠2．‎ ‎ {分值}6‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{题目}19．（2019年岳阳T19）如图，双曲线经过点P（2，1），且与直线y＝kx－4（k＜0）有两个不同的交点．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求k的取值范围．‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）把点P的坐标代入反比例函数解析式可求出m；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k的取值范围．‎ ‎{答案}解： （1）把点P（2，1）代入反比例函数，得：‎ ‎，m＝2；‎ ‎（2）由（1）可知反比例函数解析式为，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ ‎∵双曲线与直线有两个不同的交点，‎ ‎∴△＞0．‎ 即：．‎ 解得：k＞－2．‎ 又∵k＜0，‎ ‎∴k的取值范围为－2＜k＜0．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:反比例函数的解析式}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:其他反比例函数综合题}‎ ‎{题目}20．（2019年岳阳T20）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．‎ ‎（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？‎ ‎（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？‎ ‎{解析}本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，（1）设复耕土地面积为x亩，改造土地面积为y亩，根据“总共1200亩”和“复耕面积比改造面积多600亩”列方程组求解；（2）设休闲小广场的面积为m亩，则花卉园的面积为（300－m）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列不等式求解．‎ ‎{答案}解： （1）设复耕土地面积为x亩，改造土地面积为y亩，根据题意，得：‎ 解得：‎ 答：复耕土地面积为900亩，改造土地面积为300亩．‎ ‎（2）设休闲小广场的面积为m亩，则花卉园的面积为（300－m）亩，根据题意，得：‎ 解得：m≤75‎ 答：休闲小广场总面积最多为75亩．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-9-2]一元一次不等式}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{考点:二元一次方程组的应用}‎ ‎{题目}21．（2019年岳阳T21）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．‎ ‎（1）表中m＝ ，n＝ ．‎ ‎（2）请在图中补全频数直方图；‎ ‎（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 　　　分数段内；‎ ‎（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎{解析}本题考查了统计图表与概率的计算．（1）根据选手总数40和频率、频数求m，n的值；（2）根据m的值补全图形即可；（3）确定40名选手最中间两名的位置，即可确定中位数的分数段；（4）列举出所有等可能的结果，从中找出一男一女的个数计算概率或先画出树状图，再求概率．‎ ‎{答案}解： （1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35 ‎ ‎（2）补全频数直方图如下：‎ ‎（3）成绩从小到大排序后，第20名和第21名同学的成绩都落在84.5~89.5之间，故甲的成绩落在84.5~89.5分数段内．‎ ‎（4）成绩在94.5分以上的选手共有4名，故男生两名、女生两名 列举如下：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，女2）‎ 共6种可能，恰好一名男生和一名女生的有4种情况，所以P（一男一女）＝．‎ 或列树状图如下：‎ 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的结果共有8种，故P＝‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:频数（率）分布表}‎ ‎{考点:频数（率）分布直方图}‎ ‎{考点:统计表}‎ ‎{题目}22．（2019年岳阳T22）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）‎ ‎（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）‎ ‎（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△ACG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB＝AH+HB代入求塔高．‎ ‎{答案}解： （1）在Rt△AEH中，∠AEH＝62.3°，‎ ‎．‎ ‎∴AH＝EH·tan62.3°＝BF·tan62.3°＝1.9a．‎ ‎∵GH＝GB－HB＝CD－EF＝1.7－1.5＝0.2，‎ ‎∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2．‎ 在Rt△ACG中，‎ ‎∵∠ACG＝45°，‎ ‎∴CG＝AG＝1.9a－0.2．‎ ‎∴BD＝ CG＝1.9a－0.2．‎ 所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米． ‎ ‎（2）∵DF＝BD+BF，‎ ‎∴1.9a－0.2＋a＝52．‎ 解得：a＝18‎ ‎∴AB＝AH＋BH＝1.9a＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7（米）．‎ 所以慈氏塔的高度AB为35.7米． ‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－仰角}‎ ‎{题目}23．（2019年岳阳T23）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和点N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．‎ ‎（1）如图1，求证：BE＝BF；‎ ‎（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；‎ ‎（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．‎ ‎①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；‎ ‎②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）‎ ‎{解析}本题考查了矩形的折叠及角平分线的性质．（1）由两直线平行内错角相等和折叠对应角相等，得到∠BFE＝∠BEF，从而结论可得；（2）延长NP交AD于点G，根据角平分线的性质可得PG＝PM，从而□PNQM的周长转化为矩形宽的2倍，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB，则问题解决．（3）①延长PN交AD于点H，运用角平分线性质得到PM－PN＝HN＝AB，运用勾股定理求出AB结合平行四边形的性质，结论可得；②方法与①完全相同，只不过本题变为了PN－PM＝AB，故结论QM与QN的位置互换．‎ ‎{答案}解：（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEF＝∠BFE．‎ 由折叠可知：∠BEF＝∠DEF ‎∴∠BFE＝∠BEF．‎ ‎∴BE＝BF． ‎ ‎（2）延长NP交AD于点G．‎ 由折叠可知：BE＝DE＝5，‎ ‎∵BF＝BE，‎ ‎∴BF＝DE．‎ ‎∵AD＝BC，‎ ‎∴AE＝CF＝2．‎ 在Rt△ABE中，‎ AB＝．‎ ‎∵AB∥CD，PN⊥BC，‎ ‎∴PN⊥AD．‎ 即PG⊥AD．‎ ‎∵∠BEF＝∠DEF，PM⊥BE，‎ ‎∴PM＝PG．‎ ‎∴PM＋PN＝NG＝AB．‎ ‎□PNQM的周长＝2（PM＋PN）＝2AB＝．‎ ‎（3）①QN－QM＝．‎ 证明：延长PN交AD于点H．‎ 由（2）可知BE＝DE＝a，AE＝CF＝b， ‎ ‎∴．‎ ‎∵∠BEP＝∠DEP，PM⊥BE，PH⊥AD，‎ ‎∴PM＝PH．‎ ‎∴PM－PN＝HN＝AB＝．‎ ‎∵四边形PNQM是平行四边形，‎ ‎∴QM＝PN，QN＝PM．‎ ‎∴QN－QM＝．‎ ‎②QM－QN ＝． ‎ ‎ ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:等角对等边}‎ ‎{考点:角平分线的性质}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:轴对称的性质}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}24．（2019年岳阳T24）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为－4，点B的纵坐标为－2．（点A在点B的左侧）‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）将△AOB绕点O逆时针转90°得到△A′OB′，抛物线F2：经过A′、B′两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A′恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A′M，求 ‎△OA′M的面积；‎ ‎（3）如图2，延长OB′交抛物线F2于点C，连接A′C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA′C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与几何图形的综合运用．（1）分别将A点横坐标和B点纵坐标代入抛物线F1可得；（2）通过A′、B′的坐标求出抛物线F2的函数关系式，根据点M在对称轴上求出点M的横坐标；延长A′M交x轴于点N，则△A′MN为等腰直角三角形，求出N点坐标，进一步求出直线A′N的解析式，得到点M的坐标，最后利用SA′OM＝ SA′′ON－SOMN求解．（3）根据点在直线OB′和抛物线F2上求出点C的坐标，得到A′C的长度及∠OA′C的度数，根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点D的坐标．‎ ‎{答案}解： （1）将x＝－4代入，得：，‎ ‎∴A（－4，－4）．‎ 将y＝－2代入，得：，‎ 解得：x1＝－1，x2＝－6‎ ‎∵点A在点B的左侧，‎ ‎∴B（－1，－2）·‎ ‎（2）由旋转可知：A′（4，－4），B′（2，－1）‎ 代入抛物线，得：‎ 解得：‎ ‎∴抛物线F2：．‎ 对称轴为：‎ 延长A′M交x轴于点N，‎ ‎∵点A′恰好在以OM为直径的圆上，‎ ‎∴∠OA′M＝90°．‎ ‎∵A′（4，－4），‎ ‎∴∠A′ON＝45º．‎ ‎∴△ A′ON为等腰直角三角形．‎ ‎∴ON＝4×2＝8．‎ ‎∴N（8，0）‎ 设直线A′N：y＝mx＋n 则 解得：‎ ‎∴y＝x－8．‎ 当x＝6时，y＝－2．‎ ‎∴M（6，－2）‎ ‎∴SA′OM＝ SA′′ON－SOMN ‎ ＝‎ ‎＝8．‎ 所以，△OA′M的面积为8．‎ ‎（3）设直线OB′解析式为：y＝kx，代入B′（2，－1），‎ 得：2k＝－1‎ ‎．‎ 设直线OB′解析式为：．‎ 解方程组：‎ 得：，‎ ‎∵B′（2，－1）‎ ‎∴C（8，－4）．‎ ‎∵A（4，－4），‎ ‎∴A′C∥x轴，A′C＝8－4＝4，‎ ‎∴∠OA′C＝135º．‎ 若以A、O、D为顶点的三角形与△OA′C相似则△AOD必有一个钝角135°，故点O与点A′是对应顶点．‎ 所以点D在x轴或y轴正半轴上．‎ OA＝OA′＝．‎ ‎①若△AOD∽△OA′C，则 ‎∴OD＝A′C＝4．‎ 此时点D的坐标为（4，0）或（0，4）．‎ ‎②若△AOD∽△CA′O，则 ‎∴OD＝8．‎ 此时点D的坐标为（8，0）或（0，8）．‎ 由①②可知，坐标轴上存在点D，其坐标分别为（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:二次函数中讨论相似}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{考点:代数综合}‎