山东青岛中考数学试题及答案

山东青岛中考数学试题及答案

2006 年山东省青岛市中考 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 满分：120 分） 一．选择题（本题满分 21 分，共有 7 道小题，每小题 3 分） 下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题 选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1．2 的算术平方根是（ ）． A． 2 B．－ 2 C．± 2 D．2 2．右边几何体的主视图是（ ）． A． B． C． D． 3．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调 查．你认为抽样比较合理的是（ ）． A．在公园调查了 1000 名老年人的健康状况 B．在医院调查了 1000 名老年人的健康状况 C．调查了 10 名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10％的老年人的健康状况 4．点 P1（x1，y1），点 P2（x2，y2）是一次函数 y ＝－4x + 3 图象上的两个点，且 x1 ＜x2，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）． A．y1＞y2 B．y1＞y2 ＞0 C．y1＜y2 D．y1＝y2 5．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于 y 轴对 称，那么点 A 的对应点 A'的坐标为（ ）． A．(－4，2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) 6．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点 A 为圆心、2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D， 交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积 是（ ）． A．4－ 9 4 π B．4－ 9 8 π C．8－ 9 4 π D．8－ 9 8 π 7．某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价 20%的价格才能出售，但为了获得 更多利润，他以高出进价 80%的价格标价．若你想买下标价为 360 元的这种商品，最多降价 （ ），商店老板才能出售． A．80 元 B．100 元 C．120 元 D．160 元 二．填空题（本题满分 21 分，共有 7 道小题，每小题 3 分） 8．如图，⊙O 的直径 AB ＝8cm，C 为⊙O 上的一点，∠BAC＝30°，则 BC＝______cm． 9．分解因式： 4 a3－4 a2＋a＝__________． 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC ＝ °． 11．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）与可变电阻 R（Ω）之间 的函数关系如图所示，当用电器的电流为 10A 时，用电器的可变电阻为_______Ω． 12．一个口袋中有 12 个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为 估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出 10 个球，求出其中白球 数与 10 的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程 5 次，得到的白球数与 10 的比 值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有 个黑 球． 13．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA＝6，PB＝8， PC＝10．若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则 点 P 与点 P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°． 14．如图，下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按 一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色 （底面不涂色），则第 n 个几何体中只有两个面．．．涂色的 小立方体共有 个． 三．作图题（本题满分 6 分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截 面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求 这个圆形截面的半径． 15 题图 四．解答题（本题满分 72 分，共有 9 道小题） 16．（本小题满分 6 分） 解分式方程： xx x   3 1 3 2 =1。 17．（本小题满分 6 分） 2006 年青岛市春季房交会期间，某房地产公司对参加本次房交会的消费者进行了随机 问卷，共发放 1200 份调查问卷，实际收回 1000 份．该房地产公司根据问卷情况，作了以下 两方面的统计． I．根据被调查消费者年收入情况制成的统计表： 年收入（元） 2 万以下 2 万～4 万 (不含 4 万) 4 万～6 万 (不含 6 万) 6 万～8 万 (不含 8 万) 8 万以 上 各段被调查消费者人数占总 被调查消费者人数的百分比 50％ 26％ 14％ 7％ 3％ II．根据被调查消费者打算购买不同住房面积的人数情况制成的扇形统计图： 根据上述信息，解决下列问题： （1）被调查的消费者平均年收入为 万元.（提示：在计算时，2 万元以下的都 看成 1 万元，2 万～4 万元的都看成 3 万元，依此类推，8 万元以上的都看成 9 万元） （2）打算购买 80 m2～100 m2 的消费者人数为 人. （3）如果你是该房地产公司的开发商，请你从建房面积等方面谈谈你今后的工作打算 （不超过 30 字）． 18．（本小题满分 6 分） 小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转 盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色， 则可配成紫色），则小明得 1 分，否则小亮得 1 分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明 理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平． 18 题图 19 题图 19．（本小题满分 6 分） 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河 东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31°的方向上，沿河岸向北前 行 20 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计 算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈ 5 3 ，sin31°≈ 2 1 ） 20．（本小题满分 8 分） “五一”黄金周期间，某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座 和 60 座两种客车，42 座客车的租金每辆为 320 元，60 座客车的租金每辆为 460 元． （1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？ （2）若学校同时租用这两种客车 8 辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节 省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案． 21．（本小题满分 8 分） 已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥ DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 22．（本小题满分 10 分） 在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年 的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对 （x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形， 判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函 数关系式； （2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x (元/千克)之间的函数关系式， 并求出当 x 取何值时，P 的值最大？ 销售价 x（元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量 y（千克） … 2000 2500 3000 3500 … 23．（本小题满分 10 分） 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好， 隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联 系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问 题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图 形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案． 例如，求 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，其中 n 是正整数． 对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在 求和过程中，需对 n 的奇偶性进行讨论． 如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现 利用图形的性质来求 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案 是由上到下每层依次分别为 1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆 圈的个数恰为所求式子 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜 线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 n 行，每行 有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 n（n＋1）个，因此，组成一 个三角形小圆圈的个数为 2 1）（ nn ，即 1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 1）（ nn ． （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求 1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1） 的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明） （2）试设计另外一种图形，求 1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要 求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明） 24．（本小题满分 12 分） 如图①，有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起（点 A 与点 E 重 合），已知 AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG 斜 边上的中点． 如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线 AB 方向平移，在 △EFG 平移的同时，点 P 从△EFG 的顶点 G 出发，以 1cm/s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动，当点 P 到达点 F 时，点 P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为 x（s）， FG 的延长线交 AC 于 H，四边形 OAHP 的面积为 y（cm2)（不考虑点 P 与 G、F 重合的情 况）． （1）当 x 为何值时，OP∥AC ? （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围． （3）是否存在某一时刻，使四边形 OAHP 面积与△ABC 面积的比为 13∶24？若存在， 求出 x 的值；若不存在，说明理由． （参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或 4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16） 二 OO 六年山东省青岛中考 数学试题参考答案及评分标准 说明： 1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则． 2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改 变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数 的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分． 3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理 省略非关键性的推算步骤． 4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题满分 21 分，共有 7 道小题，每小题 3 分） 1．A 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 二、填空题（本题满分 21 分，共有 7 道小题，每小题 3 分） 8．4 9．a（2a—1）2 10．82.5 11．3.6 12．48 13．6，150 14．8n—4 或 4（2n—1） 三、作图题（本题满分 6 分） 15．（1）正确作出图形，并做答．……………………………………………………3′ （2）解：过 O 作 OC⊥AB 于 D ，交弧 AB 于 C， ∵OC⊥AB ， ∴BD＝ 2 1 AB＝ 2 1 ×16＝8cm． 由题意可知，CD＝4cm．………………………………4′ 设半径为 x cm，则 OD＝（x－4）cm． 在 Rt△BOD 中，由勾股定理得： OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2．………………………………5′ ∴x＝10． 即这个圆形截面的半径为 10cm．…………………………………………6′ 四、解答题（本题满分 72 分，共有 9 道小题） 16．（本小题满分 6 分） 解： xx x   3 1 3 2 =1 2－x－1＝x－3， －2x＝－4 ∴ x ＝2 ………………………………………………………4′ 检验：把 x＝2 代入原方程得：左边＝1＝右边 ∴ x ＝2 是原方程的根． ……………………………………………………6′ 17．（本小题满分 6 分） 解：（1）2.74． ………………………………………………………………2′ （2）360． ……………………………………………………………………4′ （3）只要学生回答合理即可．………………………………………………6′ 18．（本小题满分 6 分） 解： 第二次 红 黄 蓝 第一次 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） ………………………………………………………………2′ 从表中可以得到：P（小明获胜）＝ 9 5 ，P（小亮获胜）＝ 9 4 ． ∴小明的得分为 9 5 ×1＝ 9 5 ， 小亮的得分为 9 4 ×1＝ 9 4 ． ∵ 9 5 ＞ 9 4 ，∴游戏不公平． ……………………………………………………4′ 修改规则不惟一．如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得 4 分，否则小亮得 5 分． ………………………………………………………………………………………6′ 19．（本小题满分 6 分） 解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， 设 CD＝x 米， 在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°， ∴BD＝CD＝x 米． 在 Rt△ACD 中，∠DAC＝31°， AD＝AB＋BD＝（20＋x）米，CD＝x 米，………………………………………3′ ∵tan∠DAC＝ AD CD ， ∴ 5 3 ＝ x x 20 ， ∴x＝30． 答：这条河的宽度为 30 米．…………………………………………………………6′ 20．（本小题满分 8 分） 解：（1）385÷42≈9.2 ∴单独租用 42 座客车需 10 辆，租金为 320×10＝3200 元．……………………1′ 385÷60≈6.4 ∴单独租用 60 座客车需 7 辆，租金为 460×7＝3220 元．………………………2′ （2）设租用 42 座客车 x 辆，则 60 座客车（8－x ）辆，由题意得：      ．）（ ，）（ 32008460320 38586042 xx xx ……………………………………………………5′ 解之得： 7 33 ≤x≤ 18 55 ． ∵x 取整数， ∴x ＝4，5．……………………………………………………6′ 当 x＝4 时，租金为 320×4＋460×（8－4）＝3120 元； 当 x＝5 时，租金为 320×5＋460×（8－5）＝2980 元． 答：租用 42 座客车 5 辆，60 座客车 3 辆时，租金最少．………………8′ 说明：若学生列第二个不等式时将“≤”号写成“＜”号，也对． 21．（本小题满分 8 分） 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．…………………………………………………2′ ∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点， ∴AE＝ 2 1 AB ，CF＝ 2 1 CD ． ∴AE＝CF ．……………………………………………………………………………3′ ∴△ADE≌△CBF ．…………………………………………………………………4′ （2）当四边形 BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形．………………………………………………5′ ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．…………………………………………………………………7′ ∴四边形 AGBD 是矩形．……………………………………………………………8′ 22．（本小题满分 10 分） 解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y 是 x 的一次函数．…………………1′ 设 y＝kx＋b ， ∵点（25，2000），（24，2500）在图象上， ∴      ． ， bk bk 242500 252000 解之得：      ． ， 14500 500 b k ∴ y ＝－500x＋14500．………4′ （2）P＝（x－13）·y ＝（x－13）·（－500 x＋14500） ＝－500 x 2＋21000 x－188500………………………………………………………7′ ＝－500（x－21）2＋32000． ∴P 与 x 的函数关系式为 P＝－500 x 2＋21000 x－188500， 当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润．……………………………………10′ 23．（本小题满分 10 分） 解：（1） ………………………………………………………3′ 因为组成此平行四边形的小圆圈共有 n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即 2n 个，所 以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即 2n2 个． ∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝ 2 112 〕）—〔（  nn ＝n2 ．………………6′ （2） …………………………………………………………………9′ 因为组成此正方形的小圆圈共有 n 行，每行有 n 个，所以共有（n×n）个， 即 n2 个． ∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2 ． ………………………………………10′ 24．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ， ∴ BC FG AC EG  ， 68 4 FG ． ∴FG＝ 8 64 ＝3cm． …………………………………………………………………2′ ∵当 P 为 FG 的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ， ∴OP∥AC． ∴ x ＝ 1 2 1 FG ＝ 2 1 ×3＝1.5（s）． ∴当 x 为 1.5s 时，OP∥AC ．…………………………………………………4′ （2）在 Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm． ∵EG∥AH ， ∴△EFG∽△AFH ． ∴ FH FG AF EF AH EG  ． ∴ FHxAH 3 5 54  ． ∴ AH＝ 5 4 （ x ＋5），FH＝ 5 3 （x＋5）．……………………………………6′ 过点 O 作 OD⊥FP ，垂足为 D ． ∵点 O 为 EF 中点， ∴OD＝ 2 1 EG＝2cm． ∵FP＝3－x ， ∴S 四边形 OAHP ＝S△AFH －S△OFP ＝ 2 1 ·AH·FH－ 2 1 ·OD·FP ＝ 2 1 · 5 4 （x＋5）· 5 3 （x＋5）－ 2 1 ×2×（3－x ） ＝ 25 6 x2＋ 5 17 x＋3 …………………………………………………………………7′ （0＜x＜3）．…………………………………………………………………………8′ （3）假设存在某一时刻 x，使得四边形 OAHP 面积与△ABC 面积的比为 13∶24． 则 S 四边形 OAHP＝ 24 13 ×S△ABC ∴ 25 6 x2＋ 5 17 x＋3＝ 24 13 × 2 1 ×6×8…………………………………………………10′ ∴6x2＋85x－250＝0 解得 x1＝ 2 5 ， x2＝ － 3 50 （舍去）． ∵0＜x＜3， ∴当 x＝ 2 5 （s）时，四边形 OAHP 面积与△ABC 面积的比为 13∶24．…………12′