高考数学专题复习：概率与统计精选精练教师版

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‎1. 一个箱子中装有大小相同的1个红球,2个白球,3个黑球.现从箱子中一次性摸出3个球,每个球是否被摸出是等可能的.‎ ‎(I)求至少摸出一个白球的概率；‎ ‎(Ⅱ)用表示摸出的黑球数,写出的分布列并求的数学期望.‎ ‎【答案】本小题考查等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识.考查运算求解能力和应用意识.满分13分.‎ 解法一：(I)记“至少摸出一个白球”为事件A,则事件A的对立事件为“摸出的3个球中没有白球”,则P(),……………………………………………………3分 P(A)=1-P()=,即至少摸出一个白球的概率等于.……………………………6分 ‎(Ⅱ)的所有可能取值为O、1、2、3.………………………………………………7分 ‎, ,‎ ‎, .‎ 的分布列为……11分 ‎∴,即的数学期望为.…………13分 解法二：(I)记“至少摸出一个白球”为事件A,“摸出的3个球有且只有1个白球”为事件B,“摸出的3个球有且只有2个白球”为事件C 则P(B),‎ P(C),……………………………………………………………4分 P(A)=P(B)=P(C),‎ 即至少摸出一个白球的概率等于.…………………………………………………6分 ‎(II)同解法一.‎ ‎【编号】647 【难度】较难 ‎2. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。‎ ‎（1）求从甲、乙两组各抽取的人数； ‎ ‎（I2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。‎ 分析 （1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意 此分层抽样与性别无关。‎ ‎（2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 ‎ ‎ 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 ‎（3）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 分布列及期望略.‎ ‎3 关于 一元二次方程.‎ ‎（1）若是从0，1, 2, 3四个数中任取的一个数，是从0，1, 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若是从区间任取的一个数，是从区间 任取的一个数，求上述方程有实根的概率.‎ 解：设事件A为：“方程有实根”.‎ 当时，方程有实根得充要条件为.‎ ‎（1）基本事件共12个：‎ 其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.‎ 事件A包含9个基本事件，事件A发生的概率为.‎ ‎（2）实验的全部结果所构成的区域为.‎ 构成事件A的区域为 所以所求的概率为.‎ ‎4. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w. ‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ‎【答案】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎5. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒的数据如下表所示：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（万盒）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；‎ ‎（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎（附：）‎ ‎【答案】本小题主要考查概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．‎ ‎（Ⅰ）， 2分 因线性回归方程过点，‎ ‎∴， 4分 ‎∴6月份的生产甲胶囊的产量数：. 6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 11分 其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 13分 ‎【编号】3069 【难度】一般 ‎6. 某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组：‎ 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 ‎[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。‎ 部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于90分）的人数为20。‎ ‎（1）请补全频率分布直方图；‎ ‎（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为，求的概率；‎ ‎（3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变 量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数 表示），并求出期望E（X）。‎ ‎【答案】解：（1）由图得，成绩在的人数为4人，‎ 所以在的人为16人，‎ 所以在的频率为，‎ 在的频率为．………2分 补全的频率分布直方图如图所示．………4分 ‎（2）由题得：成绩在的有8人，‎ 在的为16人．‎ 所以的概率为．………6分 ‎（3） 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ……………9分 随机变量服从的是M=50,N=20,n=4的超几何分布，所以期望 ‎．…………12分 ‎【编号】3793 【难度】一般 ‎7. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 …………………………2分 ‎（Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则 ……………6分 ‎（Ⅲ）的可能取值为0、1、2、3 …………………7分 ‎ ‎ 分布列为 ‎ ………………………10分 ‎. ……………………12分 ‎【编号】3795 【难度】一般 ‎8. ‎2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2.5（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 频率 第一组 ‎(0,15]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎(15,30]‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎(30,45]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎(45,60]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第三组 ‎(60,75]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第四组 ‎(75,90)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望（）．‎ ‎【答案】本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分 ‎（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为 ‎（微克/立方米）．…………………6分 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，‎ 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分 ‎（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.………………9分 随机变量的可能取值为0,1,2.且.‎ 所以，…………………………………………11分 所以变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…………………………………………12分 ‎（天）,或（天）. ……………………13分 ‎9. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差 附：，‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题.‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ……3分 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分 ‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.‎ 由题意，从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ……10分 ‎，. ……12分 ‎【编号】3809 【难度】一般 ‎10. 一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖．‎ ‎（Ⅰ）试用表示一次取球中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m取得最大值时将个白球全部取出后，对剩下的个红球作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上号，现从袋中任取一球,X表示所取球的标号，求X的分布列、期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）每次从个球中任取两个，有种方法．‎ 它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，‎ 一次取球中奖的概率为．……4分 ‎（Ⅱ）设每次取球中奖的概率为，三次取球中恰有一次中奖的概率是：‎ ‎（）．‎ 对的导数． ……6分 因而在上为增函数，在上为减函数．‎ ‎∴当，即，时，．……… 8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上号的有个红球，从中任取一球，有种取法，它们是等可能的．故X的分布列是：‎ X ‎………10分 ‎． ……12分 ‎【编号】3791 【难度】一般 ‎11 道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q<80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；‎ ‎（Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义；‎ ‎（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率。（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ） ； 25% （2分）‎ ‎（Ⅱ） 解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量，则可能取到的值有0，1，2‎ ‎ ，，.‎ 则分布列如下 ‎，实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5个醉酒驾车人员. （8分）‎ ‎（Ⅲ） （10分）‎ 一句话倡议：答案开放，教师酌情给分 ‎ ‎【编号】3799 【难度】一般 ‎12. 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。‎ ‎（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；‎ ‎（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.‎ ‎【答案】解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1 ，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1 ，“科目B补考合格”为事件B2.‎ ‎(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，‎ 则.‎ 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为.‎ ‎【编号】3766 【难度】一般 ‎13 符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：‎ ‎①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；‎ ‎②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；‎ ‎③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．‎ 某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．‎ 已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．‎ ‎（I）求这名同学参加考试次数的分布列及数学期望；‎ ‎（II）求这名同学被该大学录取的概率．‎ ‎【答案】解：（I）， …………（2分）‎ ‎ …………（3分）‎ ‎ …………（4分）‎ ‎（或）‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.55‎ ‎0.45‎ ‎ …………（6分）‎ ‎（II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是、，则 ‎ …………（8分）‎ ‎………（10分）‎ 该同学被该校录取的概率0.723 …………（12分）‎ ‎14. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中,落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．‎ ‎（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；‎ ‎(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.‎ A B ‎【答案】解：记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故 ‎， …………………2分 ‎(I) 获得两次一等奖的概率为 . …………………4分 ‎（II）X可以取2,3,4‎ P(X=2)=‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P(X=3)=‎ P(X=4)= …………………8分 分布列为：‎ 所以E=2×+3×+4×=2.5. …………………10分 ‎(Ⅲ)参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖. ……12分 ‎15甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。‎ ‎【答案】【解析】：因为甲获胜的情况有两种：甲第三局和第四局胜，或者第三局第四局甲乙各胜一局，第五局甲胜，故甲胜的概率为P=0.6×0.6+×0.6×0.4×0.6=0.648‎ ‎（2）由已知我们知道的可能取值为2，3 ‎ 故有的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎0.52‎ ‎0.48‎ ‎16单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能按照指针所指区域的数字将代金券用完，那么余下的不能再用，但商场会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不能代替别人购买。‎ ‎ （1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种结果的概率是多少？ ‎ ‎ （2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数的分布列及均值；‎ ‎ （3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值。‎ 解：（1）最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，概率为（2分）‎ ‎ （2）可能的取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，‎ ‎ 且取其中每个值的概率为 ‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ P ‎ （5分）‎ ‎ （3）设指针所指数字为，得到优惠的钱数为Y元。‎ ‎ 购买8张代金券，‎ ‎ ‎ ‎ 即 （9分）‎ ‎ （12分）‎