高考数学复习专题练习第2讲 空间图形的基本关系与公理

高考数学复习专题练习第2讲 空间图形的基本关系与公理

第2讲 空间图形的基本关系与公理 一、选择题 ‎1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．‎ 答案　A ‎2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 (　　)．‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交 解析　经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.‎ 答案　D ‎3．平面α、β的公共点多于两个，则 ‎①α、β垂直；‎ ‎②α、β至少有三个公共点；‎ ‎③α、β至少有一条公共直线；‎ ‎④α、β至多有一条公共直线；‎ 以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于(　　)‎ A．0 B．1[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ C．2 D．3‎ 解析 由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．‎ 答案 C ‎4．正方体ABCD－A1B‎1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是(　　)‎ A．线段C‎1F　　　　　 B．线段CF C．线段CF和一点C1 D．线段C‎1F和一点C[来源:Z§xx§k.Com]‎ 解析：如图，‎ DE∥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴平面DEP与平面BB‎1C1C的交线PM∥ED，连结EM，‎ 易证MP＝ED，‎ ‎∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C‎1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．‎ 答案：C ‎5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 (　　)．‎ A．AB∥CD ‎ B．AB与CD相交 C．AB⊥CD ‎ D．AB与CD所成的角为60°‎ 解析　如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.‎ 答案　D ‎6．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　　)‎ 解析：在A图中分别连接PS，QR，‎ 易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；‎ 在C图中分别连接PQ，RS，‎ 易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．‎ 如图，在B图中过P，Q，R，S可作 一正六边形，故四点共面；‎ D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：‎ ‎①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．‎ 在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．‎ 解析　只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．‎ 答案　①②④‎ ‎8.如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ 解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．‎ 答案　③④‎ ‎9.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH是正方形．‎ 解析　易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.‎ 答案　AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD ‎10．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ 解析　法一　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．‎ 法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．‎ 答案　无数 三、解答题 ‎11． 如图所示，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ ‎(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.‎ 又BC綉AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．‎ ‎(2)解　由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.‎ 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．‎ 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．‎ ‎12．在长方体ABCD－A1B‎1C1D1的A‎1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．‎ ‎(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；‎ ‎(2)过P点在平面A‎1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？‎ 解　(1)连接B1D1，BD，在平面A‎1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．‎ ‎∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.‎ 图(a)‎ ‎(2)∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(b)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈.‎ 当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．‎ 图(b)‎ ‎13． 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．‎ 证明　∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上．‎ 同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．‎ ‎14．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．‎ 解　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，‎ 即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，‎ ‎∵BO＝AB·sin 30°＝1，‎ 又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝，‎ ‎∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2.‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.‎ ‎(2)取AB的中点F，连接EF，DF，‎ ‎∵E为PB中点，∴EF∥PA，‎ ‎∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△AOB中，‎ AO＝AB·cos 30°＝＝OP，‎ ‎∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.‎ 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，‎ ‎∴cos∠DEF＝＝＝＝.‎ 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.‎