广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试（数学理）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“若，则”的逆否命题为（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎2.抛物线=4的焦点坐标是（ ）‎ A. （1,0） B. (0,1) C. (0,) D. (‎ ‎3.已知，，，则的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎‎ C. 5 D. 6‎ ‎4.“”是方程表示双曲线的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 以下四个命题中正确的是 ( )‎ A．若,则、、三点共线; 　‎ B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底; ‎ C．; D．为直角三角形的充要条件是．‎ ‎6. 在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.设双曲线的一条渐近线与抛物线有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .‎ ‎10.已知向量且∥，则= . ‎ ‎11.点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在的直线方程是 ‎ ‎12.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________‎ ‎13.已知，，则的取值范围是 . ‎ ‎14.给出下列命题：①椭圆的离心率，长轴长为；②抛物线的准线方程为③双曲线的渐近线方程为；④方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.‎ 其中所有正确命题的序号是 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎15. (本小题满分12分）在平行六面体中，是的中点，.‎ ‎ (1)化简：;‎ ‎(2) 设，，，若,求.‎ ‎16. (本小题满分12分）如图，设圆：，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，正方体的棱长为，‎ 为的中点. ‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离． ‎ ‎18．(本小题满分14分）设椭圆方程 （），为椭圆右焦点，为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（为坐标原点）；‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）在椭圆上是否存在一点，使的中垂线过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎19.（本题满分14分）‎ 如图，平面，四边形是矩形，，与平面所成角是，点是的中点，点在矩形的边上移动．‎ ‎（1）证明：无论点在边的何处，都有；‎ ‎（2）当等于何值时，二面角的大小为．‎ ‎20．（本题满分14分）已知椭圆经过点，为坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为.‎ ‎ （1）当时，判断直线与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；‎ ‎（2）当时，为椭圆上的动点，求点到直线 距离的最小值；‎ ‎ （3）如图，当交椭圆于、两个不同点时，求证：直线、与轴始终围成一个等腰三角形.‎ 湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试 高二级（理科）数学科试卷（参考）答案 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ D C C B B D A D 二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。）‎ ‎9． 或 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. ②④‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，‎ ‎16. (本小题满分12分）‎ 解：设，--------------------------------------------------------------------------------2分 ‎∵点是弦的中点，∴ ---------------------------------------------------4分 ‎∵点在圆C：上，‎ ‎∴，----------------------------------------------------------------------8分 即， ----------------------------------------------------------------------10分 由圆的范围知，.‎ 故点的轨迹方程为（）.‎ ‎ -------------------------------12分 ‎（此题其它解法可酌情给分）‎ ‎17．(本小题满分14分）‎ 解法一：（1）证明：连接交于，连. -------------------------------------2分 因为为正方形对角线的交点，‎ ‎（2）解：设到平面的距离为.‎ 在中，，且，，‎ 所以， ----------------------------------------------------9分 于是. ----------------------------------------------------10分 因为. --------------------------12分 又，即， --------------------------------------------13分 解得， ‎ 故点到平面的距离为. ‎ ‎ ----------------------------------------------------14分 即 ，令，则 ‎∴ -----------------------------4分 ‎∵，∴， ------------------------6分 又∵平面，所以//平面. ----------------------------7分 ‎（2）， ---------------------------------------------------------------9分 是平面的一个法向量.‎ ‎∴点到平面的距离.--------------------------------------14分 ‎18. (本小题满分14分）‎ 解：（1）设 ‎∵为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,‎ ‎∴. ----------------------------------------------------------- 1分 又∵ ‎ ‎ ----------------------------------------------------------2分 ‎∴或 ---------------------------------------------------------4分 ‎∴椭圆方程为或 ---------------------------------------6分 ‎（2）假设存在点，使的中垂线过点.‎ 若椭圆方程为，则，由题意，‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆. ‎ 设，则其轨迹方程为 -------------------------------------------8分 显然与椭圆无交点.‎ 即假设不成立，点不存在. -----------------------------------------------9分 若椭圆方程为，‎ 则，‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆. ‎ 则其轨迹方程为 -----------------------------------------1 1分 则，∴，-------------------------------------------- 13分 故满足题意的点坐标分别为，，，‎ ‎---------------------------------------------------------- 14分 ‎（2）过作于，连，又∵，‎ 则平面,‎ 则是二面角的平面角， ‎ ‎∴ -------------------------------------------------------------------------- 9分 ‎∵与平面所成角是，∴，-------------------------------- 10分 ‎∴，. ∴，， -------------------------- 11分 设，则，，‎ A 在中，，‎ 得.故。 ------------------ 14分 法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则， ‎ ‎∵与平面所成角是，∴，‎ ‎∴，‎ ‎ ，，. -------------------------------- 3分 设，则 ‎ . --------------------------------6分 ‎ ‎ ‎ 而平面的法向量为,---------------------------------------------- 9分 ‎∵二面角的大小是,‎ 所以=，‎ ‎∴， ------------------- 11分 得 或 （舍）.‎ ‎∴ ， 故。 --------------------------------- 14分 ‎20. 解：（1）当时，直线与椭圆相离. ……2分 ‎（2）可知直线的斜率为 ‎ 设直线与直线平行，且直线与椭圆相切，‎ 设直线的方程为 --------------------------------- 3分 联立，得 --------------------------------- 4分 ‎，解得 --------------------------------- 5分 直线的方程为.‎ 所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离 ‎ ‎. ------------------------------ 7分 而 ----------- 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ----------- 12分 ‎∴+‎ 直线、与轴始终围成一个等腰三角形 ---------------------------------------14分 ‎ ‎ ‎