2014年广西自治区柳州市中考数学试题(含答案)

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2014年广西自治区柳州市中考数学试题(含答案)

‎2014年广西柳州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.(3分)(2014•柳州)如图,李师傅做了一个零件,请你告诉他这个零件的主视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 分析:‎ 根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ 解答:‎ 解:从正面看,左边是个正方形,右边是个矩形,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•柳州)在所给的,0,﹣1,3这四个数中,最小的数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎0‎ C.‎ ‎﹣1‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 有理数大小比较.菁优网版权所有 分析:‎ 要解答本题可根据正数大于0,0大于负数,可得答案.‎ 解答:‎ 解:﹣1<0<<3.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了有理数比较大小,正数大于0,0大于负数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•柳州)下列选项中,属于无理数的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ π C.‎ D.‎ ‎﹣2‎ 考点:‎ 无理数.菁优网版权所有 分析:‎ 根据无理数是无限不循环小数,可得答案.‎ 解答:‎ 解:π是无限不循环小数,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•柳州)如图,直线l∥OB,则∠1的度数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎120°‎ B.‎ ‎30°‎ C.‎ ‎40°‎ D.‎ ‎60°‎ 考点:‎ 平行线的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 根据两直线平行,同位角相等解答.‎ 解答:‎ 解:∵直线l∥OB,‎ ‎∴∠1=60°.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查平行线的性质,熟记性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•柳州)下列计算正确的选项是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1=‎ B.‎ ‎()2=5‎ C.‎ ‎2a﹣b=ab D.[来源:学|科|网]‎ ‎=‎ 考点:‎ 分式的加减法;实数的运算;合并同类项.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ A、原式利用平方根定义化简,计算即可得到结果;‎ B、原式利用平方根定义化简,计算即可得到结果;‎ C、原式不能合并,错误;‎ D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:A、原式=2﹣1=1;故选项错误;‎ B、原式=5,故选项正确;‎ C、原式不能合并,故选项错误;‎ D、原式=,故选项错误.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了分式的加减法,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•柳州)如图,直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 第一象限 B.‎ 第二象限 C.‎ 第三象限[来源:Zxxk.Com]‎ D.‎ 第四象限 考点:‎ 轴对称的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 根据轴对称的性质作出选择.‎ 解答:‎ 解:如图所示,直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查了轴对称的性质.此题难度不大,采用了“数形结合”的数学思想.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•柳州)学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图,那么这些志愿者年龄的众数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎12岁 B.‎ ‎13岁 C.‎ ‎14岁 D.‎ ‎15岁 考点:‎ 条形统计图;众数.菁优网版权所有 分析:‎ 根据众数的定义,就是出现次数最多的数,据此即可判断.‎ 解答:‎ 解:众数是14岁.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•柳州)如图,当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时,它们的圆心距O1O2=8,则⊙O2的半径r为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎12‎ B.‎ ‎8‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 圆与圆的位置关系.菁优网版权所有 分析:‎ 根据两圆外切时,圆心距=两圆半径的和求解.‎ 解答:‎ 解:根据两圆外切,圆心距等于两圆半径之和,得该圆的半径是8﹣5=3.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了圆与圆的位置关系,注意:两圆外切,圆心距等于两圆半径之和.‎ ‎ [来源:学科网]‎ ‎9.(3分)(2014•柳州)在下列所给出的4个图形中,对角线一定互相垂直的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 长方形 B.‎ 平行四边形 C.‎ 菱形 D.‎ 直角梯形 考点:‎ 多边形.菁优网版权所有 分析:‎ 根据菱形的对角线互相垂直即可判断.‎ 解答:‎ 解:菱形的对角线互相垂直,而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质.常见四边形中,菱形与正方形的对角线互相垂直.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•柳州)如图,正六边形的每一个内角都相等,则其中一个内角α的度数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎240°‎ B.‎ ‎120°‎ C.‎ ‎60°‎ D.‎ ‎30°‎ 考点:‎ 多边形内角与外角.菁优网版权所有 分析:‎ 多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,因为所给多边形的每个内角均相等,可设这个正六边形的每一个内角的度数为x,故又可表示成6x,列方程可求解.‎ 解答:‎ 解:设这个正六边形的每一个内角的度数为x,‎ 则6x=(6﹣2)•180°,‎ 解得x=120°.‎ 故这个正六边形的每一个内角的度数为120°.‎ 故答案选:B.‎ 点评:‎ 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2014•柳州)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 无解 B.‎ x=1‎ C.‎ x=﹣4‎ D.‎ x=﹣1或x=4‎ 考点:‎ 抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有 分析:‎ 关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标.‎ 解答:‎ 解:如图,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是(﹣1,0),(4,0),‎ ‎∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点.求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2014•柳州)如图,每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5,当合上开关时,至少有一个灯泡发光的概率是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎0.25‎ B.‎ ‎0.5‎ C.‎ ‎0.75‎ D.‎ ‎0.95‎ 考点:‎ 列表法与树状图法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出至少有一个灯泡发光的情况数,即可求出所求的概率.‎ 解答:‎ 解:列表如下:‎ 灯泡1发光 灯泡1不发光 灯泡2发光 ‎(发光,发光)‎ ‎(不发光,发光)‎ 灯泡2不发光 ‎(发光,不发光)‎ ‎(不发光,不发光)‎ 所有等可能的情况有4种,其中至少有一个灯泡发光的情况有3种,‎ 则P==0.75.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎13.(3分)(2014•柳州)3的相反数是 ﹣3 .‎ 考点:‎ 相反数.菁优网版权所有 分析:‎ 此题依据相反数的概念求值.相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.‎ 解答:‎ 解:3的相反数就是﹣3.‎ 点评:‎ 此题主要考查相反数的概念.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2014•柳州)如图,身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时,如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成x < y(用“>”或“<”填空).‎ 考点:‎ 不等式的定义.菁优网版权所有 分析:‎ 由图知1号同学比2号同学矮,据此可解答.‎ 解答:‎ 解:如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成x<y,‎ 故答案为:<.‎ 点评:‎ 本题主要考查了不等式的定义,仔细看图是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2014•柳州)如图,等腰梯形ABCD的周长为16,BC=4,CD=3,则AB= 5 .‎ 考点:‎ 等腰梯形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 根据等腰梯形的性质可得出AD=BC,再由BC=4,CD=3,得出AB的长.‎ 解答:‎ 解:∵四边形ABCD为等腰梯形,‎ ‎∴AD=BC,‎ ‎∵BC=4,‎ ‎∴AD=4,‎ ‎∵CD=3,等腰梯形ABCD的周长为16,‎ ‎∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5,‎ 故答案为5.‎ 点评:‎ 本题考查了等腰梯形的性质,是基础知识要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2014•柳州)方程﹣1=0的解是x= 2 .‎ 考点:‎ 解分式方程.菁优网版权所有 分析:‎ 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ 解答:‎ 解:去分母得:2﹣x=0,‎ 解得:x=2,‎ 经检验x=2是分式方程的解.‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2014•柳州)将直线y=x向上平移 7 个单位后得到直线y=x+7.‎ 考点:‎ 一次函数图象与几何变换.菁优网版权所有 分析:‎ 直接根据“上加下减”的原则进行解答.‎ 解答:‎ 解:由“上加下减”的原则可知,将直线y=x向上平移7个单位所得直线的解析式为:y=x+7.‎ 故答案为:7.‎ 点评:‎ 本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2014•柳州)如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边△ACD和等边△BCE.设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3,现有如下结论:‎ ‎①S1:S2=AC2:BC2;‎ ‎②连接AE,BD,则△BCD≌△ECA;‎ ‎③若AC⊥BC,则S1•S2=S32.‎ 其中结论正确的序号是 ①②③ .‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ ‎①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断;‎ ‎②根据SAS即可求得全等;‎ ‎③根据面积公式即可判断.‎ 解答:‎ ‎①S1:S2=AC2:BC2正确,‎ 解:∵△ADC与△BCE是等边三角形,‎ ‎∴△ADC∽△BCE,‎ ‎∴S1:S2=AC2:BC2.‎ ‎②△BCD≌△ECA正确,‎ 证明:∵△ADC与△BCE是等边三角形,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE=60°‎ ‎∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD,‎ 即∠ACE=∠DCB,‎ 在△ACE与△DCB中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCD≌△ECA(SAS).‎ ‎③若AC⊥BC,则S1•S2=S32正确,‎ 解:设等边三角形ADC的边长=a,等边三角形BCE边长=b,则△ADC的高=a,△BCE的高=b,‎ ‎∴S1=aa=a2,S2=bb=b2,‎ ‎∴S1•S2=a2b2=a2b2,‎ ‎∵S3=ab,‎ ‎∴S32=a2b2,‎ ‎∴S1•S2=S32.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形全等的判定,等边三角形的性质,面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,满分66分)‎ ‎19.(6分)(2014•柳州)计算:2×(﹣5)+3.‎ 考点:‎ 有理数的乘法;有理数的加法.菁优网版权所有 分析:‎ 根据异号两数相乘得负,并把绝对值相乘,可得积,再根据有理数的加法,可得答案.‎ 解答:‎ 解:原式=﹣10+3‎ ‎=﹣7.‎ 点评:‎ 本题考查了有理数的乘法,先算有理数的乘法,再算有理数的加法,注意运算符号.‎ ‎ ‎ ‎20.(6分)(2014•柳州)一位射击运动员在10次射击训练中,命中靶的环数如图.‎ 请你根据图表,完成下列问题:‎ ‎(1)补充完成下面成绩表单的填写:‎ 射击序次 ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 成绩/环 ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎ 7‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 7‎ ‎10 ‎ ‎(2)求该运动员这10次射击训练的平均成绩.‎ 考点:‎ 折线统计图;统计表;算术平均数.菁优网版权所有 分析:‎ 根据折线统计图中提供的信息,补全统计表;‎ ‎(2)求出该运动员射击总环数除以10即可.‎ 解答:‎ 解:(1)由折线统计图得出第一次射击环数为:8,第二次射击环数为:9,第三次射击环数为:7,‎ 故答案为:8,9,7.‎ ‎(2)运动员这10次射击训练的平均成绩:(8+9+7+8+10+7+9+10+7+10)÷10=8.5(环).‎ 点评:‎ 本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数,解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据.‎ ‎21.(6分)(2014•柳州)小张把两个大小不同的苹果放到天平上称,当天平保持平衡时的砝码重量如图所示.问:这两个苹果的重量分别为多少g?‎ 考点:‎ 二元一次方程组的应用.菁优网版权所有 分析:‎ 设大苹果的重量为xg,小苹果的重量为yg,根据图示可得:大苹果的重量=小苹果+50g,大苹果+小苹果=300g+50g,据此列方程组求解.‎ 解答:‎ 解:设大苹果的重量为xg,小苹果的重量为yg,‎ 由题意得,,‎ 解得:.‎ 答:大苹果的重量为200g,小苹果的重量为150g.‎ 点评:‎ 本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是根据图形,找出等量关系,列方程组求解.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2014•柳州)如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30°.‎ ‎①求BD和AD的长;‎ ‎②求tan∠C的值.‎ 考点:‎ 解直角三角形;勾股定理.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ADB中,根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3,再得到AD=BD=3;‎ ‎(2)先计算出CD=2,然后在Rt△ADC中,利用正切的定义求解.‎ 解答:‎ 解:(1)∵BD⊥AC,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°,‎ 在Rt△ADB中,AB=6,∠A=30°,‎ ‎∴BD=AB=3,‎ ‎∴AD=BD=3;‎ ‎(2)CD=AC﹣AD=5﹣3=2,‎ 在Rt△ADC中,tan∠C===.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2014•柳州)如图,函数y=的图象过点A(1,2).‎ ‎(1)求该函数的解析式;‎ ‎(2)过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足为B和C,求四边形ABOC的面积;‎ ‎(3)求证:过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线,这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值.‎ 考点:‎ 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数系数k的几何意义.菁优网版权所有 分析:[来源:学|科|网]‎ ‎(1)将点A的坐标代入反比例函数解析式,即可求出k值;‎ ‎(2)由于点A是反比例函数上一点,矩形ABOC的面积S=|k|.‎ ‎(3)设图象上任一点的坐标(x,y),根据矩形的面积公式,可得出结论.‎ 解答:‎ 解:(1)∵函数y=的图象过点A(1,2),‎ ‎∴将点A的坐标代入反比例函数解析式,‎ 得2=,解得:k=2,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=;‎ ‎(2)∵点A是反比例函数上一点,‎ ‎∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2.‎ ‎(3)设图象上任一点的坐标(x,y),‎ ‎∴过这点分别向x轴和y轴作垂线,矩形面积为|xy|=|k|=2,‎ ‎∴矩形的面积为定值.‎ 点评:‎ 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义,注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2014•柳州)如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于E,交△ABC的外接圆⊙O于D.‎ ‎(1)求证:△ABE∽△ADC;‎ ‎(2)请连接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于点F,若点F恰好是OD的中点.求证:四边形OBDC是菱形.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;菱形的判定;圆周角定理.菁优网版权所有 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据圆周角定理求出∠B=∠D,根据相似三角形的判定推出即可;‎ ‎(2)根据垂径定理求出OD⊥BC,根据线段垂直平分线性质得出OB=BD,OC=CD,根据菱形的判定推出即可.‎ 解答:‎ 证明:(1)∵∠BAC的角平分线AD,‎ ‎∴∠BAE=∠CAD,‎ ‎∵∠B=∠D,‎ ‎∴△ABE∽△ADC;‎ ‎(2)‎ ‎∵∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴弧BD=弧CD,‎ ‎∵OD为半径,‎ ‎∴DO⊥BC,‎ ‎∵F为OD的中点,‎ ‎∴OB=BD,OC=CD,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴OB=BD=CD=OC,‎ ‎∴四边形OBDC是菱形.‎ 点评:‎ 本题考查了相似三角形的判定,圆周角定理,垂径定理,菱形的判定,线段垂直平分线性质的应用,主要考查学生的推理能力.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2014•柳州)如图,正方形ABCD的边长为l,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.‎ ‎(1)求线段PQ的长;[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)由题意得:PD=PE,∠DPE=90°,又由正方形ABCD的边长为l,易证得△ADP≌△QPE,然后由全等三角形的性质,求得线段PQ的长;‎ ‎(2)易证得△DAP∽△PBF,又由△PFD∽△BFP,根据相似三角形的对应边成比例,可得证得PA=PB,则可求得答案.‎ 解答:‎ 解:(1)根据题意得:PD=PE,∠DPE=90°,‎ ‎∴∠APD+∠QPE=90°,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠A=90°,‎ ‎∴∠ADP+∠APD=90°,‎ ‎∴∠ADP=∠QPE,‎ ‎∵EQ⊥AB,‎ ‎∴∠A=∠Q=90°,‎ 在△ADP和△QPE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADP≌△QPE(AAS),‎ ‎∴PQ=AD=1;‎ ‎(2)∵△PFD∽△BFP,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠ADP=∠EPB,∠CBP=∠A,‎ ‎∴△DAP∽△PBF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∴PA=AB=‎ ‎∴当PA=时,△PFD∽△BFP.‎ 点评:‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2014•柳州)已知二次函数图象的顶点坐标为(0,1),且过点(﹣1,),直线y=kx+2与y轴相交于点P,与二次函数图象交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)求该二次函数的解析式.‎ ‎(2)对(1)中的二次函数,当自变量x取值范围在﹣1<x<3时,请写出其函数值y的取值范围;(不必说明理由)‎ ‎(3)求证:在此二次函数图象下方的y轴上,必存在定点G,使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上,并求△GAB面积的最小值.‎ ‎(注:在解题过程中,你也可以阅读后面的材料)‎ 附:阅读材料 ‎ 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比.‎ ‎ 即:设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,‎ ‎ 则:x1+x2=﹣,x1•x2=‎ ‎ 能灵活运用这种关系,有时可以使解题更为简单.‎ ‎ 例:不解方程,求方程x2﹣3x=15两根的和与积.‎ ‎ 解:原方程变为:x2﹣3x﹣15=0‎ ‎∵一元二次方程的根与系数有关系:x1+x2=﹣,x1•x2=‎ ‎∴原方程两根之和=﹣=3,两根之积==﹣15.‎ 考点:‎ 二次函数综合题;完全平方公式;根与系数的关系;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的图象;待定系数法求二次函数解析式;三角形的内切圆与内心.菁优网版权所有 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ ‎(1)设二次函数解析式为y=ax2+1,由于点(﹣1,)在二次函数图象上,把该点的坐标代入y=ax2+1,即可求出a,从而求出二次函数的解析式.‎ ‎(2)先分别求出x=﹣1,x=0,x=3时y的值,然后结合图象就可得到y的取值范围.‎ ‎(3)由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上,因此GP平分∠AGB.过点A作GP的对称点A′,则点A′必在BG上.由于点A(x1,y1)、B(x2,y2)在直线y=kx+2上,从而可以得到点A的坐标为(x1,kx1+2)、A′的坐标为(﹣x1,kx1+2)、B的坐标为(x2,kx2+2).设直线BG的解析式为y=mx+n,则点G的坐标为(0,n).由于点A′(﹣x1,kx1+2)、B(x2,kx2+2)在直线BG上,可用含有k、x1、x2的代数式表示n.由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点,由根与系数的关系可得:x1+x2=4k,x1•x2=﹣4.从而求出n=0,即可证出:在此二次函数图象下方的y轴上,存在定点G(0,0),使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上.由S△ABG=S△APG+S△BPG,可以得到S△ABG=x2﹣x1==4,所以当k=0时,S△ABG最小,最小值为4.‎ 解答:‎ ‎(1)解:由于二次函数图象的顶点坐标为(0,1),‎ 因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1.‎ ‎∵抛物线y=ax2+1过点(﹣1,),‎ ‎∴=a+1.‎ 解得:a=.‎ ‎∴二次函数的解析式为:y=x2+1.‎ ‎(2)解:当x=﹣1时,y=,‎ 当x=0时,y=1,‎ 当x=3时,y=×32+1=,‎ 结合图1可得:当﹣1<x<3时,y的取值范围是1≤y<.‎ ‎(3)①证明:∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上,‎ ‎∴GP平分∠AGB.‎ ‎∴直线GP是∠AGB的对称轴.‎ 过点A作GP的对称点A′,如图2,‎ 则点A′一定在BG上.‎ ‎∵点A的坐标为(x1,y1),‎ ‎∴点A′的坐标为(﹣x1,y1).‎ ‎∵点A(x1,y1)、B(x2,y2)在直线y=kx+2上,‎ ‎∴y1=kx1+2,y2=kx2+2.‎ ‎∴点A′的坐标为(﹣x1,kx1+2)、点B的坐标为(x2,kx2+2).‎ 设直线BG的解析式为y=mx+n,则点G的坐标为(0,n).‎ ‎∵点A′(﹣x1,kx1+2)、B(x2,kx2+2)在直线BG上,‎ ‎∴.‎ 解得:.‎ ‎∵A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点,‎ ‎∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根.‎ ‎∴由根与系数的关系可得;x1+x2=4k,x1•x2=﹣4.‎ ‎∴n==﹣2+2=0.‎ ‎∴点G的坐标为(0,0).‎ ‎∴在此二次函数图象下方的y轴上,存在定点G(0,0),使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上.‎ ‎②解:过点A作AC⊥OP,垂足为C,过点B作BD⊥OP,垂足为D,如图2,‎ ‎∵直线y=kx+2与y轴相交于点P,‎ ‎∴点P的坐标为(0,2).‎ ‎∴PG=2.‎ ‎∴S△ABG=S△APG+S△BPG ‎=PG•AC+PG•BD ‎=PG•(AC+BD)‎ ‎=×2×(﹣x1+x2)‎ ‎=x2﹣x1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=4.‎ ‎∴当k=0时,S△ABG最小,最小值为4.‎ ‎∴△GAB面积的最小值为4.‎ 点评:‎ 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识,综合性比较强,有一定的难度.‎ ‎ ‎
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