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文档介绍
2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(解析版)
湖南长沙2013年初中毕业学业水平测试数学卷 一、 选择题: 1. (2013湖南长沙 第1题 3分)下列实数是无理数的是( ) A. -1 B.0 C. D. 【答案】D. 2. (2013湖南长沙 第2题 3分)小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000,这个数用科学记数法表示为( ) A.617×105 B.6.17×106 C.6.17×107 D.0.617×108 【答案】C。 3.(2013湖南长沙 第3题 3分)如果一个三角形的两边长分别是2和4,则第三边可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B. 4.(2013湖南长沙 第4题 3分)已知⊙O1的半径为1cm,⊙O2的半径为3cm,两圆的圆心距O1O2为4cm,则两圆的位置关系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】B. 5.(2013湖南长沙 第5题 3分)下列计算正确的是( ) A.a6÷a3=a3 B.(a2)3=a8 C.(a-b)2=a2-b2 D.a2+a2=a4 【答案】A. 6.(2013湖南长沙 第6题 3分)某校篮球队12名同学的身高如下表: 身高(cm) 180 186 188 192 195 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球队12名同学的身高的众数是(单位:cm) A.192 B.188 C.186 D.180 【答案】B. 7.(2013湖南长沙 第7题 3分)下列个图中,∠1大于∠2的是( ) A B C A 1 2 (AB=AC) 1 2 a b B 1 2 a b c C A B C D 2 1 D 【答案】D 8.(2013湖南长沙 第8题 3分)下列多边形中,内角和与外角和相等的是( ) A. 四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 【答案】A. 9.(2013湖南长沙 第9题 3分)在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是( ) 【答案】C. 10. (2013湖南长沙 第10题 3分)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则下列关系式错误的是( ) A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0 【答案】D. 二、 填空题: 11. (2013湖南长沙 第11题 3分)计算:= 【答】=2-=(2-1)=.填。 12. (2013湖南长沙 第12题 3分)因式分解:x2+2x+1= 【答】根据完全平方公式得,x2+2x+1=(x+1)2,故填(x+1)2 13. (2013湖南长沙 第13题 3分)已知∠A=670,则∠A的余角等于 度 【答】230 14. (2013湖南长沙 第14题 3分)方程的解为x= 【答案】x=1 15. (2013湖南长沙 第15题 3分)如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm 【答案】4. 11. (2013湖南长沙 第16题 3分)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比等于 【答案】1:2(或) 12. (2013湖南长沙 第17题 3分)在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的求摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是 【答案】10 18.(2013湖南长沙 第18题 3分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=500,∠C=800,AE∥CD交BC于点E,若AD=2,BC=5,则边CD的长是 【答案】3 19. (2013湖南长沙 第19题 6分)计算:+(-2)2-(+1)0 【解】原式=3+4-1=6。 ① ② 20.(2013湖南长沙 第20题 6分)解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来 【解】解不等式2(x+1)≤x+3,得x≤1;解不等式x-4<3x,得x>-2,把解集在数轴上表示出来,所以原不等式组的解集是-2<x≤1。 21. (2013湖南长沙 第21题 8分)“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量备受人们关注。我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息,解答下列问题: (1) 统计图共统计了 天的空气质量情况。 (2) 请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。 (3) 从小源所在班级的40名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测点参观,则恰好选到小源的概率是多少? 【解】(1)100;(2)优的天数是20天,图略,空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是720;(3)。 22. (2013湖南长沙 第22题 8分)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC. (1) 求证:BC是⊙O的切线; (2) 若⊙O的半径为2,∠BAC=300,求图中阴影部分的面积。 【解】(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=900,∴∠ABD+∠BAC=900,∵∠DBC=∠BAC,∴∠ABD+∠DBC=900,∴BC是⊙O的切线;(2)连接OD,∵∠BAC=300,∴∠BOD=600,∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴S阴影=S扇形OBD-S△OBD=. 23. (2013湖南长沙 第23题 9分)为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线。已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265 亿元;若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元。 (1) 求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元? (2) 除1、2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网。据预算,这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元? 【解】(1)设1号线每千米的平均总价是x亿元,则2号线每千米的平均总价是(x-0.5)亿元,根据题意,得24x+22(x-0.5)=265,解得x=6.所以x-0.5=5.5(亿元)。答:1号线、2号线每千米的平均造价分别是6亿元、5.5亿元。(2)91.8×1.2×6=660.96(亿元)。 24. (2013湖南长沙 第24题 9分)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=900,连接CM交DN于点O. (1) 求证:△ABN≌△CDM; (2) 过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长。 【解】(1)∵平行四边形ABCD,∴∠ABN=∠CDM,AB=CD,BC=AD,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴BN=BC,DM=AD,∴BN=DM,∴△ABN≌△CDM;(2)由(1)易证四边形CDMN是平行四边形,∵∠AND=900,AM=DM,∴MN=AD=DM,∴四边形CDMN是菱形,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2,∴PN=PC,∵∠NEP=∠CEN,∴△NEP∽△CEN,∴EN2=EP·EC,设PN=x=PC,则NE2=1·(x+1),∵CE⊥MN,∴x2=12+(x+1),解得x=2或x=-1(舍去),由勾股定理求的NE=,∵PE=1=PN,∴∠1=∠MND=∠CND=∠2=300,∴△CMN是等边三角形,∴CM=CN=2,由(1)得△ABN≌△CDM,∴AN=CM=2. 25. (2013湖南长沙 第25题 10分)设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”. (1) 反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由; (2) 若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式; (3) 若二次函数y=x2-x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值。 【解】(1)是。理由:根据“闭区间”和“闭函数”的规定,当1≤x≤2013时,,,即1≤y≤2013,所以反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”;(2)因为一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,所以k>0,由m≤x≤n,得km+b≤kx+b≤kn+b,根据“闭函数”的规定有,方程相减得k(m-n)=m-n,由于m≠n,所以k=1,把k=1代入任一方程,b=0,此函数解析式是y=x;(3)y=(x-2)2-,对称轴是x=2,顶点是(2,-)。分三种情况:①当a<b<2时,y随x增大而减小,当a≤x≤b时,b2-b-≤y≤a2-a-,由规定可得 ,方程相减得(a+b)(a-b)-(a-b)=-(a-b),由于a≠b,得a+b=-1,a=-b-1,代入第二个方程得b2+b-2=0,解得b=-2或b=1,由于a<b,b=1,此时a=-2.故.②当a<2<b时,函数的最小值为-,根据闭函数的意义有当a≤x≤b时,-≤y≤a2-a-或-≤y≤b2-b-,于是或,解得或(其中舍去);③当2<a<b时,y随x增大而增大,当a≤x≤b时,a2-a-≤y≤b2-b-,根据规定有,a2-a-=a,b2-b-=b,即a、b是s2-s-=0的两个根,s=,不合题意,应舍去. 综上所述:a、b的值为或或. 26. (2013湖南长沙 第26题 10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限,由点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相较于点E,点F,当点P(a,b)运动时,矩形PMON的面积为定值2. (1) 求∠OAB的度数; (2) 求证△AOF∽△BEO; (3) 当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2.试探究:S1+S2是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由. 【解】(1)当x=0时,y=2,当y=0时,x=2,所以点a坐标为(2,0),点B坐标为(0,2),OA=OB,所以∠OAB=450;(2)方法一:因为矩形OMNPN的面积是2,所以点P坐标为(a,),点E坐标为(a,-a+2),点F坐标为(,),AF=,BE=a,∵,,∴,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO;方法二:先求各点坐标,A(2,0),B(0,2),E(a,2-a),F(2-b,b),∵OA·OB=4,AF·BE=,∴OA·OB=AF·BE,∴,∵∠OAF=∠EBO=450,∴△AOF∽△BEO;(3)∵AE=(2-a),BF=(2-b),EF=(a+b-2),∴AE2+BF2=[(2-a)]2+[(2-b)]2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=[(a+b-2)]2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,∴AE2+BF2=EF2,∴所构成的三角形是直角三角形,EF是斜边,∴S1=π【]2=(a+b-2)2,过点O作EF边上的高,易求得高为,S2==a+b-2;∴S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)=[(a+b-2)+]2-,对称轴是x=-,抛物线的开口向上。由基本不等式知a+b≥2=2,a+b-2≥2-2>-,根据二次函数的性质,当a+b-2=2-2时,S1+S2的值最小,最小值为(2-2)2+2-2。查看更多