2020年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

2020年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

2020 年浙江省衢州市高考数学模拟试卷(4 月份) 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合 ൌ 1 2，3， ， ൌ ȁȁȁ 1 ，则 쳌 ൌ 쳌A. B. C. ͵ D. 香 3， 香. 椭圆 香 1 香 ൌ 1 的离心率为 쳌 A. 1 ͵ B. 1 香 C. ͵ ͵ D. 香 香 ͵. 下面三视图所表示的几何体是 쳌 ． A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 . 《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步” 整数部分 쳌 及诸分子分母， 以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能约简之分数进行约 简，又用最下面的分母去遍乘诸 未通者 쳌 分子和已通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整 数．例如： ൌ 香 及 ൌ ͵ 时，序列如图所示，记 为每个序列中最后一列数之和，则 为 쳌 A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520 5. 函数 쳌 ൌn nlnȁȁ 的大致图象为 쳌 A. B. C. D. . 已知实数 x，y 满足约束条件 n ͵ n 1 n n 1 ͵ n ͵ ，则 ൌ n 香 的最大值为 쳌 A. 1 B. 1 香 C. ͵ D. 5 ͵ . “ ൌ ”的充分不必要条件是 쳌A. ൌn B. 香 ൌ 香 C. 1 1 ൌ D. ൌ 1 . 设函数 쳌 ൌ ȁȁ ， 쳌 ൌ lg 香 n 1쳌 ，若对任意 1 ，都存在在 香 ，使 1쳌 ൌ 香쳌 ， 则实数 a 的取值范围是 쳌A. n 䁥 B. 䁥 C. n 䁥 D. 쳌 9. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，P 是正方形 ABCD 的外接圆上的动点，则 的最大值为 쳌A. 2 B. 1 香 C. 4 D. 香 香 香 1. 函数 쳌 满足 香 n ͵쳌 ൌ n ，若 쳌 ൌn ͵ ，则实数 a 的值为 쳌A. 0 B. 1 C. n D. n 1二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11. 已知复数 ൌ 香 ，且 ȁ n 香ȁ ൌ ͵ ，则 的最大值为________． 1香. 已知数列 为等比数列，且 ൌ 1 ， 9 ൌ ，则 ൌ ______． 1͵. 若 5 n ͵ 쳌 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为_____． 1. 直线 l： n ൌ 被圆 香 香 ൌ 截得的弦长为______ ． 15. 已知随机变量 X 的分布列如表： 若 㘲 ൌ 香 ，则 ൌ _____． 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 香 1香 n 香 香 ൌ 1 쳌 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲 线的离心率为______． 17. 集合 ൌ n 香 香 1 ， ൌ n ܽ ，若 ，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18. 在 䁨 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ͵ ൌ sin ͵cos ． 1쳌 求 B； 香쳌 若 D 为 BC 的中点，且 ‸ ൌ ， 䁨 ൌ ，求 䁨 的周长． 19. 如图，四棱锥 n 䁨‸ 底面为正方形，已知 ‸ 平面 ABCD， ‸ ൌ ‸ ，点 M 为线段 PA 上 任意一点 不含端点 쳌 ，点 N 在线段 BD 上，且 ܯ ൌ ‸ ． X a 2 3 4 P 1 ͵ b 1 1 Ⅰ 쳌 求证：直线 ܯ䖕䖕 平面 PCD； Ⅱ 쳌 若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的正弦值． 20. 设等差数列 前 n 项和为 ，满足 ൌ 香 ， 9 ൌ 1 ． 1쳌 求数列 的通项公式； 香쳌 设数列 满足 1 1 香 香 ൌ 1 n 1 香 ，求数列 的通项公式． 21. 如图，设抛物线 香 ൌ 香 쳌 的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 n 1 ． 1쳌 求 p 的值； 香쳌 若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围． 22. 已知函数 ． 1쳌 讨论 쳌 的单调性； 香쳌 当 时，证明：函数 쳌 ൌ 쳌 存在唯一的极值点 ，且 1 n 1 ܽ 쳌 ܽ 1 ． 【答案与解析】 1.答案：D 解析： 根据交集与补集的定义，进行化简运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 解： 集合 ൌ 1 2，3， ， ൌ ȁȁȁ 1 ൌ n 1 0， 1 ， 쳌 ൌ 香 3， ． 故选 D． 2.答案：D 解析： 本题考查椭圆的离心率，属于基础题． 解：由题意， 香 ൌ 1 ， 香 ൌ 香 ൌ 香 n 香 ൌ 1 n ൌ ， ൌ ൌ 香 香 ൌ 香 香 ． 故答案为：D． 3.答案：D 解析： 本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视 图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力． 由俯视图结合其它两个视图可以看出，此几何体是一个六棱锥． 解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥， 故选 D． 4.答案：A 解析： 本题考查合情推理，解决问题的关键是由已知写出当 ൌ 时的序列，然后各个数相加可得答案． 解：由题意可得当 ൌ 时，序列如图所示： ൌ 香 香1 1 15 ൌ 19 ． 故选 A． 5.答案：B 解析： 本题考查函数图象的应用，属于基础题． 根据函数不是奇函数排除 A、D，根据 时函数为增函数，排除 C，即可得到答案． 解： 쳌 ൌn nlnȁȁ ൌn 1 ȁȁ ， n 쳌 ൌn 1 ȁȁ n n 쳌 ，故 不是奇函数，图象不关于原点对称，排除 A 和 D， 当 时， 쳌 ൌn 1 在 为增函数，排除 C， 故选 B． 6.答案：C 解析： 本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能 力，属于基础题． 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 ൌ n 香 对应的直线进行平移并观察 z 的变化， 即可得到 ൌ n 香 的最大值． 解：作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示， ൌ n 香 即 ൌ 1 香 n 香 ， 当直线 ൌ 1 香 n 香 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 最大， 此时 A 点坐标满足 n ͵ n 1 ൌ ͵ n ͵ ൌ ，解得 香 1 ͵ 쳌 ， 此时 z 的最大值为： ͵ ． 故选：C． 7.答案：C 解析：解： ൌ ൌn ． ൌn 是 ൌ 的充要条件，故 A 错误； 由 ൌn ，可得 香 ൌ 香 ，反之，由 香 ൌ 香 ，不一定有 ൌn ， 香 ൌ 香 是 ൌn ，即 ൌ 的必要不充分条件，故 B 错误； 1 1 ൌ ൌ ൌ ，反之，由 ൌ ，不一定有 1 1 ൌ ，如 ൌ ൌ ， 1 1 ൌ 是 ൌ 的充分不必要条件；故 C 正确； ൌ 1 ൌ 1 ൌ ， ൌ 1 是 ൌ 的充要条件，故 D 错误． 故选：C． 由必要条件、充分条件的判定方法逐一核对四个选项得答案． 本题考查必要条件、充分条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.答案：D 解析：解： 1 ， 쳌 ൌ ȁȁ 쳌 ， 香 ，使 1쳌 ൌ 香쳌 ， 쳌 ൌ lg 香 n 1쳌 的值域包含 쳌 ， 当 ൌ 时， 쳌 ൌ lg n 1쳌 ，显然成立； 当 时，要使 쳌 ൌ lg 香 n 1쳌 的值域包含 쳌 ， 则 香 n 1 的最小值小于等于 1， nn쳌 香 1 ，即 ． 综上， ． 实数 a 的取值范围是 쳌 ． 故选：D． 由题意求出 쳌 的值域，再把对任意 1 ，都存在 香 ，使 1쳌 ൌ 香쳌 转化为函数 쳌 的值 域包含 쳌 的值域，进一步转化为关于 a 的不等式组求解． 本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题． 9.答案：D 解析：解：如图所示， n 1 n 1쳌 ， 1 n 1쳌 ． 设 香䁞 香䁞香쳌 ． ൌ 香쳌 香䁞 1 香䁞香 1쳌 ൌ 香 香䁞 香 香 香 香 ． 的最大值为 香 香 香 ． 故选：D． 如图所示， n 1 n 1쳌 ， 1 n 1쳌. 设 香䁞 香䁞香쳌. 可得 ൌ 香 香䁞 香 ，利用余弦函 数的单调性即可得出． 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题． 10.答案：D 解析： 本题考查函数的解析式，属于基础题． 根据题意，求出 쳌 ൌ 香 n 1 ，即可得解． 解：由题意， 香 n ͵쳌 ൌ n ൌ 香香 n ͵쳌 n 1 ， 쳌 ൌ 香 n 1 ， 쳌 ൌ 香 n 1 ൌn ͵ ， 解得： ൌn 1故选 D． 11.答案： ͵ 解析： ȁ n 香ȁ ൌ n 香쳌 香 香 ൌ ͵ ， n 香쳌 香 香 ൌ ͵ ． 由图可知 쳌max ൌ ͵ 1 ൌ ͵ ． 12.答案： 香 解析：解：在等比数列 中，由 ൌ 1 ， 9 ൌ ， 得 香 ൌ 9 ൌ 1 ൌ ． ൌ 香 ． 故答案为： 香 ． 由已知结合等比数列的性质得答案． 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题． 13.答案：2025 解析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质， 属于基础题． 根据系数之和为 32，求得 ൌ 5 ，在二项展开式的通项中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可 求得展开式中含 x 的项的系数． 解： 5 n ͵ 쳌 展开式中各项系数之和为 32， 令 ൌ 1 ，得 香 ൌ ͵香 ， ൌ 5 ， 故展开式的通项为 1 ൌ 䁨5 5 5n n ͵ ൌ 5 5n n ͵ 䁨5 n5 ͵ 香 ， 令 n 5 ͵ 香 ൌ 1 ，解得 ൌ ， 则该展开式中含 x 的项的系数为 5 n ͵ 5 ൌ 香香5 ． 故答案为 2025． 14.答案：4 解析：解：圆 香 香 ൌ 的圆心为 쳌 ，半径为 2，直线 n ൌ 过圆心， 直线 l： n ൌ 被圆 香 香 ൌ 截得的弦长为 4， 故答案为：4． 圆 香 香 ൌ 的圆心为 쳌 ，半径为 2，直线 n ൌ 过圆心，即可求出结果． 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力． 15.答案：0 解析： 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和 ൌ 1 求出 b， 然后根据 㘲 ൌ 香 ，可求出 a． 解：根据题意可知 1 ͵ 1 1 ൌ 1 ，解得 ൌ 1 ， 所以 㘲 ൌ 1 ͵ 1 香 1 ͵ 1 ൌ 香 ，解得 ൌ ， 故答案为 0． 16.答案： 香 ͵ ͵ 解析： 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是 b 的值，是简单题． 根据题意，由双曲线的几何性质分析可得 b 的值，进而求出半焦距 c，由双曲线离心率的公式计算即 可得答案． 解：根据题意，双曲线 香 1香 n 香 香 ൌ 1 쳌 的焦点到渐近线的距离为 2， 则 ൌ 香 ， 又由双曲线的离心率 ൌ ൌ 香香 ൌ 1香 1香 ൌ 香 ͵ ͵ ， 故答案为 香 ͵ ͵ ． 17.答案： 1 解析： ൌ n 香 香 1 ， ， ൌ n ܽ ， ൌ ܽ ， 1 ． 18.答案：解： 1쳌 因为 ͵ ൌ sin ͵cos ，所以 ͵sin䁨 ൌ sinsin ͵sincos.因为 䁨 ൌ ，所以 sin䁨 ൌ sin 쳌 ൌ sin䁞 cos䁞香 ， 所以 ͵sincos ͵cossin ൌ sinsin ͵sincos ，则 ͵sincos ൌ sinsin ， 从而 tan ൌ ͵ ， 因为 ܽ ܽ ，所以 ൌ ͵ ； 香쳌 因为 D 为 BC 的中点，且 䁨 ൌ ，所以 ‸ ൌ 香 ， 由余弦定理可得 ‸ 香 ൌ 香 ‸ 香 n 香‸䁞 ，即 香 n 香 ൌ ，解得 ൌ ͵ ， 由余弦定理可得 香 ൌ 香 香 n ，即 香 ൌ 9 1 n 1香 ൌ 1͵ ，则 ൌ 1͵ ， 故 䁨 的周长为 ൌ 1͵ ． 解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式， 属于中档题． 1쳌 由 ͵ ൌ sin ͵cos ，可得 ͵sin䁨 ൌ sinsin ͵sincos ，进而得 ͵sincos ൌ sinsin ，从而 tan ൌ ͵ ， 得出 B 的大小； 香쳌 结合余弦定理，可得 b 和 c 的值，进而得出 䁨 的周长． 19.答案： Ⅰ 쳌 证明：延长 AN，交 CD 于点 G，由相似三角形知 ൌ ‸ 由题意 ൌ ‸ 又 ܯ ൌ ‸ 则 ܯ ൌ 故 ‸ ൌ ܯ ܯ 故 ൌ ܯ ܯ 可得： ܯ䖕䖕 ， ܯ 平面 PCD， 平面 PCD， 则直线 ܯ䖕䖕 平面 PCD； Ⅱ 쳌 解：由于 ‸ 平面 ABCD， DA，DC，DP 两两垂直，以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 1 0， 쳌 ， 则 1 1， 쳌 ， 䁨 1， 쳌 ， 0， 1쳌 ， ܯ 1 香 1 香 쳌 ， 1 香 1 香 쳌 ， 则 ൌ 1 1， n 1쳌 ， ܯ ൌ n 1 香 1 香 ൌ n 1 香 1 香 设平面 AMN 的法向量为 ൌ 则 ܯ ൌ ൌ 即 n 1 香 1 香 ൌ n 1 香 1 香 ൌ 取 ൌ 1 则 ൌ ൌ ൌ 1平面 AMN 的法向量为 ൌ 111쳌 ， 设直线 PB 与平面 AMN 所成的角为 ，则 ． 直线 PB 与平面 AMN 所成的角的正弦值为 1 ͵ . 解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及 空间想象能力． Ⅰ 쳌 延长 AN，交 CD 于点 G，由题意知 ൌ ‸ ൌ ܯ ܯ ，推出 ܯ䖕䖕 ，然后证明直线 ܯ䖕䖕 平面 PCD； Ⅱ 쳌 以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 1 0， 쳌 ，求出相关点的坐标， ൌ 1 1， n 1쳌 ，平面 AMN 的法向量，利用向量的数量积求解 PB 与平面 AMN 夹角的正弦值． 20.答案：解： 1쳌 设数列的公差为 d， 因为等差数列 前 n 项和为 ，满足 ൌ 香 ， 9 ൌ 1 ． 所以 1 ͵ 香 ൌ 香1 1 ൌ 1 ，解得 ൌ 香 1 ൌ 1 所以数列 的通项公式为 ൌ 1 n 1쳌 香 ൌ 香 n 1 香쳌 数列 满足 1 1 香 香 ൌ 1 n 1 香 ， 可得 1 1 ൌ 1 n 1 香 ，解得 1 ൌ 1 香 ， 香 时， 1 1 香 香 n1 n1 ൌ 1 n 1 香 n1 ， 又 1 1 香 香 ൌ 1 n 1 香 ， 两式相减可得 ൌ 1 n 1 香 n 1 1 香 n1 ൌ 1 香 ， 即有 ൌ 香n1 香 ． 解析：本体考查数列的递推关系，数列的通项公式，等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题． 1쳌 设数列的公差为 d，根据已知条件得到 1 ͵ 香 ൌ 香1 1 ൌ 1 ，求出首项和公差，即可得 到数列 的通项公式； 香쳌 由题可得 1 1 ൌ 1 n 1 香 ，解得 1 ൌ 1 香 ，根据 香 时， 1 1 香 香 n1 n1 ൌ 1 n 1 香 n1 ，结合已知条件， 即可得到 ൌ 1 香 ，进而得到数列 的通项公式． 21.答案：解： 1쳌 由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 ൌn 1 的距离， 由抛物线定义得， 香 ൌ 1 ，即 ൌ 香 ； 香쳌 由 1쳌 得，抛物线方程为 香 ൌ ， 1쳌 ，可设 香 香쳌 ， ， 1 ， 不垂直 y 轴， 设直线 AF： ൌ 䁞 1䁞 쳌 ， 联立 香 ൌ ൌ 䁞 1 ，得 香 n 䁞 n ൌ ． 1香 ൌn ， 1 香 n 香 ， 又直线 AB 的斜率为 香 香 n1 ，故直线 FN 的斜率为 n 香 n1 香 ， 从而得 FN： ൌn 香 n1 香 n 1쳌 ，直线 BN： ൌn 香 ， 则 香 ͵ 香 n1 n 香 ， 设 ܯ쳌 ，由 A、M、N 三点共线，得 香 香 n ൌ 香 香 香 n 香͵ 香n1 ， 于是 ൌ 香 香 香 n1 ൌ 香 1n 1 香 ，得 ܽ 或 香 ． 经检验， ܽ 或 香 满足题意． 点 M 的横坐标的取值范围为 n 쳌 香 쳌. 解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法， 属难题． 1쳌 利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值； 香쳌 设出直线 AF 的方程，与抛物线联立，求出 B 的坐标，求出直线 AB，FN 的斜率，从而求出直线 BN 的方程，根据 A、M、N 三点共线，可求出 M 的横坐标的表达式，从而求出 m 的取值范围． 22.答案： 1쳌 解：函数的定义域为 쳌 ， 函数的导数 ൌ 1 n 1 香 ൌ 香 n1 香 ， 设 쳌 ൌ 香 n 1 ， ൌ 1 ， 当 n 1 时， 쳌 恒成立，即 쳌 恒成立，此时函数 쳌 在 쳌 单调递减； 当 n 1 ܽ ܽ 时，由 쳌 ൌ ，得 ൌ n1 1 香 ， 则当 ܽ ܽ n1 1 香 时， 쳌 ܽ ；当 n1 1 香 ܽ ܽ n1n 1 香 时， 쳌 ；当 n1n 1 香 时， 쳌 ܽ ， 所以当 n 1 ܽ ܽ 时，函数 쳌 在 n1 1 香 和 n1n 1 香 单调递减，在 n1 1 香 n1n 1 香单调递增； 当 ൌ 时，由 ，得 n 1 ，即 1 ， 所以函数 쳌 在 1 单调递增，在 1 单调递减； 当 时，由 ，得 n1 1 香 ， 所以函数 쳌 在 n1 1 香 单调递增，在 n1 1 香 单调递减． 香쳌 证明：由题意 ， 则 ， 设 则 ൌ 1 香 ൌ 香1 ， 因为 ，所以 ， 所以 在 上为增函数，又 1 ൌ 香 ， 当 x 趋近于 0 时， ܽ ，故存在 1 ，使 ൌ ， 当 ܽ ܽ 时， ܽ ， 时 ， 所以函数 쳌 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 쳌 的极小值点为 ൌ 1 且 ， 所以 ， ， 所以 ， 令 ， 1 ， 所以 ， 所以 쳌 在 1 单调递减， 1 n 1 所以 1 n 1 ， 又 所以 ， 综上所述，函数 쳌 存在唯一的极值点 ，且 1 n 1 ܽ ܽ 1 ． 解析：本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的 应用是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 1쳌 求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可； 香쳌 构造新函数，研究函数的单调性和极值即可得到结论．