数学冀教版八年级上册教案17-1等腰三角形（1）

数学冀教版八年级上册教案17-1等腰三角形（1）

- 1 - 17.1 等腰三角形（1） 教学目标 【知识与能力】 在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理. 【过程与方法】 1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能 力. 2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理. 【情感态度价值观】 培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度. 教学重难点 【教学重点】 等腰三角形、等边三角形的性质定理. 【教学难点】 等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角 形、等腰三角形等. 让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形. 引入今天所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理. 我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三 角形. [设计意图] 通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的 性质来确定等腰三角形. - 2 - 导入二: 在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面 图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我 们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形. 思考: 三角形是轴对称图形吗? 有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是. 问题:什么样的三角形是轴对称图形? 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分 能够完全重合的就是轴对称图形. 这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形──等腰三角形. [设计意图] 从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地 引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望. 导入三: 1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点. 2.出示自制的测平仪,告诉学生含 45°角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边 中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题. [设计意图] 活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习. 二、新知构建： [过渡语] 刚才我们知道等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性质呢?现在我们就 共同来研究它. 探究一:等腰三角形的性质定理 思路一 【活动 1】 【课件 1】 如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到 的ΔABC 有什么特点? 【学生活动】 学生动手操作,观察ΔABC 的特点,可以发现 AB=AC. 【教师活动】 让学生回顾等腰三角形的概念: 有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边, 两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 如图所示,在ΔABC 中,若 AB=AC,则ΔABC 是等腰三角形,AB,AC 是腰,BC 是底边,∠A 是顶角, - 3 - ∠B 和∠C 是底角. 【活动 2】 【课件 2】 观察与思考: 如上图所示,ΔABC 是等腰三角形,其中 AB=AC. (1)我们知道线段 BC 为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由 AB=AC,可知点 A 在线段 BC 的中 垂线上.据此,你认为ΔABC 是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线? (2)∠B 和∠C 有怎样的关系? (3)底边 BC 上的高、中线及∠A 的平分线有怎样的关系? 【学生活动】 学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质. 【教师活动】 引导学生归纳: 性质 1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). [知识拓展] 等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常 用方法. 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 【活动 3】 你能用所学知识验证上述性质吗? 【课件 3】 如图所示,在ΔABC 中,AB=AC.求证∠B=∠C. 【学生活动】 学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据 全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线 构造两个三角形,作 BC 边上的中线 AD,证明ΔABD 和ΔACD 全等即可,根据条件利用“边边边” 可以证明. 【教师活动】 让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明 过程中注意学生表述的准确性和严谨性. 证明:作 BC 边上的中线 AD,如图所示,则 BD=CD, 在ΔABD 和ΔACD 中, ′ = ′ , = , ′ = ′ , 所以ΔABD≌ΔACD(SSS), 所以∠B=∠C. - 4 - 这样,就证明了性质 1. 类比性质 1 的证明你能证明性质 2 吗? 由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°. 从而 AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形 ABC 底边上的中线平分顶角∠A 并垂直于底边 BC. 添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质 2. 说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等 腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. [知识拓展] 等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三 角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. [设计意图] 通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括 出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌 握. 思路二 要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形. 【课件 4】 作一条直线 l,在 l 上取点 A,在 l 外取点 B,作出点 B 关于直线 l 的对称点 C,连 接 AB,BC,CA. 以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为 . 小结:【课件 5】 填出等腰三角形各部分名称. 归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两 边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角. - 5 - 同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角. 【课件 6】 问题 1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴. 问题 2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系? 问题 3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? 问题 4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢? 1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果. 2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线 合一.) 小结:等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角 (简称“ ”); (2)等腰三角形的 , 、 重合(简称“三线合一”). 3.你能证明以上性质吗? 问题: (1)性质 1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么? (2)怎样用数学符号表示条件和结论? 已知:在ΔABC 中,AB=AC. 求证:∠B=∠C; 请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A 组同学完成以下填空,B 组同学独立证明.) 教师巡视辅导点评. 【课件 6】 证明:如图所示,作∠BAC 的平分线 AD,∴∠ =∠ , 在ΔABD 与Δ ACD 中, = (已知), ∠ = ∠ , ′ = ′ (公共边), ∴ΔABD≌ΔACD( ), ∴∠B=∠ . 4.受上述启发,能证明性质 2 吗? - 6 - 即证明∠BAC 的平分线 AD 是ΔABC 底边上的中线和高. 证明:由ΔABD≌ΔACD 知 BD= ,∠BAD=∠ ,∠ADB=∠ , ∵∠ADB+∠ADC= °, ∴∠ADB=∠ADC= °. 因此∠BAC 的平分线 AD 也是ΔABC 底边 BC 上的中线和高. 5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.) [设计意图] 通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰 三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力. 探究二:等边三角形的性质定理 [过渡语] 我们知道三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角 形,它有哪些性质呢? 每位同学画一个等边三角形,并用量角器量一量每个内角的度数. 结论:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 60°. 【课件 7】 已知:如图所示,在ΔABC 中,AB=BC=AC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°. 指导学生利用等腰三角形的性质进行证明. 证明:在ΔABC 中,由 AB=AC,得∠B=∠C.由 AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形内 角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°. [知识拓展] 等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形 还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作 为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条. [设计意图] 让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形 的关系. 探究三:例题讲解 【课件 8】 已 知 : 如 图 所 示 , 在 Δ ABC 中 ,AB=AC,BD,CE 分 别 为 ∠ ABC, ∠ ACB 的 平 分 线 . 求证:BD=CE. 〔解析〕 根据角平分线定义得到∠ABD= 1 2 ∠ABC,∠ACE= 1 2 ∠ACB,再根据等边对等角得到∠ ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过 ASA 证得ΔABD≌ΔACE,就可以得到 BD=CE. 教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程. 【课件 9】 - 7 - (补充例题)如图所示,在ΔABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,求ΔABC 中各角的度数. 〔解析〕 根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC= ∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为 180°,就可求出ΔABC 的 三个角的度数.如果设∠A 为 x,那么∠ABC,∠C 都可以用 x 来表示,这样过程就更简捷了. 解:因为 AB=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 在ΔABC 中, ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得 x=36°. 所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. [设计意图] 通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思 路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力. 三、课堂小结： 1.等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). 注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用. 2.等腰三角形的性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的 对称轴. 3.等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 60°.