北师版高中数学必修一第5讲：函数的单调性（教师版）
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函数的单调性
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1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；
2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；
一、函数单调性的定义
1、图形描述：
对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说
函数 )(xf 在区间 D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数 )(xf
在区间 D 上为单调递减函数。
2、定量描述
对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21, xx ，
（1）若当 1x 2x 时，都有 1( )f x )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是增函数；
（2）若当 1x 2x 时，都有 )( 1xf )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是减函数。
3、单调性与单调区间
若函数 y = )(xf 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 )(xf 在这一区间具有（严格的）
单调性，这一区间叫做函数 )(xf 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间
上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：
1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，
而在另一些区间上不是增函数.例如函数 2xy （图 1），当 0,x 时是增函数，当 ,0x
时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、 21, xx
应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、用定义证明函数的单调性：
定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：
1、取量定大小：即设 21, xx 是区间上的任意两个实数，且 1x < 2x ；
2、作差定符号：即 1 2f x f x ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差
2
的符号的方向变形；
3、判断定结论： 即根据定义得出结论。
三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
1、函数 y f x 与函数 y f x 的单调性相反
2、当 f x 恒为正或恒为负时，函数
1y f x
与函数 y f x 的单调性相反
3、在公共区间内，增函数 增函数 增函数，增函数 减函数 增函数，减函数 增函数 减
函数。
四、复合函数单调性的判断
对于函数 )(ufy 和 )(xgu ，如果 )(xgu 在区间 ),( ba 上是具有单调性，当 ),( bax 时，
),( nmu ，且 )(ufy 在区间 ),( nm 上也具有单调性，则复合函数 ))(( xgfy 在区间 ),( ba 具有
单调性的规律见下表：
)(ufy ),( nmu 增 ↗ 减 ↘
)(xgu ),( bax 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
))(( xgfy ),( bax 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
以上规律还可总结为：“同增异减”。
类型一用定义证明函数的单调性
例 1：证明：函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数．
解析：设 x1
0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1)
＝2(x－x)＋4(x2－x1)
＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．
∵x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－ x2－(－ x1)＝ x1－ x2
＝ x1－ x2 x1＋ x2
x1＋ x2
＝ x1－x2
x1＋ x2.
∵x1－x2＝－Δx<0， x1＋ x2>0，Δy<0.
∴f(x)＝－ x在[0，＋∞)上是减函数．
练习 2：(2014～2015 学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数 f(x)=
退2
退1
,用单调性定义
证明在（-1，+
∞
）上是减函数。
答案：设任意 x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且 x10.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝a x1x2＋1 x1－x2
x2
1－1 x2
2－1
，
∵－10，x2
1－1<0，x2
2－1<0，
∴ x1x2＋1 x1－x2
x2
1－1 x2
2－1
<0，
∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0，
故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数，
当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0，
故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数，
当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
答案：增函数．
练习 1：判断函数 f(x)＝a
x
(a 为常数且 a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．
答案：当 a>0 时， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当 a<0 时， f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
练习 2：判断函数
2
0x af x ax
在 ,0 上的单调性
答案：单调递减函数
类型三 证明抽象函数的单调性
例 3：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝ 1
f x
在(0，
＋∞)上的单调性，并证明．
解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：
任取 x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0.
∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝ 1
f x2
－ 1
f x1
＝f x1 －f x2
f x2 f x1
，
又 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
∴f(x1)－f(x2)<0.
而 f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0，
4
∴F(x2)－F(x1)<0，
∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．
答案：减函数
练习 1：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝f ²(x)在(0，
＋∞)上的单调性，并证明
答案：增函数
练习 2：(2014～2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 f(x)＝x²＋2x＋3 在[－1，
＋∞)的单调性为____
答案：增函数。
类型四 求函数的单调区间
例 4：求函数 y＝x＋1
x
，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．
解析：设 x1、x2 是任意两个不相等的正数，且 x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋1
x2
)－(x1＋1
x1
)＝(x2－x1)＋x1－x2
x1x2
＝(x2－x1)x1x2－1
x1x2
.
由于 00，x1x2>0，
当 x1、x2∈(0,1]时，有 x1x2－1<0，此时Δy<0；
当 x1、x2∈(1，＋∞)时，有 x1x2－1>0，此时Δy>0，
即函数 y＝x＋1
x
，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．
函数的大致图象如图所示．
答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。
练习 1：求函数 f(x)＝ 1
1－x
的单调区间．
答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
练习 2：函数 2
1 1
x xy x
的单调递减区间是
答案： 1,2 和 2, 。
类型五 利用单调性解不等式
例 5：已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)a2－1，③
由①得 00
a＋2<0
或
a－1<0
a＋2>0
，
∴－20，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋ x2－1)－(x1＋ x1－1)
＝(x2－x1)＋( x2－1－ x1－1)
＝(x2－x1)＋ x2－x1
x2－1＋ x1－1
＝(x2－x1)·
1＋ 1
x1－1＋ x2－1 .
∵Δx＝x2－x1>0,1＋ 1
x1－1＋ x2－1
>0，
∴f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.
答案：1
练习 1: (2014～2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)已知f(x)＝ 1
x－1
，x∈[2,6]，
求函数 f(x)的最大值和最小值．
答案：f(x)max＝f(2)＝1, f(x)min＝f(6)＝1
5
.
练习 2: 函数 1y x 在 2,2 上的最大值与最小值分别为 。
答案: max min3, 0y y
6
1、证明函数 3)( xxf x R 是增函数。
答案：证明：设 21, xx 是 R 上的任意两个实数，且 1x < 2x
)xxx)(xx(xxx)f(x)f(x 2
221
2
121
2
2
3
121
∵ 21 xx ∴ 021 xx ， 又∵ 04
3)2(
2
222
1
2
221
2
1 xxxxxxx ,
∴ 021 )f(x)f(x 即 )f(x)f(x 21 ∴ 3)( xxf 在 R 上是增函数。
2、求函数
2
0x af x ax
的单调区间。
答案： ,0 和 0, 。
3、求函数 xxy 20042 的单调递增区间.
答案： .,2004
4 、 如 果 函 数 2f x x bx c ， 对 任 意 实 数 t 都 有 2 2f t f t ， 比 较
1 , 2 , 4f f f 的大小。
答案: 2 1 4f f f
5、已知 2 2 1 2f x x a x 在 ,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围。
答案： 3a
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基础巩固
1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝1
x2 B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
答案：D
2．设函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 是 R 上的增函数，则有( )
A．a>1
2
B．a≤1
2
7
C．a>－1
2
D．a<1
2
答案：A
3．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不
正确的是( )
A．f x1 －f x2
x1－x2
>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)0
答案：C
4．(2014～2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋3 在
区间(－∞，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
答案：D
5．若函数 f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数 f(x)在区间(a，
c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性
答案：D
6．(2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是
( )
A．y＝|x| B．y＝3－2x
C．y＝ 1
2＋x
D．y＝x2－4x＋3
答案：A
∴函数 y＝|x|在(0,1)上是增函数．
7．(2014～2015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数 y＝x2＋bx＋c 在区间(－∞，1)上是
减函数时，b 的取值范围是( )
A．b≤－2 B．b≥－2
C．b>－2 D．b<－2
答案：A
能力提升
8
8. (2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数 f(x)＝ x
2x－1
，证明函数 f(x)
在区间(1，＋∞)上是减函数．
答案: 设任意 x1∈(1，＋∞)，x2∈(1，＋∞)，且 x11，x2>1，
∴2x1－1>0,2x2－1>0，
∴ x1－x2
2x2－1 2x1－1
<0，
∴f(x2)0 时， f(x)<0，f(1)
＝－2
3
.
(1)求证：f(x)是 R 上的单调递减函数；
(2)求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
答案：(1)证明：设 x1、x2 是任意的两个实数，且 x10，
∵x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，
又∵x2＝(x2－x1)＋x1，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)
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