中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义14 反比例函数（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义14 反比例函数（教师版）

专题 14 反比例函数 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 反比例函数的基础 反比例函数的概念：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。 表现形式： 还可以写成 和 xy= k 的形式 【注意】反比例函数 的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点。 1．（2018·湖北襄阳七中初三月考）下列函数中，是反比例函数的是( ) A．y＝ B．3x＋2y＝0 C．xy－ ＝0 D．y＝ 【详解】 解：A、k≠0 时，y= 是反比例函数，故此选项错误； B、3x+2y=0，可变形为 y= x，是正比例函数，不是反比例函数，故此选项错误； C、xy- =0 可变形为 y= 是反比例函数，故此选项正确； D、y= 分母是 x-1，不是反比例函数，故此选项错误． 故选：C． 2．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． 2 3 xy  C． D．y=-x+5 【详解】 A 选项中，当 时不是反比例函数，故该选项错误. B 选项中， 2 3 xy  是正比例函数，故该选项错误. C 选项中， 是反比例函数，故该选项正确. D 选项中，y=-x+5 是一次函数，故该选项错误. 故选 C 反比例函数解析式的特征: 1.等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫做比例系数 ）， 分母中含有自变量 ，且指数为 1. 2.比例系数 3.自变量 的取值为一切非零实数。 4.函数 的取值是一切非零实数。 考查题型一 根据反比例函数概念求参数值的方法 1．（2019·黑龙江八五八农场学校初二期末）函数的图象 是双曲线，则 m 的值是（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【详解】 解：∵函数 的图象是双曲线， ∴ ，解得 m=1． 故选：C． 2．（2019·莱芜市寨里镇寨里中学初三期中）若函数 ＝（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，则 ＝ （ ） A．±1 B．±3 C．﹣1 D．1 【详解】 ∵函数 =（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1． ∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1． 故选 D． 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）： 1） 设反比例函数的解析式为 （k 为常数，k≠0） 2） 把已知的一对 x，y 的值带入解析式，得到一个关于待定系数 k 的方程。 3） 解方程求出 k 值 4） 将 k 值代入所设解析式中。 考查题型二 待定系数法求反比例函数解析式 1．（2019·明光市鲁山中学初三月考）函数 的图象经过点 ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 【详解】 ∵函数 y= 的图象经过点(2,3)， ∴点(2,3)满足 y= ， ∴3= ， 解得，k=6. 故选 A. 2．（2019·芜湖市期中）下列各点中，在函数 y=- 图象上的是（ ） A． 2, 4  B． C． D． 【详解】 A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D．∵ ×3＝－ ≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选 C. 3．（2019·江苏初三月考）反比例函数 y＝ 图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点，则 n＝ （ ） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【详解】 解：∵反比例函数 y＝ 图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点， ∴k＝1×2＝﹣2n． 解得 n＝﹣1． 故选：C． 4．（2019·黑龙江中考模拟）若反比例函数 的图像经过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【详解】 把点 代入 ，可得 ，解得：k=-9. 故选：A 知识点二 反比例函数的图像和性质（基础） 图像的画法：描点法 1.列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 2.描点（由小到大的顺序） 3.连线（从左到右光滑的曲线） 图像的特征： 1.函数的图像是双曲线． 2.图像的对称性： 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上． 图象关于直线 y = x 或 y= -x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ） 在双曲线的另一支上． 3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系： |k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大． 反比例函数的性质： 的取值 图像所在象限 函数的增减性 k>0 一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减小 k>0 二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增大 【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不 能一概而论 考查题型三 反比例函数图形特征与性质 1．（2018·安岳县期中）反比例函数 （ 为常数， ）的图象位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【解析】 ∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象位于第二、四 象限．故选 C． 2．（2018·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）已知反比例函数 1y x   ，下列结论正确 的是（ ） A． 值随着 值的增大而减小 B．图象是双曲线，是中心对称图形 C．当 ＞1 时，0＜ ＜1 D．图象可能与坐标轴相交 【详解】 A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故 本选项错误； B、反比例函数 1y x   的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确； C、当 ＞1 时，y<0，故本选项错误； D、因为 x、y 都不等于 0，所以图象不可能与坐标轴相交，故本选项错误. 故选：B. 3．（2015·浙江中考真题）若反比例函数 y＝ 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图 象在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【解析】 反比例函数 的图象经过点 ，求出 k=-2， 当 k> 0 时反比例函数的图象在第一、三象限， 当 k<0 时反比例函数的图象在第二、四象限， 因为-2〈0，D 正确． 故选 D 4．（2019·秀屿区期末）当 k＞0，x＜0 时，反比例函数 y= 的图象在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】 根据反比例函数的性质，k＞0 时，图象在第一三象限， 又因为 x＜0，所以图象在第三象限． 故选：C． 5．（2019·太原市期末）已知反比例函数 ,下列结论中不正确的是（ ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点(2，-4) D．若点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 都在图像上，且 1 2x x ,则 【详解】 A. 反比例函数 中， ， 此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确， 不合题意； B.反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意； C.∵ ， 图象必经过点(2，-4)，故本选项说法正确，不合题意； D. 反比例函数 中， ， 此函数的图象在每一象限内 随 的增大而增大， ∴当 1 2x x ,在同一象限时则 ，在不同象限时则 1 2y y＞ ， 故本选项错误，符合题意. 故选：D． 6．（2019·南宁市期中）若反比例函数 的图象在其所在的每一象限内， 随 的增大而 增大，则（ ） A． B． C． D． 【详解】 函数 的图象在其所在的每一象限内， 随 的增大而增大， 解得： 故选：A 7．（2018·河南中考模拟）若点 A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y= （k 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 大小关系为（ ） A．y1＞y2 ＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【详解】 ∵ ， ∴反比例函数 y= 的图象在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， ∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限， ∴y2＜y1＜0，y3＞0， ∴y3＞y1＞y2. 故选 D. 8．（2019·芜湖市期中）若反比例函数 y＝ （k 为常数）的图象在第一、三象限，则 k 的 取值范围是（ ） A．k＜﹣ B．k＜ C．k＞﹣ D．k＞ 【详解】 ∵反比例函数 y＝ （k 为常数）的图象在第一、三象限， ∴1﹣2k＞0， 解得 k＜ ． 故选：B． 知识点三 k 值的意义（难点） 1）设点 P（a，b）是双曲线上 任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是|k|（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ）． 2）由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则 有三角形 PQC 的面积为 2|k|． 考查题型四 计算反比例函数有关图形面积的方法 1．（2019·四平市期末）如图，A、B 是曲线 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段，若 ，则 S1+S2 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】 解：∵A、B 是曲线 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段， ∴S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3， 又∵S 阴影=1， ∴S1=S2=3-1=2， ∴S1+S2=4． 故选：B． 2．（2018·南京市期中）在反比例函数 的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ） A． B． C． D． 【详解】 解：A、图形面积为|k|=4； B、阴影是梯形，面积为 6； C、D 面积均为两个三角形面积之和，为 2×（ |k|）=4． 故选 B． 3)直线 y=k1x 与双曲线 的关系： 当 k1•k2<0 时，两图象没有交点；当 k1•k2>0 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点 成中心对称． 考察题型五 一次函数与反比例函数综合 1．（2018·射阳县期末）关于 x 的函数 y＝kx＋k 和 y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 【详解】 当 k＞0 时，函数 y=kx+k 的图象在第一、二、三象限，反比例函数 y= 的图象在第一、三象 限，故选项 A 错误，选项 D 正确， 当 k＜0 时，函数 y=kx+k 的图象在第二、三、四象限，反比例函数 y= 的图象在第二、四象 限，故选项 B 错误，选项 C 错误， 故选 D． 2．（2018·自贡市期中）反比例函数 y= 和一次函数 y=kx-k 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 【详解】 （1）当 k＞0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如 图所示： （2）当 k＜0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如 图所示： 故选 C． 3．（2018 邵阳市中考模拟）在同一直角坐标系中，函数 与 的 图象大致是（ ） A． B． C． D． 【详解】 A、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大 而增大，故不正确； B、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大 而减小，故不正确； C、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大 而增大，故正确； D、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大 而减小，故不正确. 故选：C. 4．（2018·湖北中考模拟）如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图 象与反比例函数 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程 的解集（请直接写出答案）． 【详解】 （1）∵B（2，﹣4）在 y= 上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ． ∵点 A（﹣4，n）在 y=﹣ 上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过 A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴ ， 解之得 ． ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2． （2）∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点， ∴当 y=0 时，x=﹣2． ∴点 C（﹣2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO= ×2×2+ ×2×4=6． （3）不等式 的解集为：﹣4＜x＜0 或 x＞2． 知识点四 用反比例函数解决实际问题 解题步骤： 1.根据题意找等量关系。 2.列出方程，并注明自变量的取值范围。 3.解方程 4.写方程 考察题型六 数形结合 1．（2019·南昌市期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）是电阻 R（Ω） 的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当 R=10Ω时，求电流 I（A）． 【详解】 解：（1）由电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，设 kI R  （k≠0）， 把（4，9）代入得：k=4×9=36， ∴ ． （2） 当 R=10Ω时， =3.6A． 考察题型七 建模思想 1.（2016·广东中考真题）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函数关 系是（ ） A．v=320t B．v= C．v=20t D．v= 【详解】 由题意 vt=80×4， 则 v= ． 故选 B． 2.（2019 宝安区中考模拟）如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【详解】 ∵等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y， ∴y 与 x 的函数关系式为： 故选 C． 3.（2019·连云港市期中）强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机 场，全程为 280km，设小汽车的行驶时间为 t（单位：h），行驶速度为 v（单位：km/h），且 全程速度限定为不超过 120km/h． （1）求 v 关于 t 的函数解析式； （2）强哥上午 8 点驾驶小汽车从如皋火车站出发． ①乘客需在当天 10 点 48 分至 11 点 30 分（含 10 点 48 分和 11 点 30 分）间到达南京绿口机 场，求小汽车行驶速度 v 的范围； ②强哥能否在当天 10 点前到达绿口机场？说明理由． 【详解】 解：（1）∵vt＝280，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时， ∴v 关于 t 的函数表达式为：v＝ ，（t≥ ）． （2）①8 点至 10 点 48 分时间长为 小时，8 点至 11 点 30 分时间长为 3.5 小时 将 t＝3.5 代入 v＝ 得 v＝80；将 t＝ 代入 v＝ 得 v＝100， ∴小汽车行驶速度 v 的范围为：80≤v≤100； ②强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场．理由如下： 8 点至 10 点前时间长为 2 小时，将 t＝2 代入 v＝ 得 v＝140＞120 千米/小时，超速了． 故强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场． 考察题型八 反比例函数与其他函数相结合解决实际问题 1.（2019·文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 2019 年 1 月开始限产并进行治污改造，其月利润 (万元)与月份 之间的变化如图所示，治 污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的 是（ ） A．4 月份的利润为 万元 B．污改造完成后每月利润比前一个月增加 万元 C．治污改造完成前后共有 个月的利润低于 万元 D．9 月份该厂利润达到 万元 【详解】 设反比例函数解析式为 根据题意，图像过点（1,200），则可得出 当 时， ，即 4 月份的利润为 万元，A 选项正确； 设一次函数解析式为 y kx b  根据题意，图像过点（4,50）和（6,110） 则有 解得 ∴一次函数解析式为 ，其斜率为 30，即污改造完成后每月利润比前一个月增 加 万元，B 选项正确； 治污改造完成前后，1-6 月份的利润分别为 200 万元、100 万元、 万元、50 万元、110 万 元，共有 3 个月的利润低于 万元，C 选项错误； 9 月份的利润为 万元，D 选项正确； 故答案为 C. 2.（2015·河北中考模拟）已知反比例函数 y= 的图象如图，则二次函数 y=2kx2-4x+k2 的图象 大致为（ ） A． B． C． D． 【详解】 ∵函数 y= 的图象经过二、四象限，∴k＜0， 由图知当 x=﹣1 时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1， ∴抛物线 y=2kx2﹣4x+k2 开口向下， 对称为 x=﹣ = ，﹣1＜ ＜0， ∴对称轴在﹣1 与 0 之间， 故选：D． 3.（2018·安丘市期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧 时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间 x（分钟）成正比 例，药物燃尽后，y 与 x 成反比例（如图所示）．已知药物点燃后 4 分钟燃尽，此时室内每 立方米空气中含药量为 8 毫克． （1）求药物燃烧时，y 与 x 之间函数的表达式； （2）求药物燃尽后，y 与 x 之间函数的表达式； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 2 毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌， 那么此次消毒有效时间有多长？ 【详解】 （1）药物燃烧时，设 y=kx， 将（4，8）代入，得：8=4k， 解得 k=2， 则 y=2x； （2）药物燃尽后，设 y= ， 将（4，8）代入，得：8= ， 解得：m=32， 则 y= ； （3）在 y=2x 中，当 y=2 时，2x=2，解得 x=1； 在 y= 中，当 y=2 时， =2，解得 x=16； 则此次消毒有效时间为 16﹣1=15 分钟． 考察题型九 反比例函数与几何知识相结合解决问题 1．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 4，2，反比例函数 y （x＞0）的图象经过 A，B 两点，若菱形 ABCD 的面积为 2 ，则 k 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】 过点 A 作 x 轴的垂线，交 CB 的延长线于点 E， ∵A，B 两点在反比例函数 y （x＞0）的图象，且纵坐标分别为 4，2， ∴A（ ，4），B（ ，2）， ∴AE＝2，BE k k k， ∵菱形 ABCD 的面积为 2 ， ∴BC×AE＝2 ，即 BC ， ∴AB＝BC ， 在 Rt△AEB 中，BE 1 ∴ k＝1， ∴k＝4． 故选：C． 2.（2018·江苏中考模拟）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4）， 顶点 C 在 x 轴的正半轴上，函数 y= （k＜0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ） A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣36 【详解】 解： ∵O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4），顶点 C 在 x 轴的正半轴上， ∴OA=5，AB∥OC， ∴点 B 的坐标为（8，﹣4）， ∵函数 y= （k＜0）的图象经过点 B， ∴﹣4= ，得 k=﹣32. 故选 B. 3．（2017·德州市期末）如图，已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中 点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为（ ，4），则△AOC 的面积为 A．12 B．9 C．6 D．4 【解析】 ∵点 ， 是 中点 ∴ 点坐标 ∵ 在双曲线 上，代入可得 ∴ ∵点 在直角边 上，而直线边 与 轴垂直 ∴点 的横坐标为-6 又∵点 在双曲线 ∴点 坐标为 ∴ 从而 ，故选 B