2020年杭州市中考数学试题及答案

2020年杭州市中考数学试题及答案

2020 年杭州市中考数学试题及答案 1． 2 × 3 ＝（ ） A． 5 B． 6 C． 2 3 D．3 2 2．（1+y）（1﹣y）＝（ ） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过 5 千克，收费 13 元；超过 5 千克 的部分每千克加收 2 元．圆圆在该快递公司寄一件 8 千克的物品，需要付费（ ） A．17 元 B．19 元 C．21 元 D．23 元 4．如图，在 ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，则 （ ） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 5．若 a＞b，则（ ） A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1 6．在平面直角坐标系中，已知函数 y＝ax+a（a≠0）的图象过点 P（1，2），则该函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉 一个最高分，平均分为 x；去掉一个最低分，平均分为 y；同时去掉一个最高分和一个 最低分，平均分为 z，则（ ） A．y＞z＞x B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．z＞y＞x 8．设函数 y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当 x＝1 时，y＝1；当 x＝8 时，y ＝8，（ ） A．若 h＝4，则 a＜0 B．若 h＝5，则 a＞0 C．若 h＝6，则 a＜0 D．若 h＝7，则 a＞0 9．如图，已知 BC 是⊙O 的直径，半径 OA⊥BC，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A，点 C 重合），BD 与 OA 交于点 E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 10．在平面直角坐标系中，已知函数 y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中 a， b，c 是正实数，且满足 b2＝ac．设函数 y1，y2，y3 的图象与 x 轴的交点个数分别为 M1， M2，M3，（ ） A．若 M1＝2，M2＝2，则 M3＝0 B．若 M1＝1，M2＝0，则 M3＝0 C．若 M1＝0，M2＝2，则 M3＝0 D．若 M1＝0，M2＝0，则 M3＝0 11．若分式 1 1x  的值等于 1，则 x＝_____． 12．如图，AB∥CD，EF 分别与 AB，CD 交于点 B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°， 则∠A＝_____． 13．设 M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若 M＝1，N＝2，则 P＝_____． 14．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，连接 AC，OC．若 sin∠BAC ＝ 1 3 ，则 tan∠BOC＝_____． 15．一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同），编号分别为 1，2，3， 5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的 球的编号之和为偶数的概率是_____． 16．如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对 角线 AC 上的点 F 处，连接 DF．若点 E，F，D 在同一条直线上，AE＝2，则 DF＝_____， BE＝_____． 17．以下是圆圆解方程 1 3 2 3  x x ＝1 的解答过程． 解：去分母，得 3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1． 去括号，得 3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 18．某工厂生产某种产品，3 月份的产量为 5000 件，4 月份的产量为 10000 件．用简单 随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘 制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界 值）．已知检测综合得分大于 70 分的产品为合格产品． （1）求 4 月份生产的该产品抽样检测的合格率； （2）在 3 月份和 4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？ 19．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设 1 2 AF FC  ， ①若 BC＝12，求线段 BE 的长； ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积． 20．设函数 y1＝ k x ，y2＝﹣ k x （k＞0）． （1）当 2≤x≤3 时，函数 y1 的最大值是 a，函数 y2 的最小值是 a﹣4，求 a 和 k 的值． （2）设 m≠0，且 m≠﹣1，当 x＝m 时，y1＝p；当 x＝m+1 时，y1＝q．圆圆说：“p 一定大于 q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？ 21．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，∠DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G，与 BC 的延长线交于点 F．设 CE EB ＝λ（λ＞0）． （1）若 AB＝2，λ＝1，求线段 CF 的长． （2）连接 EG，若 EG⊥AF， ①求证：点 G 为 CD 边的中点． ②求λ的值． 22．在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b 是实数，a≠0）． （1）若函数 y1 的对称轴为直线 x＝3，且函数 y1 的图象经过点（a，b），求函数 y1 的表 达式． （2）若函数 y1 的图象经过点（r，0），其中 r≠0，求证：函数 y2 的图象经过点（ 1 r ，0）． （3）设函数 y1 和函数 y2 的最小值分别为 m 和 n，若 m+n＝0，求 m，n 的值． 23．如图，已知 AC，BD 为⊙O 的两条直径，连接 AB，BC，OE⊥AB 于点 E，点 F 是 半径 OC 的中点，连接 EF． （1）设⊙O 的半径为 1，若∠BAC＝30°，求线段 EF 的长． （2）连接 BF，DF，设 OB 与 EF 交于点 P， ①求证：PE＝PF． ②若 DF＝EF，求∠BAC 的度数． 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 利用二次根式的乘法运算法则进行运算即可． 【详解】 解： 2 × 3 ＝ 6 ， 故答案为 B． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法运算法则，灵活应用运算法则是解答本题的关键． 2．C 【解析】 【分析】 直接利用平方差公式计算得出答案． 【详解】 （1+y）（1﹣y）＝1﹣y2． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键． 3．B 【解析】 【分析】 根据题意列出算式计算，即可得到结果． 【详解】 由题意得：13 (8 5) 2 13 6 19      （元） 即需要付费 19 元 故选：B． 【点睛】 本题考查了有理数运算的实际应用，依据题意，正确列出算式是解题关键． 4．B 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】 ∵ Rt ABC 中， 90C   ， A 、 BÐ 、 C 所对的边分别为 a、b、c ∴sin bB c  ，即 sinb c B ，则 A 选项不成立，B 选项成立 tan bB a  ，即 tanb a B ，则 C、D 选项均不成立 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 5．C 【解析】 【分析】 举出反例即可判断 A、B、D，根据不等式的传递性即可判断 C． 【详解】 解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是 a﹣1＜b，不符合题意； B、a＝3，b＝1，a＞b，但是 b+1＜a，不符合题意； C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意； D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是 a﹣1＜b+1，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键． 6．A 【解析】 【分析】 求得解析式即可判断． 【详解】 解：∵函数 y＝ax+a（a≠0）的图象过点 P（1，2）， ∴2＝a+a，解得 a＝1， ∴y＝x+1， ∴直线交 y 轴的正半轴，且过点（1，2）， 故选：A． 【点睛】 此题考查一次函数表达式及图像的相关知识． 7．A 【解析】 【分析】 根据题意，可以判断 x、y、z 的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】 由题意可得，去掉一个最低分，平均分为 y 最大，去掉一个最高分，平均分为 x 最小，其次 就是同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为 z 即 y＞z＞x， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了平均数的大小判断，分别确定各种情况的平均值是解答此题的关键． 8．C 【解析】 【分析】 当 x＝1 时，y＝1；当 x＝8 时，y＝8；代入函数式整理得 a（9﹣2h）＝1，将 h 的值分别代 入即可得出结果． 【详解】 解：当 x＝1 时，y＝1；当 x＝8 时，y＝8；代入函数式得： 2 2 1 (1 ) 8 (8 ) a h k a h k         ， ∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7， 整理得：a（9﹣2h）＝1， 若 h＝4，则 a＝1，故 A 错误； 若 h＝5，则 a＝﹣1，故 B 错误； 若 h＝6，则 a＝﹣ 1 3 ，故 C 正确； 若 h＝7，则 a＝﹣ 1 5 ，故 D 错误； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是把坐标代入求出 a,h 的关系，进而求解． 9．D 【解析】 【分析】 根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示 ∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】 解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决 本题的关键． 10．B 【解析】 【分析】 选项 B 正确，利用判别式的性质证明即可． 【详解】 解：选项 B 正确． 理由：∵M1＝1， ∴a2﹣4＝0， ∵a 是正实数， ∴a＝2， ∵b2＝ac， ∴c＝ 1 2 b2， ∵M2＝0， ∴b2﹣8＜0， ∴b2＜8， 对于 y3＝x2+cx+4， 则有△＝c2﹣16＝ 1 4 b2﹣16＝ 1 4 （b2﹣64）＜0， ∴M3＝0， ∴选项 B 正确， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图像与 x 轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二 次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键． 11．0 【解析】 【分析】 根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案． 【详解】 解：由分式 1 1x  的值等于 1，得 1 1x  ＝1， 解得 x＝0， 经检验 x＝0 是分式方程的解． 故答案为：0． 【点睛】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键． 12．20° 【解析】 【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠ABF＝50°是解答此题的关键． 13．﹣ 3 4 【解析】 【分析】 根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求 解． 【详解】 解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2， ∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4， ∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减得 4xy＝﹣3， 解得 xy＝﹣ 3 4 ， 则 P＝﹣ 3 4 ． 故答案为：﹣ 3 4 ． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 14． 2 2 【解析】 【分析】 根据切线的性质得到 AB⊥BC，设 BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到 AB＝ 2 2AC BC ＝ 2 2(3 )x x ＝2 2 x，于是得到结论． 【详解】 解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵sin∠BAC＝ BC AC ＝ 1 3 ， ∴设 BC＝x，AC＝3x， ∴AB＝ 2 2AC BC ＝ 2 2(3 )x x ＝2 2 x， ∴OB＝ 1 2 AB＝ 2 x， ∴tan∠BOC＝ 2 BC x OB x  ＝ 2 2 ， 故答案为： 2 2 ． 【点睛】 本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关 键． 15． 5 8 【解析】 【分析】 画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数， 然后根据概率公式求解． 【详解】 解：根据题意画图如下： 共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 10 种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是10 16 ＝ 5 8 ． 故答案为： 5 8 ． 【点睛】 此题考查列树状图求概率问题，难度一般． 16．2 5 ﹣1 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质得到 AD BC ， 90ADC B DAE      ，再根据折叠的性质得到 CF BC ， 90CFE B    ， EF BE ，然后根据全等三角形的性质得到 2DF AE  ；最后根据相似三角形的性质即可得 BE 的值． 【详解】 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD BC ， 90ADC B DAE       ∵把 BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处 ∴CF BC ， 90CFE B    ， EF BE ∴CF AD ， 90CFD   ∴ 90ADE CDF FCD CDF         ∴ ADE FCD   在 ADE 和 FCD 中， 90 ADE FCD AD FC DAE CFD           ∴ ( )ADE FCD ASA  ∴ 2DF AE  ∵ 90AFE CFD     ∴ 90AFE DAE     ∵ AEF DEA   ∴ AEF DEA  ∴ AE EF DE AE  ，即 AE EF DF EF AE  ∴ 2 2 2 EF EF  解得 5 1 EF 或 5 1 0EF     （不符题意，舍去） 则 5 1BE EF   故答案为：2， 5 1 ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与 性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 17．圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析 【解析】 【分析】 直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 【详解】 解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6． 去括号，得 3x+3﹣2x+6＝6． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法． 18．（1）98.4%；（2）估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）分别求得 3 月份生产的产品中，不合格的件数和 4 月份生产的产品中，不合格的件数 比较即可得到结论． 【详解】 解：（1）（132+160+200）÷（8+132+160+200）×100%＝98.4%， 答：4 月份生产的该产品抽样检测的合格率为 98.4%； （2）估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多， 理由：3 月份生产的产品中，不合格的件数为 5000×2%＝100， 4 月份生产的产品中，不合格的件数为 10000×（1﹣98.4%）＝160， ∵100＜160， ∴估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多． 【点睛】 此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知合格率的定义． 19．（1）见解析；（2）①BE＝4；②45 【解析】 【分析】 （1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论； （2）①由平行线的性质得出 BE EC ＝ AF FC ＝ 1 2 ，即可得出结果； ②先求出 FC AC ＝ 2 3 ，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得 出结果． 【详解】 （1）证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）解：①∵EF∥AB， ∴ BE EC ＝ AF FC ＝ 1 2 ， ∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE， ∴ 12 BE BE ＝ 1 2 ， 解得：BE＝4； ②∵ AF FC ＝ 1 2 ， ∴ FC AC ＝ 2 3 ， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴ EFC ABC S S   ＝（ FC AC ）2＝（ 2 3 ）2＝ 4 9 ， ∴S△ABC＝ 9 4 S△EFC＝ 9 4 ×20＝45． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质． 20．（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由反比例函数的性质可得 2 k a ，①；﹣ 2 k ＝a﹣4，②；可求 a 的值和 k 的值； （2）设 m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将 x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求 p 和 q，即可判断． 【详解】 解：（1）∵k＞0，2≤x≤3， ∴y1 随 x 的增大而减小，y2 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝2 时，y1 最大值为 2 k a ，①； 当 x＝2 时，y2 最小值为﹣ 2 k ＝a﹣4，②； 由①，②得：a＝2，k＝4； （2）圆圆的说法不正确， 理由如下：设 m＝m0，且﹣1＜m0＜0， 则 m0＜0，m0+1＞0， ∴当 x＝m0 时，p＝y1＝ 0 0k m  ， 当 x＝m0+1 时，q＝y1＝ 0 01 k m  ， ∴p＜0＜q， ∴圆圆的说法不正确． 【点睛】 此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解题关键． 21．（1） 5 ﹣1；（2）①见解析；②λ＝ 1 3 【解析】 【分析】 （1）根据 AB＝2，λ＝1，可以得到 BE、CE 的长，然后根据正方形的性质，可以得到 AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到 EF 的长，从而可以得到线段 CF 的长； （2）①要证明点 G 为 CD 边的中点，只要证明△ADG≌△FGC 即可，然后根据题目中的条 件，可以得到△ADG≌△FGC 的条件，从而可以证明结论成立； ②根据题意和三角形相似，可以得到 CE 和 EB 的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】 解：（1）∵在正方形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG 平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点 E 为 BC 的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝ 2 2AB BE ＝ 5 ， ∴EF＝ 5 ， ∴CF＝EF﹣EC＝ 5 ﹣1； （2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG 和△FCG 中 D GCF AGD FGC AG FG         ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 即点 G 为 CD 的中点； ②设 CD＝2a，则 CG＝a， 由①知，CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GDF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴ EC GC GC FC  ， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴ 1 2 GC FC  ， ∴ 1 2 EC GC  ， ∴EC＝ 1 2 a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣ 1 2 a＝ 3 2 a， ∴λ＝ 1 12 3 3 2   aCE EB a ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定 及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 22．（1）y1＝x2﹣6x+2 或 y1＝x2﹣6x+3；（2）见解析；（3）m＝n＝0． 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数 y1 的图象经过点（r，0），其中 r≠0，可得 r2+br+a＝0，推出 1+ 2 b a r r  ＝0，即 a （ 1 r ）2+b• 1 r +1＝0，推出 1 r 是方程 ax2+bx+1 的根，可得结论． （3）由题意 a＞0，可得 m＝ 24 4 a b ，n＝ 24 4 a b a  ，根据 m+n＝0，构建方程可得结论． 【详解】 解：（1）由题意，得到﹣ 2 b ＝3，解得 b＝﹣6， ∵函数 y1 的图象经过（a，﹣6）， ∴a2﹣6a+a＝﹣6， 解得 a＝2 或 3， ∴函数 y1＝x2﹣6x+2 或 y1＝x2﹣6x+3． （2）∵函数 y1 的图象经过点（r，0），其中 r≠0， ∴r2+br+a＝0， ∴1+ 2 b a r r  ＝0， 即 a（ 1 r ）2+b• 1 r +1＝0， ∴ 1 r 是方程 ax2+bx+1 的根， 即函数 y2 的图象经过点（ 1 r ，0）． （3）由题意 a＞0，∴m＝ 24 4 a b ，n＝ 24 4 a b a  ， ∵m+n＝0， ∴ 24 4 a b + 24 4 a b a  ＝0， ∴（4a﹣b2）（a+1）＝0， ∵a+1＞0， ∴4a﹣b2＝0， ∴m＝n＝0． 【点睛】 此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、待定系数法的运用 及一元二次方程的求解方法． 23．（1） 3 2 ；（2）①见解析；②∠BAC＝45° 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形求出 AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解 决问题． （2）①过点 F 作 FG⊥AB 于 G，交 OB 于 H，连接 EH．想办法证明四边形 OEHF 是平行 四边形可得结论． ②想办法证明 FD＝FB，推出 FO⊥BD，推出△AOB 是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝ 1 2 OA＝ 1 2 ，AE＝EB＝ 3 OE＝ 3 2 ， ∵AC 是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB 是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝ 1 2 AB＝ 3 2 ． （2）①证明：过点 F 作 FG⊥AB 于 G，交 OB 于 H，连接 EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴ FH BC ＝ OF OC ＝ 1 2 ， 同理 OE BC ＝ 1 2 ， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形 OEHF 是平行四边形， ∴PE＝PF． ②∵OE∥FG∥BC， ∴ EG GB ＝ OF FC ＝1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、直径的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性 质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并 且灵活运用有关的性质定理．