河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析

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文档介绍

河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析

- 1 - 2020 年河南省开封市高考数学三模试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1. 已知集合  1,0,1,2,3A   ,  1 0B x x   ,则集合  RA C B ( ) A.  1,0 B.  1,0,1 C.  2,3 D.  1,2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知求出 B 的补集,进而求交集. 【详解】解:由已知:  | 1RC B x x  ,所以集合    1,0,1RA C B   . 故选:B. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算,属于基础题. 2. 设复数 1 2 1 iz i   ,则 z 的虚部为( ) A. 1 2  B. ﹣1 C. 3 2 D. 1 2 i 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法法则求出 z ,再写出 z 的虚部. 【详解】解:因为复数       1 2 11 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 i ii iz i i i          i, 则 z 的虚部为 1 2  , 故选:A. 【点睛】本题主要考查复数的运算的复数的定义,属于基础题. 3. 已知 Sn 为等差数列 na 的前 n 项和,若 5 24S a ,则 7a =( ) A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 - 2 - 设等差数列 na 的公差为 d,由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到 1 6 0,a d  即 得 7a 的值.. 【详解】解:设等差数列 na 的公差为 d,由 5 24S a , 所以 1 1 15 10 4 4 , 6 0,a d a d a d      则 7 0a  . 故选:B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平. 4. 设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断,即可得到结论. 【详解】由 a>b, ①当 a>b≥0 时,不等式 a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立. ②当 0>a>b 时,不等式 a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即 a2<b2,此时成立. ③当 a≥0>b 时,不等式 a|a|>b|b|等价为 a•a>﹣b•b,即 a2>﹣b2,此时成立, 即充分性成立; 由 a|a|>b|b|, ①当 a>0,b>0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0, 因为 a+b>0,所以 a﹣b>0,即 a>b. ②当 a>0,b<0 时,a>b. ③当 a<0,b<0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0, 因为 a+b<0,所以 a﹣b>0,即 a>b.即必要性成立, 综上可得“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件, 故选:C. - 3 - 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定,以及不等式的基本性质的综合应用,意在考查推 理与运算能力,属于中档试题. 5. 随着 2022 年北京冬奥会临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运 动市场需求得到释放,将引领户外用品行业市场增长.下面是 2012 年至 2018 年中国雪场滑 雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,则下面结论中不正确的是( ) A. 2013年至 2018 年,中国雪场滑雪人次逐年增加 B. 2013年至 2015 年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加 C. 2018 年与 2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也 近似相等 D. 2018 年与 2016 年相比,中国雪场滑雪人次增长率约为30.5% 【答案】C 【解析】 【分析】 观察 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,结合统计图的 性质能求出结果. 【详解】由 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,得: 对于 A, 2013年至 2018 年,中国雪场滑雪人次逐年增加,故 A 正确; 对于 B, 2013年至 2015 年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加,故 B 正确; 对于 C, 2018 年与 2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等, 但是同比增长人数也不相等, 2018 年比 2013年增长人数多,故 C 错误; 对于 D, 2018 年与 2016 年相比,中国雪场滑雪人次增长率约为: 1970 1510 100% 30.5%1510    .故 D 正确. 故选:C. - 4 - 【点睛】本题考查统计图表的应用,考查学生的数据分析能力,属于基础题. 6. 执行如图的程序框图,若输入 x 的值为 1 8 ,则输出的 y=( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序模拟运行,当满足条件时,计算 x 的值,并再次进入循环体,当不满足条件时退出循 环,计算并输出 y 的值,即可求解. 【详解】解:开始: 输入 1 8x = , 进入循环,满足条件 0x  ,计算 x 2 11 48log   , 第二次进入循环,满足条件 0x  ,计算 x=1﹣log24=﹣1, 第三次进入循环,不满足条件 0x  , 退出循环,计算 1 12 2y   . 输出 1 2 , 故选:B. - 5 - 【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定,涉及循环结构,对数运算,属基础题,难 度较易. 7. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, 1AB 与平面 1 1ABC D 所成的角为( ) A. 30° B. 45 C. 60 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 1CB 交 1BC 于点 E,连接 AE,求角 1B AE 即可. 【详解】如图,连接 1CB 交 1BC 于点 E,连接 AE, 正方体中,证得: 1CB  平面 1 1ABC D , 所以 1AB 与平面 1 1ABC D 所成的角为 1B AE , 设正方体的边长为 a , 在 1B AE 中,求得: 1 2AB a , 1 2 2 aB E  , 1 1 1 1sin 2 B EB AE AB    ,所以 1 30B AE   , 故选 A 【点睛】本题主要考查了线面角知识,关键是作出对应的一个平面角,解三角形即可,属于 基础题. 8. “二进制”来源于我国古代的《易经》,该书中有两类最基本的符号:“─”和“﹣﹣”, 其中“─”在二进制中记作“1”,“﹣﹣”在二进制中记作“0”.如符号“☱”对应的二 进制数 011(2)化为十进制的计算如下:011(2)=0×22+1×21+1×20=3(10).若从两类符号中任 取 2 个符号进行排列,则得到的二进制数所对应的十进制数大于 2 的概率为( ) - 6 - A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 【答案】D 【解析】 【分析】 分类计算得到从两类符合中任取 2 个符号排列,则组成不同的十进制数为 0,1,2,3,即可 计算得到概率. 【详解】根据题意,不同符号可分为三类: 第一类:由两个“─”组成,其二进制为:11(2)=3(10); 第二类:由两个“﹣﹣“组成,其二进制为:00(2)=0(10); 第三类:由一个“─”和一个“﹣﹣”组成,其二进制为:10(2)=2(10),01(2)=1(10), 所以从两类符号中任取 2 个符号排列,则组成不同的十进制数为 0,1,2,3, 则得到的二进制数所对应的十进制数大于 2 的概率 P 1 4  . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及转化的应用,意在考查学生的计算 能力和应用能力,属于中档试题. 9. 已知函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则 c=( ) A. 2 或 2 3 B. 6 C. 2 D. 2 或 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则必有 f′(2)=0,且在 x=2 的左侧附近 f′(x)>0,右侧附近 f′(x)<0,据此即可求出 c 的值. 【详解】因为 f′(x)=(x﹣c)2+2x(x﹣c)=3x2﹣4cx+c2, 且函数 f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值, 所以 f′(2)=0,即 c2﹣8c+12=0,解得 c=6 或 2. 经检验 c=2 时,函数 f(x)在 x=2 处取得极小值,不符合题意,应舍去. 故 c=6, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题,其中解答中熟练应用导数研究函数 - 7 - 的极值的方法是解答的关键,意在考查推理与运算能力. 10. 已知 A 是△ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=a,其中 a∈(0,1),则关于 tanA 的值,以 下答案中,可能正确的是( ) A. ﹣2 B. 1 2  C. 1 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 把已知的等式两边平方,由同角三角函数间的基本关系化简后,得到 2sinAcosA=a2﹣1<0, 进而得到 cosA<0,得到 sinA>﹣cosA,再结合三角函数的基本关系式,求得 tanA 值的范围, 即可判断出符合题意的 tanA 值的可能值. 【详解】由 sinA+cosA=a,两边平方得:(sinA+cosA)2=a2, 即 sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA=a2, 又因为 a∈(0,1),所以 2sinAcosA=a2﹣1<0, 因为 0<A<π,得到sin 0A  ,所以 cosA<0, 又由 sinA+cosA=a>0,所以 sinA>﹣cosA>0, 则 tanA<﹣1.比较四个选项,只有 A 正确. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用,意在考查推理与运算能力,属于 中档试题. 11. 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 C1D1,B1C1 的中点,P 是上底面 A1B1C1D1 内一点,若 AP∥平面 BDEF,则线段 AP 长度的取值范围是( ) A. [ 5 2 , 2 ] B. [ 3 2 4 , 5 2 ] C. [ 3 2 8 , 6 2 ] D. [ 6 2 , 2 ] 【答案】B 【解析】 【分析】 分别取棱 A1B1、A1D1 的中点 M、N,连接 MN,可证平面 AMN∥平面 BDEF,得 P 点在线段 MN 上.由 此可判断当 P 在 MN 的中点时,AP 最小;当 P 与 M 或 N 重合时,AP 最大.然后求解直角三角 - 8 - 形得答案. 【详解】如图所示,分别取棱 A1B1、A1D1 的中点 M、N,连接 MN,连接 B1D1, ∵M、N、E、F 为所在棱的中点,∴MN∥B1D1,EF∥B1D1, ∴MN∥EF,又 MN⊄ 平面 BDEF,EF⊂平面 BDEF,∴MN∥平面 BDEF; 连接 NF,由 NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB, 可得 NF∥AB,NF=AB,则四边形 ANFB 为平行四边形, 则 AN∥FB,而 AN⊄ 平面 BDEF,FB⊂平面 BDEF,则 AN∥平面 BDEF. 又 AN∩NM=N,∴平面 AMN∥平面 BDEF. 又 P 是上底面 A1B1C1D1 内一点,且 AP∥平面 BDEF,∴P 点在线段 MN 上. 在Rt△AA1M 中,AM 2 2 1 1 1 51 4 2AA A M     , 同理,在 Rt△AA1N 中,求得 AN 5 2  ,则△AMN 为等腰三角形. 当 P 在 MN 的中点时,AP 最小为 2 22 3 21 ( )4 4   , 当 P 与 M 或 N 重合时,AP 最大为 2 21 51 ( )2 2   . ∴线段 AP 长度的取值范围是[ 3 2 4 , 5 2 ]. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题,其中解答中通过构造平行平面寻 找得到点 P 的位置是解答的关键,意在考查空间想象能力与运算能力,属于中档试题. - 9 - 12. 若函数  f x 对 a 、b R ,同时满足:(1)当 0a b  时有     0f a f b  ;(2) 当 0a b  时有     0f a f b  ,则称  f x 为  函数.下列函数中:①   sinx x xf  ; ②   x xf x e e  ;③   x xf x e e  ;④   0, 0 1 , 0 x f x xx    .是  函数的为( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得  y f x 满足是 R 上的奇函数,且为增函数,称为  函数,由函数的奇偶性和单 调性与导数之间的关系,分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性,可得所求结论. 【详解】由(1)当 0a b  时有     0f a f b  ,即为    f a f a   ,则  y f x 为 R 上的奇函数; 由(2)当 0a b  时有     0f a f b  ,即为 a b  ,      f a f b f b    , 可得  y f x 为 R 上的增函数, 则函数  y f x 为 R 上的奇函数,且为增函数. 由①   sinx x xf  ,定义域为 R ,        sin sin sinf x x x x x x x f x             ,即  y f x 为奇函数, 又   1 cos 0f x x    ,可得  y f x 为 R 上的增函数,故①是  函数; ②   x xf x e e  ,定义域为 R ,      x x x xf x e e e e f x         ,即  y f x 为 奇函数, 又   0x xf x e e  ,可得  y f x 为 R 上的增函数,故②是  函数; ③   x xf x e e  ,定义域为 R ,    x xf x e e f x    ,可得  y f x 为偶函数,故 ③不是  函数; - 10 - ④   0, 0 1 , 0 x f x xx    ,定义域为 R , 0x  时,    1 1f x f xx x       ,可得  y f x 为奇函数, 又  y f x 在  ,0 , 0,  上单调递增,但在 R 上不为增函数,比如    1 1f f  , 故④不是  函数. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的新定义,主要考查函数的奇偶性与单调性的判断,考查推理能力, 属于中等题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 x,y 满足约束条件 2, 1, 2 2 0, x y x y      „ „ … 则 z x y  的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】 作出可行域,作目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解. 【详解】作出可行域,如图 ABC 内部(含边界),作直线 0x y  ,向下平行直线l ,z x y  增大,当 l 过点 (2, 2)A  时, 2 ( 2) 4z     为最大值. 故答案为:4. - 11 - 【点睛】本题考查简单的线性规划,作出可行域是解题关键. 14. 设向量  1,2a  ,  1,0b  ,若  a ma b    ,则实数 m  _____. 【答案】 1 5 【解析】 【分析】 根据题意,先求出 ma b  的坐标,由向量垂直与向量数量积的关系可得   0a ma b    ,求 解即可. 【详解】解:根据题意,  1,2a  ,  1,0b  ,则  1,2ma b m m   . 若  a ma b    ,则   1 4 0a ma b m m       ,解得 1 5m  . 故答案为: 1 5 . 【点睛】本题考查向量垂直、向量数量积坐标运算,属于基础题. 15. 已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ,且对于任意 *,p q N ,有 p q p qa a a  ,若 a2=4, 则 1a  _____, 6S  _____. 【答案】 (1). 2 (2). 126 【解析】 【分析】 根据已知条件,对 p,q 的依次取特值,求出数列的前 6 项,即可得到结果. 【详解】解:正项数列 na 的前 n 项和为 nS ,且对于任意 *,p q N ,有 p q p qa a a  , ∵ 2a 4 , 当 1p q  时, 1 1 2 4a a a  ,所以 1 2a  , 当 1 2p q , 时, 1 2 3a a a ,所以 3 8a  , 当 2 2p q , 时, 2 2 4a a a ,所以 4 16a  , 当 3 2p q , 时, 3 2 5a a a ,所以 5 32a  , 当 3 3p q , 时, 3 3 6a a a ,所以 6 64a  , - 12 - 所以 6 2 4 8 16 32 64 126S        ; 故答案为:2;126. 【点睛】本题考查数列的递推关系,数列的求和,属基础题,难度较易. 16. 已知 1F 、 2F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左,右焦点,点 P 为C 上一点,O 为坐 标原点, 2POFV 为正三角形,则C 的离心率为__________. 【答案】 3 1 【解析】 【分析】 结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程,化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因为 2POFV 为正三角形,所以 1 2| | | | | |OF OP OF  , 所以 1 2F PF 是直角三角形. 因为 2 1 60PF F   , 2 1| | 2F F c ,所以 2| |PF c , 1| | 3PF c . 因为 2 1| | | | 2PF PF a  ,所以 3 2c c a  即 2 3 1 3 1 c a = = - + ,所以 3 1e   . 故答案为: 3 1 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,属于基础题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. - 13 - 17. 在△ABC 中,D 为边 AC 上的点,BD=3,且 3 BD•cos∠BDC=BC•sin∠C. (1)求∠BDC; (2)若△ABD 的面积为 3 3 4 ,求 AB. 【答案】(1) 3  ;(2)AB 13 . 【解析】 【分析】 (1)结合正弦定理即可求解; (2)先根据面积求得 AD,进而结合余弦定理即可求解. 【详解】(1)因为 3 BD•cos∠BDC=BC•sin∠C, 由正弦定理得 3 sin∠C•cos∠BDC=sin∠BDC•sin∠C. 因为 sin∠C≠0 可得 tan∠BDC 3 ⇒∠BDC 3  ; (2)∴△ABD 的面积为 3 3 4 , ∴ 1 2 BD×AD×sin(π﹣∠BDC) 3 3 4  ⇒ 3 2 AD•sin 2 3 3 3 4   ⇒AD=1; ∴AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos(π﹣∠BDC)=32+12﹣2 13 1 2         13; ∴AB 13 . 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,属综合基础题. 18. 如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△PAD 为等边三角形,E, F 分别为 PC 和 BD 的中点,且 EF⊥CD. (1)证明:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)求点 C 到平面 PDB 的距离. - 14 - 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 21 7 . 【解析】 【分析】 (1)根据中位线定理可证 PA⊥CD,结合 AD⊥CD 可得 CD⊥平面 PAD,于是平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)计算△PBD 的面积,根据 VP﹣BCD=VC﹣PBD 列方程计算点 C 到平面 PDB 的距离. 【详解】(1)因为 E,F 分别为 PC 和 BD 的中点,所以 EF∥PA, 又因为 EF⊥CD,所以 PA⊥CD, 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD⊥CD, 又 PA∩AD=A,PA⊂平面 PAD,AD⊂平面 PAD,所以 CD⊥平面 PAD, 又 CD⊂平面 ABCD,所以平面 PAD⊥平面 ABCD. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO, 因为△PAD 是等边三角形,AD=2,所以 PO⊥AD,且 PO 3 , 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD, 又四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,所以 S△BCD 1 2 22     2, 所以 VP﹣BCD 1 2 32 33 3     , 连接 OB,则 OB 2 2 5AO AB   ,故 PB 2 2PO OB   2 2 , 又 BD 2 2AB AD   2 2 ,PD=2, 所以 S△PBD 2 21 2 (2 2) 1 72      , 设 C 到平面 PBD 的距离为 h,则 VC﹣PBD 1 773 3 hh    , 整理得 7 2 3 3 3 h  ,解得 h 2 21 7  , 即点 C 到平面 PBD 的距离为 2 21 7 . - 15 - 【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明,以及点到平面的距离的求解,其中 解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用“等体积法”求解点到平面 的距离是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 19. 已知抛物线 C:x2=2py(p>0),F 为抛物线 C 的焦点.以 F 为圆心,p 为半径作圆,与 抛物线 C 在第一象限交点的横坐标为 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 y=kx+1 与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作抛物线 C 的切线 l1,l2,设切 线 l1,l2 的交点为 P,求证:△PAB 为直角三角形. 【答案】(1) 2 4x y ;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)由题意可得 M 点的坐标为 (2, )2 p ,代入抛物线方程,即可求出 p 的值; (2)设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 x xA x B x ,利用导数的几何意义得到 A,B 两点处的切线斜率分别为 1 1 1 2k x , 2 2 1 2k x ,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理得到 k1k2=﹣1,从而得到△PAB 为直角三角形. 【详解】(1)记抛物线 C 与圆 F 在第一象限的交点为 M, 由圆 F 与抛物线 C 的准线相切,且 M 到抛物线 C 准线的距离等于圆 F 的半径 p , 所以 M 点的坐标为 (2, )2 p ,代入抛物线方程得: 2 4( 0)p p  , 所以 2p  ,所以抛物线的方程为 2 4x y . (2)设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 x xA x B x , 由 2 4x y ,可得 y 21 4 x ,则 1 2y x  , - 16 - 所以 A,B 两点处的切线斜率分别为 1 1 1 2k x , 2 2 1 2k x , 由 2 1 4 y kx x y     ,得 2 4 4 0x kx   ,所以 1 2 1 24 , 4x x k x x    , 所以 1 2 1 2 1 14k k x x   , 所以 PA PB ,即 PAB 为直角三角形. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解 答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解, 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、 运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销 售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 ix 和年销售量 iy ( 1,2 8 i )数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w   8 2 1 i i x x     8 2 1 i i w w      8 1 i i i x x y y       8 1 i i i w w y y    46.6 563 6.8 289.8 1.6 1.469 108.8 表中  iiw x , 8 1 1 8  i iw w (1)根据散点图判断, y a bx  与 y c d x  哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? 给出判断即可,不必说明理由 - 17 - (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 0.2z y x  根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 49x  时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据     1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v ,其回归线 v u   的斜率和截距的最小二 乘估计分别为:      1 2 1 ˆ        n i i i n i i u u v v u u , ˆˆ v u   . 【答案】(1)y c d x  适宜;(2) ˆ 100.6 68y x  ;(3)①576.6,,6.32;② 46.24x  【解析】 【分析】 (1)由图中散点的大致形状,可以判断 y c d x  适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型; (2)令 w x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,进而可得到 y 关于 x 的回归方程. (3)①由(2),可求出 49x  时,年销售量 y 的预报值,再结合年利润 0.2z y x  ,计算 即可; ②根据(2)的结果,可求得年利润 z 的预报值 ˆ 13.6 20.12z x x    ,求出最值即可. 【详解】(1)由图中散点的大致形状,可以判断 y c d x  适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型. (2)令 w x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程, 由于      8 1 8 2 1 108.8ˆ 681.6 i i i i i w w y y d w w           , ˆˆ 563 68 6.8 100.6c y dw      , 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ˆ 100.6 68y w  , 因此 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68y x  . (3)①由(2)知,当 49x  时,年销售量 y 的预报值 ˆ 100.6 68 49 576.6  y , - 18 - 年利润 z 的预报值 ˆ 576.6 0.2 49 66.32z     . ②根据(2)的结果可知,年利润 z 的预报值 ˆ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x       , 当 13.6 6.82x   时,即当 46.24x  时, ˆz 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 【点睛】本题考查回归方程及其应用,考查利用二次函数求最值,考查学生的计算求解能力, 属于中档题. 21. 已知函数    ln af x x a Rx    的图象在点 1 1, fe e         处的切线斜率为 e ,其中 e 为 自然对数的底数. (1)求实数 a 的值,并求  f x 的单调区间; (2)证明:   x xxf x e  . 【答案】(1) 2a e  ,函数的单调递减区间 20, e      ,函数单调递增区间 2 e      , ;(2)证明 见解析. 【解析】 【分析】 (1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求 a ,结合导数与单调性关系即可求解. (2)要证明原不等式成立,可转化为证明求解相应函数的范围,进行合理的变形后构造函数, 结合导数可证. 【详解】解:(1)函数  f x 的定义域为( )0,+¥ .   2 1' af x x x   ,由题意可得, 21'f e aee         e,故 a 2 e  ,   2 2 1 2 2' exf x x ex ex    . 当 20,x e     时, ( ) 0f x¢ < ,函数  f x 单调递减,当 2 ,x e      时, ( ) 0f x¢ > ,函数  f x 单调递增,故函数  f x 的单调递减区间为 20, e      ,单调递增区间为 2 ,e     . - 19 - (2)证明:设     2lnh x xf x x x e    ,则    ln 1 0h x x x   . 当 x 10 e     , 时,   0h x  ,函数  h x 单调递减,当 x 1 e       , 时,   0h x  ,函数  h x 单调递增,故  min 1 1h x h e e      . 设   x xt x e  ,则   1' x xt x e  ,当  0,1x 时,   0t x  ,函数  t x 单调递增,当  1, x 时,   0t x  ,函数  t x 单调递减,故    max 11t x t e   . 综上可得, 0x  时,恒有    h x t x ,即   x xxf x e  . 【点睛】本题考查函数的单调区间、不等式恒成立的证明问题,属于中档题. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多选,则按所做的第 一题计分.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 1 x cos y sin       (φ为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2 3 cos  ,曲线 C1 和 C2 在第一象限交于点 A. (1)求点 A 的直角坐标; (2)直线 ( (0, ), )3       R 与曲线 C1,C2 在第一象限分别交于点 B,C,若△ABC 的面 积为 3 ,求α的值. 【答案】(1)( 3 3 2 2 , );(2) 12   . 【解析】 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用三角形面积公式和三角函数关系式,求出结果. 【详解】(1)曲线 C1 的参数方程为 1 x cos y sin       ( 为参数), - 20 - 转换为直角坐标方程为 22 ( 1) 1yx    .根据 2 2 2 x cos y sin x y            22 ( 1) 1yx    转换为极坐标方程为 2sin  . 联立曲线 C1 和 C2 得到: 2 3 2sin cos       ,解得 3 3      , 即 ( 3 )3 ,A 转换为直角坐标为( 3 3 2 2 , ). (2)连接 OA,由(1)得: ( 3 )3 ,A , 可得:|OA| 3 , 3AOx   , 将直线  与曲线 C1 和 C2 联立可得: (2sin ), B , (2 3 ), C cos . 2sin OB , 2 3OC cos ,    COx BOx ,所以 3AOB AOC       . 则:S△ABC=S△AOC﹣S△AOB 1 1 2 2OA OC sin AOC OA OB sin AOB       , 1 13 2 3 3 22 3 2 3sin sin sin sin                       ,  3 33sin cos sin         , 22 3 33sin        , 整理得 2 1 3 2sin       , 所以 12   . 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、 三角函数关系式,考查了数学运算能力,逻辑推理能力,转化数学思维,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] - 21 - 23. 关于 x 的不等式  *| 2 |x m m N   的解集为 A,且 3 2 ∈A, 1 2 ∉ A. (1)求 m 的值; (2)设 a,b,c 为正实数,且 3a b c m   ,求  a b c 的最大值. 【答案】(1) 1m  ;(2)3. 【解析】 【分析】 (1)根据集合的特点可得 3 2 ∈A, 1 2 ∉ A,从而得到关于 m 的不等式,即可得答案; (2)利用基本不等式,即可得答案; 【详解】(1)∵ 3 2 ∈A, 1 2 ∉ A, 3 12 , 22 2m m     ,∴ 1 3 2 2m  *, 1m N m   . (2)a,b,c 为正实数,且 3a b c   , ∴ 1 1 1a b c a b c        1 1 1 ( ) 3 3 3 32 2 2 2 2 a b c a b c            . 当且仅当 1a b c   时取等号. ∴  a b c 的最大值为 3. 【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值,以及利用基本不等式求最值,属综合基础 题. - 22 -
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