河南省开封市2020届高三二模考试数学（文）试题 Word版含解析

河南省开封市2020届高三二模考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，，由此能求出．‎ ‎【详解】解：集合，‎ 或，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2. 已知复数（为复数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】解：复数，则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3. 2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 月工资增长率最高的为8月份 B. 该销售人员一年有6个月的工资超过4000元 C. 由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月平均工资将会超过5000元 D. 该销售人员这一年中的最低月工资为1900元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项错误，有7个月工资超过4000元，所以选项错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项错误．‎ ‎【详解】解：对于选项：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项错误；‎ 对于选项 - 24 -‎ ‎：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项错误；‎ 对于选项：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；‎ 对于选项：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．‎ ‎4. 已知，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．‎ ‎【详解】解：因为，是全称命题，‎ 故为：，；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．‎ ‎5. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A. 3 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，向量，，若则有，解可得；‎ - 24 -‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，注意向量坐标的定义，属于基础题．‎ ‎6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.‎ ‎7. 某种商品广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为（ ）‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ m ‎50‎ ‎70‎ A. 45 B. 50 C. 55 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由表中数据，计算. 平均值为=1 5 ×（2+4+5+6+8）=5，‎ - 24 -‎ ‎=1 5×（30+40+50+m+70）=38+，‎ ‎∵回归直线方程y =6.5x+17.5过样本中心，‎ ‎∴38+m 5 =6.5×5+17.5，‎ 解得m=60．‎ 故选D．‎ ‎8. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体中的最长棱长是（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．‎ ‎【详解】解：根据几何体的三视图，可得，该几何体为底面是等腰三角形，且右侧侧面垂直于底面的三棱锥，‎ 如图所示：且三棱锥的高为，底面三角形边长，高；‎ 该三棱锥的最长棱是．‎ 故选：．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，属于基础题．‎ ‎9. 记不等式组，表示平面区域为，不等式表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点在区域外的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出满足条件的平面区域，分别求出区域的面积和圆外的部分面积，从而求出满足条件的概率的值．‎ ‎【详解】解：画出区域和圆，如图示：；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 区域面积是：，圆的部分面积是：，‎ 点落在圆外的概率是：，‎ 故选：．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了概率问题，属于中档题．‎ ‎10. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象平移得出函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性求出的值，从而求得．‎ ‎【详解】解：函数的图象向左平移个单位，‎ 得的图象，‎ 所以函数；‎ 又函数是偶函数，‎ 所以，；‎ 所以，；‎ - 24 -‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎11. 现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析可得，，，则或为数字，即可分析可得；‎ ‎【详解】解：由图可知，灰色卡片代表的数字为1，灰色卡片代表的数字为2，‎ 则为1，显然、必须大于，则或为数字；‎ 若为数字，则存在，，，，，，，满足条件，‎ 若为数字，则，均小于，显然不符合题意；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题.‎ ‎12. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得为上的增函数，结合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；分析可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数，‎ 函数，其导数，在上为增函数，‎ 函数，在上为增函数，‎ 则函数在上为增函数；‎ 又由，即在上有解，即存在使得，有解，‎ 进而可得存在使得，有解，‎ 在同一坐标系里画出函数与函数的图象；‎ 对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；‎ 要满足存在使得，有解，则直线的斜率；‎ 故实数的取值范围为；‎ 故选：A．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及数形结合的解题思想方法，曲线导数的几何意义，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知函数．则函数在处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ ‎，‎ 故切线方程为：，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．‎ ‎14. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则____________；‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 求出抛物线和椭圆的焦点，列方程求解即可 ‎【详解】解：抛物线的焦点是，‎ 椭圆的一个右焦点是，‎ 所以，解得：，‎ 故答案为12.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和椭圆的焦点坐标，是基础题.‎ ‎15. 在中，点是边上的点．且，，，则___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中由余弦定理可求，然后结合同角平方关系可求，在中由正弦定理可求，即可得解的值．‎ ‎【详解】解：由题意可设，，‎ 中由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 中，由正弦定理可得，，所以，‎ ‎，则，‎ - 24 -‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式，属于中档题．‎ ‎16. 已知A，B，C，D是球O的球面上四个不同的点，若，且平面平面ABC，则球O的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，取中点，连接，，分别取与的外心，，分别过，作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 取中点，连接，，则，，‎ 分别取与的外心，，分别过，作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，‎ 由，‎ 所以正方形的边长为，则，‎ 四面体的外接球的半径，‎ - 24 -‎ 球的表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）由数列的恒等式，结合等差数列的求和公式，可得，，再由数列的裂项相消法求和和不等式的性质即可得证．‎ ‎【详解】解：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列知，，‎ 所以 化简得，‎ 由，知．①‎ 又，，②‎ 由①②可得，，‎ 所以数列的通项公式为．‎ - 24 -‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ 上式对也成立，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查数列恒等式的运用和数列的裂项相消法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点在线段的中点，点为线段的中点．‎ ‎（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）存在线段的中点满足题意，理由见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点为线段的中点，点为线段的中点，可得，得到平面 - 24 -‎ ‎，取的中点，得，同理平面，再由面面平行的判定可得平面平面，进一步得到平面；‎ ‎（2）由已知求解三角形证明平面，得到，求出三角形的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥的体积．‎ ‎【详解】（1）存在线段的中点满足题意 证明如下：‎ 因为点为线段的中点，为的中点，所以，‎ 又平面，平面，所以平面．‎ 取中点，连接，，则，‎ 同理平面．‎ 又，所以平面平面．‎ 又平面，所以平面．‎ ‎（2）由，为正三角形，及棱柱知为正三角形，，，，．‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 又，所以平面．‎ 因为，所以平面．‎ 又，所以，‎ 因为，所以平面．‎ 又平面，所以，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．‎ ‎19. 2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》，郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代．为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解，积极参与到垃圾分类的行动中，某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训．为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度，社区居委会随机选取了40名辖区成员，将他们分成两组，每组20人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据辖区成员的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高，并说明理由．‎ ‎（2）求这40名辖区成员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级．‎ ‎（ⅰ）利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意；‎ ‎（ⅱ）根据茎叶图填写下面的列联表．‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 线下培训 总计 - 24 -‎ 并根据列联表判断能否有99．5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异？‎ 附：‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎，其中．‎ ‎【答案】（1）辖区成员对线下培训的满意度更高；（2）（ⅰ）80，（ⅱ）列联表见解析，没有99．5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由茎叶图分析线上培训与线下培训的数据得结论；‎ ‎（2）由茎叶图结合中位数公式求．‎ 求出线上培训非常满意的频率，乘以200得对线上培训非常满意的学员人数；‎ 结合茎叶图填写列联表，再求出的观测值，结合临界值表得结论．‎ ‎【详解】解：（1）山茎叶图可知，线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，线下培训的满意度评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，故可以认为线下培训满意度评分比线上培训满意度评分更高，因此辖区成员对线下培训的满意度更高．‎ ‎（2）由茎叶图知．‎ ‎（ⅰ）参加线上培训满意度调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意，频率为，又本次培训共200名学员参加，所以对线上培训非常满意的成员约有（人）．‎ ‎（ⅱ）列联表如下：‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ - 24 -‎ 线下培训 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 于是的观测值，‎ 由于，‎ 所以没有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎20. 已知椭圆，点、、均在椭圆上，，点与点关于原点对称，的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求外接圆的半径的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由对称性求出的坐标，即可表示出，，根据向量的数量积的坐标表示求出，从而求得，，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）由对称性，不妨设点在直线的右上方，因为，所以．‎ 即可求出的方程，从而求出的坐标，即可得到，设圆心为，则，再由勾股定理计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）设，则，，‎ 又，由对称性知，所以．①‎ - 24 -‎ ‎，，‎ 所以．‎ 注意到，所以时上式取最大值，即．②‎ 代入①得，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由对称性，不妨设点在直线的右上方，因为，所以．‎ 因为，所以，即直线 将代入椭圆方程，得，解得或（舍去），所以，所以，．‎ 设圆心为，则 由勾股定理：，即．‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后可得，令，利用导数可知函数 - 24 -‎ 恒成立，由此可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而得到最小值；‎ ‎（2）分及讨论，当时，无极值；当时，利用导数可知满足题意，进而得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）由已知得当时，‎ ‎．‎ 令，则．‎ 当时，；当时，．‎ 易知函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 则当时，；当时，，‎ 因此在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ ‎（2）‎ 令．‎ ‎①当时，．‎ 又因为，，所以，‎ 此时在单调递増，所以函数无极值． ‎ ‎②当时，，在上单调递增．‎ 又，，所以在上存在唯一零点，设为，‎ 所以当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增，‎ 所以当时，函数在上存在极值点．‎ - 24 -‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分.谓考生在第22、23题中任选一题作簀.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；‎ ‎（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．‎ ‎【答案】（1），；（2）（除去原点）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．‎ ‎【详解】解：（1）由曲线的参数方程得：，‎ 所以曲线直角坐标方程为．‎ 又由，，‎ 将极坐标与直角坐标的转化公式，代入上式，得 - 24 -‎ 直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）在极坐标系内，设，，，则 ‎，，‎ 由得，，即，‎ 所以，‎ 从而得，且，‎ 转化为直角坐标方程为，‎ 所以点的轨迹方程为（除去原点）．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）已知，，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）6；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．‎ ‎（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．‎ ‎【详解】解：（1）因为 - 24 -‎ 所以 函数图象如下所示：‎ 所以．‎ ‎（2），‎ 令，，由条件知，，，‎ 所以，‎ 等号成立条件为，即，．‎ 所以的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ - 24 -‎ - 24 -‎