华师版数学八年级上册同步课件-第13章-13逆命题与逆定理

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华师版数学八年级上册同步课件-第13章-13逆命题与逆定理

第13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2 线段的垂直平分线 高 速 公 路 A B 在某高速公路l的同侧,有两个工厂A、B, 为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公 路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人 都没意见,问医院的院址应选在何处?你的 方案是什么? 生活中的数学 l 线段垂直平分线的性质定理 如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上 任一点,连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折,你发现 了什么?如何表达,并简述你的证明过程. M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合,PA=PB. 线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 1 下面我们来证明刚才得到的结论: 证明: ∵MN ⊥AB(已知), ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). ∵ AC=BC, ∠ACP=∠BCP, PC=PC, M N P A C B 你能用一句话来描述刚得到的结论吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理: M N P A C B ▼几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上(或 PC⊥AB,AC=BC), ∴PA=PB. 这一定理描述了线段垂直平分线的性质,那么反过来 会有什么结果呢? 写出性质定理及其逆命题的条件和结论,你有什么发现? t条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的 垂直平分线上 这个点到线段两 端的距离相等 一个点到线段两 端的距离相等 这个点在线段的 垂直平分线上 想想看,这个逆命题是不是一个真命题?你能证明吗? 线段垂直平分线的判定定理2 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等,那么 这个点在线段的垂直平分线上. 已知: 如图,QA=QB. 求证: 点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析:为了证明点Q在线段AB的垂直平 分线上,可以先经过点Q作线段AB的垂线, 然后证明该垂线平分线段AB; 也可以先平分线段AB,设线段AB的中 点为点C,然后证明QC垂直于线段AB. 证明:过点Q作MN⊥AB,垂足为点C, 故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中, ∵QA=QB,QC=QC, ∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.). ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 已知: 如图,QA=QB. 求证: 点Q在线段AB的垂直平分线上. 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法,写出它的证 明过程吗? 线段垂直平分线的判定 ▼应用格式: ∵ PA =PB, ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上. P A B ▼作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,做完之后, 你发现了什么? 发现:三角形三边的垂直平分线 交于一点.这一点到三角形三个 顶点的距离相等. 怎样证明这个结论呢? 点拨:要证明三条直线相交于一点, 只要证明其中两条直线的交点在第三 条直线上即可.思路可表示如下: 试试看,你会写出证明过程吗? B C A P l n ml是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线   PA=PB PB=PC  PA=PC 点P在AC的 垂直平分线 上 证明:连结PA、PB、PC. ∵点P在AB,AC的垂直平分线上, ∴PA=PB,PA=PC (线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等). ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端 距离相等的点在线段的垂直平分线上). B C A P l n m 1.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是(   ) A.AB垂直平分CD B .CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ ACB A B C D 2.已知线段AB,在平面上找到三个点D、E、F,使DA=DB, EA=EB,FA=FB,这样的点在组合共有    种. A 无数 3.下列说法: ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点,则EA=EB, PA=PB; ②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB; ③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点; ④若EA=EB,则经过点E的直线垂直平分线段AB. 其中正确的有 (填序号).① ② ③ 4.在锐角三角形ABC内一点P,,满足PA=PB=PC,则点P是 △ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 5.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,连结 BE,AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 线段的垂 直平分的 性质和判 定 性 质 到线段两端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上 内 容 判 定 内 容 作 用 线段垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 作 用 见垂直平分线,得线段相等 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上
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