高二数学人教选修1-2同步练习：第3章数系的扩充与复数的引入章末检测word版含解析

高二数学人教选修1-2同步练习：第3章数系的扩充与复数的引入章末检测word版含解析

章末检测 一、选择题 1．i 是虚数单位，若集合 S＝{－1,0,1}，则 ( ) A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.2 i ∈S 2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i 等于 ( ) A．1＋2i B．2＋4i C．－1－2i D．2－i 4．已知 a 是实数，a－i 1＋i 是纯虚数，则 a 等于 ( ) A．1 B．－1 C. 2 D．－ 2 5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数 x＋yi 等于 ( ) A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i 6．在复平面内，O 是原点，OA→ ，OC→ ，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC→对应 的复数为 ( ) A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i 7．(1＋i)20－(1－i)20 的值是 ( ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．1 024i 8．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i ＝a＋bi(a，b∈R)，则 ab 的值是 ( ) A．－15 B．3 C．－3 D．15 9．若 z1＝(x－2)＋yi 与 z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则 z1 对应的点在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知 f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．无数个 二、填空题 11．复平面内，若 z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围 是________． 12．给出下面四个命题： ①0 比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i 的充要条 件为 x＝y＝1；④如果让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命 题的个数是________． 13．已知 01＋i； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若 z＝1 i ，则 z3＋1 对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题 15．设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当 m 为何值时： (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？ 16．已知复数 z1＝1－i，z1·z2＋ z 1＝2＋2i，求复数 z2. 17．计算：(1) 2＋2i4 1－ 3i5 ； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 18．实数 m 为何值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i 对应的点在： (1)x 轴上方； (2)直线 x＋y＋5＝0 上． 19．已知复数 z 满足|z|＝ 2，z2 的虚部是 2. (1)求复数 z； (2)设 z，z2，z－z2 在复平面上的对应点分别为 A，B，C，求△ABC 的面积． 20．设 z1 是虚数，z2＝z1＋1 z1 是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z1 1＋z1 ，求证：ω为纯虚数． 答案 1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B [f(n)有三个值 0,2i，－2i.] 11．(3,4) 12．0 13．(1， 5) 14．⑤ 15．解 (1)要使复数 z 为实数，需满足 m2－2m－2>0 m2＋3m＋2＝0 ，解得 m＝－2 或－1.即当 m＝－2 或－1 时，z 是实数． (2)要使复数 z 为纯虚数，需满足 m2－2m－2＝1 m2＋3m＋2≠0 ，解得 m＝3. 即当 m＝3 时，z 是纯虚数． 16．解 因为 z1＝1－i，所以 z 1＝1＋i， 所以 z1·z2＝2＋2i－ z 1＝2＋2i－(1＋i) ＝1＋i. 设 z2＝a＋bi(a，b∈R)， 由 z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i， 所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i， 所以 a＋b＝1 b－a＝1 ， 解得 a＝0，b＝1，所以 z2＝i. 17．解 (1)原式＝ 161＋i4 1－ 3i41－ 3i ＝ 162i2 －2－2 3i21－ 3i ＝ －64 41＋ 3i21－ 3i ＝ －16 1＋ 3i×4 ＝ －4 1＋ 3i ＝－1＋ 3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 18．解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方， 则 m2－2m－15>0， 解得 m<－3 或 m>5. (2)复数 z 对应的点为(m2＋5m＋6，m2－2m－15)， ∵z 对应的点在直线 x＋y＋5＝0 上， ∴(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0， 整理得 2m2＋3m－4＝0，解得 m＝－3± 41 4 . 19．解 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z2＝a2－b2＋2abi，由题意得 a2＋b2＝2 且 2ab＝2，解 得 a＝b＝1 或 a＝b＝－1， 所以 z＝1＋i 或 z＝－1－i. (2)当 z＝1＋i 时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以 A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， 所以 S△ABC＝1. 当 z＝－1－i 时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以 A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以 S△ABC＝1. 20．(1)解 设 z1＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)，则 z2＝z1＋1 z1 ＝a＋bi＋ 1 a＋bi ＝(a＋ a a2＋b2)＋(b － b a2＋b2)i. 因为 z2 是实数，b≠0，于是有 a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得 z2＝2a. 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－1 2 ≤a≤1 2 ，即 z1 的实部的取值范围是[－1 2 ，1 2]． (2)证明 ω＝1－z1 1＋z1 ＝1－a－bi 1＋a＋bi ＝1－a2－b2－2bi 1＋a2＋b2 ＝－ b a＋1 i. 因为 a∈[－1 2 ，1 2]，b≠0， 所以ω为纯虚数．