甘肃省2021年中考数学模拟试题含答案(4)

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甘肃省2021年中考数学模拟试题含答案(4)

2021 年甘肃省初中毕业与升学考试数学 模拟卷(四) (考试时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.-2 的倒数是 ( D ) A.2 B.1 2 C.-2 D.-1 2 2.如图所示几何体的左视图是 ( B ) A B C D 3.科学家在实验室检测出新型冠状病毒的直径为 0.000 000 125 m, 用科学记数法表示为 ( B ) A.1.25×10-6 m B.1.25×10-7 m C.125×10-8 m D.125×10-9 m 4.如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2= 25°,则∠1 的度数为 ( C ) A.45° B.55° C.65° D.75° 第 4 题图 5.下列计算正确的是 ( D ) A.a2+a3=a5 B.a6÷a3=a2 C.5x-3x=2 D.(-2a2b)3=-8a6b3 6.方程 x(x+3)=x 的解是 ( D ) A.x1=x2=-3 B.x1=1,x2=3 C.x1=0,x2=-3 D.x1=0,x2=-2 7.已知,点 A(m-1,3)与点 B(2,n-1)关于 x 轴对称,则(m+n)2 020 的值为 ( B ) A.0 B.1 C.-1 D.32 020 8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100 匹马恰好拉了 100 片瓦,已知 3 匹小马能拉 1 片瓦,1 匹大马能拉 3 片瓦,求小马,大马各有多少匹.若设小马有 x 匹,大马有 y 匹,则 下列方程组中正确的是 ( C ) A. x+y=100 y=3x B. x+y=100 x=3y C. x+y=100 1 3x+3y=100 D. x+y=100 1 3y+3x=100 9.如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,F 为 AB 延长线上一点, 点 E 在 BC 上,且 AE=CF,若∠BAE=25°,则∠ACF= ( A ) A.70° B.75° C.60° D.65° 第 9 题图 10.如图,A,B,C 三点在⊙O 上,D 是 CB 延长线上的一点,∠ABD =40°,那么∠AOC 的度数为 ( A ) A.80° B.70° C.50° D.40° 第 10 题图 11.如果反比例函数 y=1-2m x 的图象在每个象限内,y 随着 x 的增 大而增大,则 m 的最小整数值为 ( C ) A.-1 B.0 C.1 D.2 12.★如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠D=90°,AD=8,BC=6, 分别以 A,C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧交于点 E,作 射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O,若点 O 是 AC 的中点,则 CD 的长 为 ( A ) A.4 2 B.2 10 C.6 D.8 第 12 题图 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.分解因式:-2a2+8ab-8b2=-2(a-2b)2. 14.若二次函数 y=mx2+(m-2)x+m 的顶点在 x 轴上, 则 m=-2 或2 3 . 15.如果两个相似三角形的面积之比为 4∶9,那么周长之比为 2∶3. 16.(2020·毕节)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是边 AB 的中点,点 P 是对角线 BD 上的动点,则 AP+PE 的最小值是 2 5 . 三、解答题(本大题共 12 小题,共 72 分,解答时应写出必要文字说 明,证明过程或者演算步骤) 17.(4 分)计算: 3 12-2 1 3 ÷2 3 . 解:原式= 6 3-2 3 3 ÷2 3 =16 3 3 × 1 2 3 =8 3 . 18.(4 分)解不等式组 x-3 2(2x-1)≤4, 2(x+2)>3x, 并求出不等式组的整数 解; 解: x-3 2(2x-1)≤4 ① 2(x+2)>3x ② , 由不等式①,得 x≥-5 4 , 由不等式②,得 x<4, 故原不等式组的解集是-5 4 ≤x<4, ∴该不等式组的整数解是-1,0,1,2,3. 19.(4 分)先化简,再求值: a+3 a-1- 1 a-1 ÷a2+4a+4 a2-a , 其中 a=2. 解:原式=a+2 a-1 ÷(a+2)2 a(a-1) =a+2 a-1 ·a(a-1) (a+2)2 = a a+2 . 当 a=2 时,原式=2 4 =1 2 . 20.(5 分)在△ABC 中,AB=AC,BD=CE,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于 点 E. (1)如图①,求证:△ABE≌△ACD; (2)如图②,BE 与 CD 交于点 O,连接 AO,直接写出图中所有的全等 三角形(△ABE≌△ACD 除外). (1)证明:∵AB=AC,BD=CE, ∴AB-BD=AC-CE,∴AD=AE, ∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°, 在 Rt△ABE 和 Rt△ACD 中 AB=AC AE=AD ,∴Rt△ABE≌Rt△ACD(HL); (2)解:∵Rt△ABE≌Rt△ACD, ∴∠ABE=∠ACD,在△DOB 和△EOC 中 ∠DOB=∠EOC, ∠DBO=∠ECO, DB=CE, ∴△DOB≌△EOC(AAS), ∴OB=OC,DO=EO, ∴∠EBC=∠DCB,OD+OC=OE+OB, ∴DC=BE,在△BEC 和△CDB 中 BE=CD ∠EBC=∠DCB BC=CB ,∴△BEC≌△CDB(SAS), 在△ABO 和△ACO 中, AB=AC, AO=AO, BO=CO, ∴△ABO≌△ACO(SSS), 在△ADO 和△AEO 中, AO=AO, AD=AE, DO=EO, ∴△ADO≌△AEO(SSS), 即全等三角形有:△DOB≌△EOC,△BEC≌△CDB,△ABO≌△ACO,△ ADO≌△AEO. 21.(5 分)酒令是中国民间风俗之一.白居易曾诗曰:“花时同醉破 春愁,醉折花枝当酒筹”饮酒行令,是中国人在饮酒时助兴的一种特 有方式,不仅要以酒助兴,往往还伴之以赋诗填词、猜迷形拳之举, 最早诞生于西周,完备于隋唐,“虎棒鸡虫令”是其中一种:“二人相 对,以筷子相声,同时或喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫,以棒打虎、虎吃 鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负,负者饮.若棒兴鸡、或虫兴虎同时出现 (解释:若棒与鸡,虎与虫同时喊出)或两人喊出同一物,则不分胜负, 继续喊”.依据上述规则,张三和李四同时随机地喊出其中一物,两 人只喊一次. (1)求张三喊出“虎”取胜的概率; (2)用列表法或画树状图法,求李四取胜的概率; (3)直接写出两人能分出胜负的概率. 解:(1)张三喊出“虎”取胜的概率为1 4 ; (2)分别用 1,2,3,4 表示老虎,棒子,鸡,虫,列表得: 张三 李四 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由表可知,共有 16 种等可能的结果,其中李四取胜的结果共有 4 种, ∴P(李四取胜)= 4 16 =1 4 ; (3)从上表可知,张三取胜的结果共有 4 种, ∴P(张三取胜)= 4 16 =1 4 , ∵P(李四取胜)=1 4 , ∴两人能分出胜负的概率为1 2 . 22.(6 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b 的图象 分别交 x 轴、y 轴于 A,B 两点,与反比例函数 y=m x 的图象交于 C, D 两点,DE⊥x 轴于点 E,已知 C 点的坐标是(6,-1),DE=3. (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)连接 OC,OD,求 S△OCD; (3)直接写出不等式 kx+b>m x 的解集. 解:(1)设反比例函数为 y=m x , ∵点 C(6,-1)在反比例函数的图象上, ∴m=6×(-1)=-6, ∴反比例函数的解析式为 y=-6 x , ∵点 D 在反比例函数 y=-6 x 上,且 DE=3, ∴y=3,代入求得 x=-2, ∴点 D 的坐标为(-2,3). ∵C,D 两点在直线 y=kx+b 上, 则 6k+b=-1, -2k+b=3, 解得 k=-1 2, b=2, ∴一次函数的解析式为 y=-1 2 x+2. (2)把 y=0 代入 y=-1 2 x+2,解得 x=4, 即 A(4,0),则 OA=4, S△OCD=S△OAD+S△OAC=1 2 ×OA×(yD-yC)=1 2 ×4×(3+1)=8; (3)由图象可知:当 x<-2 或 0<x<6 时,一次函数的值大于反比例 函数的值. 23.(6 分)如图,直线 l 与⊙O 相离,OA⊥l 于点 A,与⊙O 相交于点 P,OA=10.C 是直线 l 上一点,连接 CP 并延长交⊙O 于另一点 B,且 AB=AC. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 6,求线段 BP 的长. (1)证明:如图,连接 OB,则 OP=OB, ∴∠OBP=∠OPB=∠CPA,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC, 而 OA⊥l,即∠OAC=90°, ∴∠ACB+∠CPA=90°, 即∠ABP+∠OBP=90°,∴∠ABO=90°, OB⊥AB,故 AB 是⊙O 的切线. (2)解:由(1)知∠ABO=90°, 而 OA=10,OB=OP=6,由勾股定理,得 AB=8, 过 O 作 OD⊥PB 于点 D,则 PD=DB, ∵∠OPD=∠CPA,∠ODP=∠CAP=90°, ∴△ODP∽△CAP,∴DP AP =OP CP , 又∵AC=AB=8,AP=OA-OP=4, ∴PC= AC2+AP2 =4 5 , ∴PD=OP·PA CP =6 5 5 ,∴BP=2PD=12 5 5 . 24.(6 分)“重整行装再出发,驰而不息再争创”,2018 年 5 月 8 日 兰州市召开了新一轮全国文明城市创建启动大会.某校为了更好地贯 彻落实创建全国文明城市目标,举办了“我是创城小主人”的知识竞 赛.该校七年级、八年级分别有 300 人,现从中各随机抽取 10 名同 学的测试成绩进行调查分析,成绩如下: 七年级 85 65 84 78 100 78 85 85 98 83 八年级 96 60 87 78 87 87 89 100 83 96 整理、描述数据: 分数段 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级人数 1 2 5 2 八年级人数 1 1 5 3 分析数据: 年级 平均数 中位数 众数 七 84.1 85 八 86.3 87 得出结论: (1)根据上述数据,将表格补充完整; (2)估计该校七、八两个年级学生在本次测试成绩中可以取得优秀的 人数(90≤x≤100)共有多少人? (3)你认为哪个年级知识掌握的总体水平较好,说明理由. 解:(1)84.5,87; (2)七年级优秀人数是 300× 2 10 =60(人), 八年级优秀人数是 300× 3 10 =90(人) 则该校七、八两个年级学生在本次测试成绩中可以取得优秀的人数 (90≤x≤100)共有 60+90=150(人); (3)八年级知识掌握的总体水平较好: ∵八年级的平均数比七年级的高,说明八年级平均水平高,且八年级 成绩的中位数比七年级的大,说明八年级的得高分人数多于七年级, 八年级的众数也比七年级的众数大, ∴八年级掌握知识的总体水平较好. 25.(6 分)酒泉钟鼓楼耸峙于上翔待之南端,为肃州现存唯完整的古 建筑物钟鼓楼工艺精湛,建造坚固,雄伟壮现.钟鼓楼由基座 BC 和 鼓楼 CD 两大部分组成如图,在 Rt△ABD 中,∠DAB=57°,在 Rt△ ABC 中,∠CAB=24°,且 CB=8 米,求钟鼓楼的拔地高度 BD.(最后 的结果精确到 0.1 米,参考数据 sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91, tan 24°≈0.45) 解:在 Rt△ACB 中,sin 24°=BC AC =0.41,BC=8 米, ∴AC≈19.5(米), ∵∠B=90°,∠CAB=24°,∴∠ACB=66°, ∵∠DAC=∠DAB-∠CAB=57°-24°=33°, ∵∠ACB=∠CAD+∠D, ∴∠CAD=∠D=33°,∴AC=CD=19.5, ∴BD=DC+BC=19.5+8=27.5(米). 26.(8 分)小明学习了函数的有关知识后,自己试着探究函数 y=x +1 x (x>0)的图象与性质.列表: x … 1 5 1 3 1 2 2 3 1 3 2 2 3 5 … y … 26 5 10 3 5 2 13 6 2 13 6 5 2 10 3 26 5 … 描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的 函数值 y 为纵坐标,描出相应的点,如图所示. (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函 数图象; (2)结合图象与表格,回答下列问题: ①函数图象上有两个不同的点(x1,y1),(x2,y2),若 x1·x2=1,则 y1=y2;(选填“>”“=”或“<”) ②由图象知,当 x=1 时,该函数有最小值,最小值是 2;由此可得: 当 x>0 时,x+1 x ≥2. ③对于②中的结论,小明想换个角度说明它的正确性,请你帮他完成 证明过程. ∵x>0,∴y=x+1 x =( x )2+ 1 x 2 = x- 1 x 2 +2. ∵ x- 1 x 2 ≥0,∴y=x+1 x ≥2,且当 x=1 时,y=2. 27.(8 分)如图,在▱ ABCD 中,AD=4,AB=5,延长 AD 到点 E,连 接 EC.过点 B 作 BF∥CE 交 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. (1)求证:四边形 BCEF 是平行四边形; (2)当四边形 BCEF 是正方形时,DF=1,说明理由; (3)当GF GD =4 5 时,四边形 BCEF 是菱形,说明理由. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴EF∥BC. ∵BF∥CE, ∴四边形 BCEF 是平行四边形. 28.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=- 3 6 x2+ 2 3 3 x+2 3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧),与 y 轴交 于点 C,它的对称轴与 x 轴交于点 D,直线 l 经过 C,D 两点,连接 AC. (1)求 A,B 两点的坐标及直线 l 的函数解析式; (2)★探索直线 l 上是否存在点 E,使△ACE 为直角三角形,若存在, 求出点 E 的坐标;若不存在,说明理由; (3)★若点 P 是直线 l 上的一个动点,试探究在抛物线上是否存在点 Q, ①使以点 A,C,P,Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出 点 Q 的坐标;若不存在,说明理由; ②使以点 A,C,P,Q 为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出 点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)当 y=0 时,- 3 6 x2+2 3 3 x+2 3 =0. 解得:x1=-2,x2=6, ∴点 A 的坐标为(-2,0),点 B 的坐标为(6,0); ∵抛物线的对称轴为直线 x=2, ∴点 D 的坐标为(2,0). 当 x=0 时,y=2 3 ,∴点 C 的坐标为(0,2 3 ). 设直线 l 的解析式为 y=kx+b, 则 2k+b=0, b=2, 3 解得 k=- 3, b=2 3, ∴直线 l 的解析式为 y=- 3 x+2 3 . (2)直线 l 上存在点 E,使△ACE 为直角三角形,点 E 的坐标为(1, 3 ) 或(4,-2 3 ); (3)①Q(4,2 3 );②Q(6.0).
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