南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（理）

南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（理）

南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题（理） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 { , }P a b ，集合 { | }M t t P  ，则 P与M 关系为（ ） A． P M B．P M C．M P D． P M 2.复数 z为纯虚数，若 (3 )i z a i   （ i为虚数单位），则实数 a的值为（ ） A． 1 3  B． 3 C． -3 D． 1 3 3.已知点 (0,1)A ， (3, 2)B ，向量 ( 4, 3)AC     ，则向量 BC  等于（ ） A． ( 7, 4)  B． (7, 4) C． ( 1, 4) D． (1, 4) 4.若 cos 2sin 5    ，则 tan （ ） A． 1 2 B． 2 C. 1 2  D．-2 5.设 nS 是等差数列{ }na 的前 n项和， 5 2 83( )S a a  ，则 5 3 a a 的值为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C. 3 5 D． 5 6 6.已知向量 (2cos ,2sin )a    ， (0, 2)b    ， ( , ) 2   ，则向量 ,a b   的夹角为（ ） A． 3 2   B． 2   C. 2   D． 7.将函数 ( ) sin(2 )(| | ) 2 f x x     的图象向左平移 6  个单位长度后，所得函数 ( )g x 的图象关于 原点对称，则函数 ( )f x 在[0, ] 2  的最小值为（ ） A． 1 2  B． 1 2 C. 3 2  D． 3 2 8.已知 ( ) ( )( ) 2f x x a x b    ， ,m n是方程 ( ) 0f x  的两根，且 ,a b m n  ，则实数 , , ,a b m n 的大小关系是（ ） A．m a b n   B． a m n b   C. a m b n   D．m a n b   9.已知 a b ，若函数 ( ), ( )f x g x 满足 ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx  ，则称 ( ), ( )f x g x 为区间[ , ]a b 上的一 组“等积分”函数，给出四组函数： ① ( ) 2 | |, ( ) 1f x x g x x   ；② ( ) sin , ( ) cosf x x g x x  ；③ 2 23( ) 1 , ( ) 4 f x x g x x   ；④ 函数 ( ), ( )f x g x 分别是定义在[ 1,1] 上的奇函数且积分值存在. 其中为区间[ 1,1] 上的“等积分”函数的组数是（ ） A． 1 B． 2 C. 3 D．4 10.设等差数列{ }na 的前 n项和 nS ，若 4 10S  ， 5 15S  ，则 4a 的最大值为（ ） A． 2 B． 3 C. 4 D．5 11.已知函数 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，其导函数为 ' ( )f x ，当 0x  时， '2 ( ) ( ) 0f x xf x  恒 成立，则 (1), 2016 ( 2016), 2017 ( 2017)f f f 的大小关系为（ ） A． 2017 ( 2017) 2016 ( 2016) (1)f f f  B． 2017 ( 2017) (1) 2016 ( 2016)f f f  C. (1) 2017 ( 2017) 2016 ( 2016)f f f  D． (1) 2016 ( 2016) 2017 ( 2017)f f f  12.已知实数 ,x y分别满足： 3( 3) 2016( 3)x x a    ， 3(2 3) 2016(2 3)y y a     ，则 2 24 4x y x  的最小值是（ ） A． 0 B． 26 C. 28 D．30 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若 3sin( ) 4 5 x   ，则 sin 2x的值为 ． 14.集合 2{ | 0}A x x a   ， { | 2}B x x  ，若 RC A B ，则实数 a的取值范围是 ． 15.如图，已知 OCB 中， ,B C 关于点 A对称，D是将OB分成 2:1 的一个内分点，DC 和OA交 于点 E，若OE OA   ，则实数的值为 ． 16.定义函数 ( ) { { }}f x x x  ，其中{ }x 表示不小于 x的最小整数，如{1.5} 2 ，{ 2.5} 2   ，当 *(0, ],x n n N  时，函数 ( )f x 的值域为 nA ，记集合 nA 中元素的个数为 na ，则 na  ． 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 设 3( ) 2 1 xf x x     的定义域为 A， ( ) lg[( 1)(2 )]( 1)g x x a a x a     的定义域为 B . （1）求 ,A B； （2）若 : , :p x A q x B  ， p 是 q 充分不必要条件，求实数 a的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 设 ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 sin( ) sin sin a b a c A B A B      ， 3b  . （1）求角 B； （2）若 3sin 3 A  ，求 ABC 的面积. 19. （本小题满分 12 分） 已知： , ,a b c是同一平面内的三个向量，其中 (1, 2)a   . （1）若 | | 2 5c   ，且 / /c a   ，求 c  的坐标； （2）若 5| | 2 b   ，且 2a b   与 2a b   垂直，求 a  与b  的夹角 . 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 4 2 1( ) 4 2 1 x x x x kf x       . （1）若对任意的 x R ， ( ) 0f x  恒成立，求实数 k的取值范围； （2）若 ( )f x 的最小值为-2，求实数 k的值. 21. （本小题满分 12 分） 设数列{ }na 满足 * 13 2( 2, )n na a n n N    ，且 1 2a  ， 3log ( 1)n nb a  . （1）证明：数列{ 1}na  为等比数列； （2）求数列{ }n na b 的前 n项和 nS ； （3）设 1 3n n n n c a a   ，证明： 1 1 4 n n i c   . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1 ( )xf x e ax a R    . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）当 (0, 2]x 时，讨论函数 ( ) ( ) lnF x f x x x  零点的个数； （3）若 ( ) ln( 1) lnxg x e x   ，当0 1a  时，求证： [ ( )] ( )f g x f x . 试卷答案 一、选择题:DDABD ACACC DC 二、填空题：．13. 7 25 14.  , 4 15.0.8 16. ( 1) 2n n na   三、解答题： 17.解：（1）由 2﹣ ≥0，解得 x＜﹣1 或 x≥1，即 A=  1,-  ∪  ,1 …………2 分 由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0， 由 a＜1 得 a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，∴B=（2a，a+1）． ………………5 分 （Ⅱ）∵p：x∈A，q：x∈B，￢p 是￢q 充分不必要条件， ∴p是 q必要不充分条件， ∴ 或 解得 ≤a＜1，或 a≤﹣2， 故实数 a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[ ，1） ………………10 分 18. 解：（Ⅰ）因为 sin( ) sin sin a b a c A B A B      所以 a b a c c a b     2 2 2a b ac c    2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac       又 (0, )B  ， 3 B    ………………6分 （Ⅱ）由 3b  ， 3sin 3 A  ， sin sin a b A B  ，得 2a  . 由 a b 得 A B ，从而 6cos 3 A  ， 故 3 3 2sin sin( ) sin cos cos sin 6 C A B A B A B       . 所以 ABC 的面积为 1 3 3 2sin 2 2 S ab C    . ………………12 分 19.解：（1）设 ， ∵| |=2 ，且 ∥ ， ∴ ，解得 或 ， 故 或 ．………………6分 （2）∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 整理得 ，… ∴ ， 又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．………………12 分 20.解：（1）因为 4 x +2 x +1＞0，所以 f（x）＞0恒成立，等价于 4 x +k•2 x +1＞0 恒成立， 即 k＞﹣2 x ﹣2 ﹣x 恒成立， 因为﹣2 x ﹣2 ﹣x =﹣（2 x +2 ﹣x ）≤﹣2，当且仅当 2 x =2 ﹣x 即 x=0 时取等号，所以 k＞﹣2； ………………6分 （2） ， 令 ，则 ， 当 k＞1 时， 无最小值，舍去； 当 k=1 时，y=1 最小值不是﹣2，舍去； 当 k＜1 时， ，最小值为 ， 综上所述，k=﹣8． ………………12 分 21. 证明(1)  * 13 2 2,n na a n n N    , 1+1 3 1n na a   （ ） 又 1 2,a  +1 0na  所以数列{ 1}na  为等比数列； ………………4分 （2）由（1）知 3 1n na   ， 3log ( 1) nn nb a   ， (3 1) 3n n n na b n n n      设 （3） ) 13 1 13 1( 2 1 )13)(13( 33 11 1         nnnn n nn n n aa c 所以，          n i i n i iic 1 1 1 ) 13 1 13 1( 2 1          L 13 1 13 1 1-3 1- 1-3 1 1-3 1- 1-3 1 2 1 1322 nn 4 1 )13(2 1 4 1 13 1 1-3 1 2 1 11          nn ………………12 分 22.解：（1） aexf x  )( ， 当 0a 时， 0)(  xf ，此时 )(xf 只有增区间  ,- ， 当 0a 时，由 0)(  xf 得 ax ln ，由 0)(  xf 得 ax ln ， 所以此时 )(xf 的单调增区间为  ,ln a ，减区间为   aln,- . 综上：当 0a 时， )(xf 的单调增区间为  ,- ； 当 0a 时， )(xf 的单调增区间为  ,ln a ，减区间为   aln,- . ………………4 分 （2）   xxaxexF x ln1  ，由   0xF 得 x x ea x ln1    ， 设   x x exh x ln1    ，      2 11 x xexh x   ， 当 10  x 时，   0 xh ；当 21  x 时，   0 xh 所以  xh 在  1,0 单调递减，在  2,1 上单调递增 又   11  eh ，   2ln 2 12 2    eh ， 当 0x 且 0x 时，   xh ， 函数  xh 的图像如图所示： 故当 1 ea 时，函数  xF 没有零点； 当 1 ea 或 2ln 2 12    ea 时有一个零点； 当 2ln 2 11 2    eae 时有两个零点. ………………8 分 （3）由（1）知，当 10  a 时， )(xf 在  ,ln a 上单调递增， 故要证  [ ( )]f g x f x ，只需证   xxga ln 即可. 由   ln( 1) lnxg x e x   知 0x ， 设   xex x -1-1  ，   01-1  xex ，所以  x1 在  ,0 上单调递增， 所以     0011  x ，所以 xe x 1- ，所以   0ln1ln  xe x ，所以   axg ln0  . 因为        1lnln1lnln  xxx eexexxxgx ， 设    12  xx eexx  ，   02  xexx ，所以  x2 在  ,0 上单调递增， 所以     0022  x ，所以  1 xx eex ，所以     01lnln  xx eex ，即  xgx  ， 由得  [ ( )]f g x f x . ………………12 分