2015届高考数学二轮专题训练：专题八 第1讲 函数与方程思想

2015届高考数学二轮专题训练：专题八 第1讲 函数与方程思想

第1讲　函数与方程思想 ‎1．函数与方程思想的含义 ‎(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．‎ ‎(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．‎ ‎2．和函数与方程思想密切关联的知识点 ‎(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0‎ 时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．‎ ‎(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．‎ ‎(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．‎ ‎(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．‎ ‎(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.‎ 热点一　函数与方程思想在不等式中的应用 例1　(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.‎ ‎(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________．‎ 答案　(1)4　(2)(－∞，－3)∪(0,3)‎ 解析　(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；‎ 当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.‎ 设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；‎ 当x<0即x∈[－1,0)时，‎ f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，‎ 设g(x)＝－，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，‎ 因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.‎ ‎(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．‎ 又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，‎ 所以x<0时，F(x)为增函数．‎ 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，‎ 所以x>0时，F(x)也是增函数．‎ 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．‎ 所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．‎ 思维升华　(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．‎ ‎　(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)‎ A．x＋y≥0 B．x＋y≤0‎ C．x－y≤0 D．x－y≥0‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x4－2x3＋‎3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m≥ B．m> C．m≤ D．m< 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R 上的增函数，所以有x≤－y.‎ ‎(2)因为函数f(x)＝x4－2x3＋‎3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝‎3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，‎ 所以‎3m－≥－9，解得m≥，故选A.‎ 热点二　函数与方程思想在数列中的应用 例2　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．‎ ‎(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．‎ 解　(1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，‎ 又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，‎ 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，‎ 得d＝2或d＝－1(舍去)，‎ 所以数列{an}的通项公式an＝2n.‎ ‎(2)因为Sn＝n(n＋1)，‎ bn＝＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝－＋－＋…＋－ ‎＝－＝＝，‎ 令f(x)＝2x＋(x≥1)，‎ 则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，‎ 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，‎ 即当n＝1时，(bn)max＝，‎ 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，‎ 则须使k≥(bn)max＝，‎ 所以实数k的最小值为.‎ 思维升华　(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；‎ ‎(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．‎ ‎　(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋‎2a4，则a6的值是________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝()x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C. D．－ 答案　(1)4　(2)D 解析　(1)因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋‎2a4得a2q6＝a2q4＋‎2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.‎ ‎(2)由题设，得a1＝f(1)－c＝－c；‎ a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－；‎ a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.‎ 又数列{an}是等比数列，‎ ‎∴(－)2＝(－c)×(－)，∴c＝1.‎ 又∵公比q＝＝，‎ ‎∴an＝－()n－1＝－2()n，n∈N*.‎ 且数列 {an}是递增数列，‎ ‎∴n＝1时，an有最小值a1＝－.‎ 热点三　函数与方程思想在几何中的应用 例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ 解　(1)由题意得解得b＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|MN|＝ ‎＝ ‎＝.‎ 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离 d＝，‎ 所以△AMN的面积为 S＝|MN|·d＝.‎ 由＝，解得k＝±1.‎ 所以，k的值为1或－1.‎ 思维升华　几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．‎ ‎　(1)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(01，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，) B．(，)‎ C．[，] D．(，)‎ 答案　(1)x2＋y2＝1　(2)B 解析　(1)设点B的坐标为(x0，y0)，‎ ‎∵x2＋＝1，且01时，0<<1，所以2b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案　C 解析　0＝1，‎ 即01，所以c>a>b.‎ ‎2．(2014·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A．5 B.＋ C．7＋ D．6 答案　D 解析　如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.‎ 令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，‎ 解得r2＝50，‎ 即r＝5.‎ 由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，‎ 故选D.‎ ‎3．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．‎ 答案　－3‎ 解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，‎ 直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.‎ 由题意得解得则a＋b＝－3.‎ ‎4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1‎ ‎ m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)‎ 答案　160‎ 解析　设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(x＋)×10，即y＝80＋20(x＋)(x>0)．因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，‎ 所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．‎ 押题精练 ‎ ‎1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ 答案　B 解析　f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，‎ 得F(x)在R上是增函数．‎ 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，‎ 即F(x)>4＝F(－1)，所以x>－1.‎ ‎2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　D 解析　可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x.‎ 令F(x)＝x2－ln x，F′(x)＝2x－＝，‎ 所以当0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，‎ 故当x＝t＝时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小．‎ ‎3．(2014·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－5，－3] B．[－6，－]‎ C．[－6，－2] D．[－4，－3]‎ 答案　C 解析　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.‎ 当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，所以a≥max.‎ 设φ(x)＝，‎ 所以φ′(x)＝＝－＝－>0，‎ 所以φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.所以a≥－6.‎ 当x∈[－2,0)时，a≤，所以a≤min.‎ 仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.‎ 当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，φ(x)在[－2，－1)上单调递减，‎ 当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)在(－1,0)上单调递增．‎ 所以当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．‎ 而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，所以a≤－2.综上知－6≤a≤－2.‎ ‎4．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　[－1,2)‎ 解析　令f(x)＝(2－2－|x－2|)2.要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值．∵f(x)的值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值．‎ 解　依题意，f(x)＝g(x)，即ax2＋ax＝x－a，‎ 整理得ax2＋(a－1)x＋a＝0，①‎ ‎∵a≠0，‎ 函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，‎ ‎∴Δ>0，即Δ＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1＝(3a－1)·(－a－1)>0，‎ ‎∴－10，x1＋x2＝－.‎ 设点O到直线g(x)＝x－a的距离为d，则d＝，‎ ‎∴S＝|x1－x2|·＝ ‎＝ .∵－11)，⊙M：(x＋1)2＋y2＝1，P为椭圆G上一点，过P作⊙M的两条切线PE、PF，E、F分别为切点．‎ ‎(1)求t＝||的取值范围；‎ ‎(2)把·表示成t的函数f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值．‎ 解　(1)设P(x0，y0)，则＋＝1(a>1)，∴y＝(a2－1)，‎ ‎∴t2＝||2＝(x0＋1)2＋y＝(x0＋1)2＋(a2－1)＝2，‎ ‎∴t＝.‎ ‎∵－a≤x0≤a，∴a－1≤t≤a＋1(a>1)．‎ ‎(2)∵·＝||||cos∠EPF＝||2(2cos2∠EPM－1)‎ ‎＝(||2－1) ‎＝(t2－1)＝t2＋－3，‎ ‎∴f(t)＝t2＋－3(a－1≤t≤a＋1)．‎ 对于函数f(t)＝t2＋－3(t>0)，显然在t∈(0，]时，f(t)单调递减，‎ 在t∈[，＋∞)时，f(t)单调递增．∴对于函数f(t)＝t2＋－3(a－1≤t≤a＋1)，‎ 当a>＋1，即a－1>时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋，‎ ‎[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋；‎ 当≤a≤＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋，‎ ‎[f(t)]min＝f()＝2－3；‎ 当1

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