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文档介绍
2015届高考数学二轮专题训练:专题三 第2讲 三角变换与解三角形
第2讲 三角变换与解三角形 考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α=. 3.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明. 4.正弦定理 ===2R(2R为△ABC外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. sin A=,sin B=,sin C=. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 推论:cos A=,cos B=,cos C=. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 6.面积公式 S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C. 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 热点一 三角变换 例1 (1)已知sin(α+)+sin α=-,-<α<0,则cos(α+)等于( ) A.- B.- C. D. (2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,),β∈(0,),且tan α=,则( ) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= 思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+π)进行比较. (2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系. 答案 (1)C (2)B 解析 (1)∵sin(α+)+sin α=-,-<α<0, ∴sin α+cos α=-, ∴sin α+cos α=-, ∴cos(α+)=cos αcos-sin αsin =-cos α-sin α=. (2)由tan α=得=, 即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin(-α). ∵α∈(0,),β∈(0,), ∴α-β∈(-,),-α∈(0,), ∴由sin(α-β)=sin(-α),得α-β=-α, ∴2α-β=. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解. 设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值; (2)若θ是第二象限角,且f()=0,求的值. 解 (1)f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin+=-sin 2x. 所以f(x)的最小正周期为T==π,最大值为. (2)因为f()=0, 所以-sin θ=0,即sin θ=, 又θ是第二象限角, 所以cos θ=-=-. 所以=== ===. 热点二 解三角形 例2 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a=2sin A,++=0. (1)求边c的大小; (2)求△ABC面积的最大值. 思维启迪 (1)将++=0中的边化成角,然后利用和差公式求cos C,进而求c.(2)只需求ab的最大值,可利用cos C=和基本不等式求解. 解 (1)∵++=0, ∴ccos B+2acos C+bcos C=0, ∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, ∴sin A+2sin Acos C=0, ∵sin A≠0, ∴cos C=-,∵C∈(0,π) ∴C=,∴c=·sin C=. (2)∵cos C=-=, ∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即ab≤1. ∴S△ABC=absin C≤. ∴△ABC的面积最大值为. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的统一,问题便可突破. 几种常见变形: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆的半径; (3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C. (1)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则等于( ) A. B.2 C. D.2 (2)(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( ) A.3 B. C. D.3 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为asin Asin B+bcos2A=a,由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B=sin A, 即=,==. (2)∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 由①②得ab=6. ∴S△ABC=absin C=×6×=. 热点三 正、余弦定理的实际应用 例3 (2013·江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A=, cos C=. (1)求索道AB的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 思维启迪 (1)直接求sin B,利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数. 解 (1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =×+×=.由正弦定理=,得 AB=×sin C=×=1 040(m). 所以索道AB的长为1 040 m. (2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50),由于0≤t≤,即0≤t≤8, 故当t= min时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理=, 得BC=×sin A=×=500(m). 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤, 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内. 思维升华 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答. 如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时,C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?(≈1.41,≈1.73,≈2.45) 解 过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 因为∠CAD=45°,AC=10海里, 所以△ACD是等腰直角三角形. 所以AD=CD=AC=×10=5(海里). 在Rt△ABD中,因为∠DAB=60°, 所以BD=AD×tan 60°=5×=5(海里). 所以BC=BD-CD=(5-5)(海里). 因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行, 所以中国海监船到达C点所用的时间t1===(小时),某国军舰到达C点所用的时间t2==≈=0.4(小时). 因为<0.4,所以中国海监船能及时赶到. 1.求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下: (1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心. (2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 2.解三角形的两个关键点 (1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a=2Rsin A,sin A=(其中2R为三角形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C等,灵活根据条件求解三角形中的边与角. (2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A+B)=sin C,sin =cos 等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等. 3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型. 真题感悟 1.(2013·浙江)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α等于( ) A. B. C.- D.- 答案 C 解析 ∵sin α+2cos α=, ∴sin2α+4sin α·cos α+4cos2α=. 用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α==-.故选C. 2.(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是________. 答案 解析 由sin A+sin B=2sin C,结合正弦定理得a+b=2c. 由余弦定理得cos C= == ≥=, 故≤cos C<1,且3a2=2b2时取“=”. 故cos C的最小值为. 押题精练 1.在△ABC中,已知tan =sin C,给出以下四个结论: ①=1;②1查看更多