高考数学玩转压轴题专题2_5最值位置不迷惑单调区间始与末1

高考数学玩转压轴题专题2_5最值位置不迷惑单调区间始与末1

专题 2.5 最值位置不迷惑 单调区间始与末 【题型综述】 函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我 们有如下结论：一般地，如果在区间[ , ]a b 上函数  y f x 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值与最小值. 设函数  f x 在[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，求  f x 在[ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤为： （1）求  f x 在 ( , )a b 内的极值； （2）将函数  f x 的各极值与端点处的函数值 ( )f a ， ( )f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值. 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言； （2）在函数的定义区间[ , ]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或 者没有）； （3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【典例指引】 例 1．已知函数   cosxf x e x x  . （1）求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程； （2）求函数  f x 在区间 π0, 2      上的最大值和最小值. 【思路引导】 （1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可， （2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的 取值地方从而计算得出最值 点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分 题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可 得到最值 例 2．设函数    ln , 2 1xf x x g x xe x    . (1)关于 x 的方程   2 10 3f x x m   在区间 1,3 上有解，求 m 的取值范围； (2)当 0x  时，    g x a f x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 【思路引导】 （1）方程   2 10 3f x x m   等价于   2 7ln 3h x x x x m    ，利用导数研究函数的单调性，结合函数 图象可得 m 的取值范围；（2）    g x a f x  恒成立等价于       ln 1xF x g x f x x e x x a        恒成立，两次求导，求得  F x 的最小值为零，从而可得实数 a 的取值范围. 试题解析：（1）方程   2 10 3f x x x m   即为 2 7ln 3x x x m   ，令    2 7ln 03h x x x x x    ，则     3 1 2 31 7' 2 3 3 x xh x xx x       ， 当  1,3x 时，    ' ,h x h x 随 x 变化情况如表： x 1 31, 2      3 2 3 ,32      3  'h x  0   h x 4 3 ↗ 极大值 ↘ ln3 2    4 4 3 3 51 , 3 ln3 2 , ln3 3 2 2 4h h h         ， 当  1,3x 时，   3 5ln3 2,ln 2 4h x       ， m 的取值范围是 3 5ln3 2,ln 2 4      . 例 3．已知函数    3 22 3 12h x x x x m m R     的一个极值为 2 ． （1）求实数 m 的值； （2）若函数  h x 在区间 3, 2k     上的最大值为 18，求实数 k 的值． 【思路引导】 （1）由题意得     2' 6 6 12 6 2 1h x x x x x      ，函数  h x 有两个极值为  2h  和令  1h ，从而 得到实数 m 的值；（2）研究函数  h x 在区间 3, 2k     上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数 k 的方 程，解之即可. 试题解析：（1）由    3 22 3 12h x x x x m m R     ，得     2' 6 6 12 6 2 1h x x x x x      ， 令  ' 0h x  ，得 2x   或 1x  ；令  ' 0h x  ，得 2 1x   ； 令  ' 0h x  ，得 2x   或 1x  .所以函数  h x 有两个极值为  2h  和令  1h . 若  2 2h    ，得      3 22 2 3 2 12 2 2m           ，解得 22m   ； 若  1 2h   ，得 3 22 1 3 1 12 1 2m        ，解得 5m  ； 综上，实数 m 的值为 22 或 5. （2）由（1）得，  'h x ，  h x 在区间 3, 2     上的变化情况如下表所示： 【同步训练】 1．已知函数     11 lnxf x a e x a a     （ 0a  且 1a  ）， e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当 a e 时，求函数  y f x 在区间  0,2x 上的最大值； （Ⅱ）若函数  f x 只有一个零点，求 a 的值． 【思路引导】 (1)由导函数的解析式可得        2 max 1max 0 , 2 3f x f f e e e     ． (2)由  ' 0f x  ，得 logax e ，分类讨论 1a  和 0 1a  两种情况可得 1a e  ． （Ⅱ）     11 lnxf x a e x a a     ，    ' ln ln lnx xf x a a e a a a e    ， 令  ' 0f x  ，得 logax e ，则 ①当 1a  时， ln 0a  ， x  ,logae logae  log ,ae   'f x  0   f x 极小值 所以当 logax e 时，  f x 有最小值    min 1log lnaf x f e e a a     ， 因 为 函 数  f x 只 有 一 个 零 点 ， 且 当 x   和 x   时 ， 都 有  f x   ， 则  min 1ln 0f x e a a     ，即 1ln 0e a a   ， 因为当 1a  时， ln 0a  ，所以此方程无解． ②当 0 1a  时， ln 0a  ， x  ,logae logae  log ,ae   'f x  0   f x 极小值 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在 历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对 导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联 系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极 值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．已知函数 f(x)＝(x－k)ex， (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0，1]上的最小值． 【思路引导】 （1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令 f′（x）=0，得 x=k﹣1．由此能求出 f（x）的单调区间． （2）当 k﹣1≤0 时，函数 f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当 1＜k≤2 时，函数 f（x） 在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增， ；当 k＞2 时，函数 f（x）在区间[0， 1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e． 试题解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令 f′(x)＝0，得 x＝k－1. 当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下： x (－∞，k－1) (k－1) (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) －ek－1 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0，1]上单调递增， 所以 f(x)在区间[0，1]上的最小值为 f(0)＝－k. 当 0

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