高考数学考点归纳之参数方程

高考数学考点归纳之参数方程

高考数学考点归纳之参数方程 一、基础知识 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 x＝ft， y＝gt， 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参 数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)＝0 叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系 y＝g(t)，则得曲线的参数方程 x＝ft， y＝gt. 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数)． 直线参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α. 若 M1，M2 是 l 上 的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 ①|M1M2|＝|t1－t2|. ②若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋t2 2 ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| ＝|t|＝|t1＋t2 2 |. ③若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. (2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ (θ为参数)． (3)椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的参数方程为 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ为参数)． 考点一 参数方程与普通方程的互化 [典例] 已知直线 l 的参数方程为 x＝a－2t， y＝－4t (t 为参数)，圆 C 的参数方程为 x＝4cos θ， y＝4sin θ (θ为参数)． (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围． [解] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－2a| 5 ≤4， 解得－2 5≤a≤2 5. 即实数 a 的取值范围为[－2 5，2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见 的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常 利用同角三角函数关系式消参(如 sin2θ＋cos2θ＝1 等)． [提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练] 1．将下列参数方程化为普通方程． (1) x＝1 2 et＋e－t， y＝1 2 et－e－t (t 为参数)． (2) x＝2tan2θ， y＝2tan θ (θ为参数)． 解：(1)由参数方程得 et＝x＋y，e－t＝x－y， 所以(x＋y)(x－y)＝1，即 x2－y2＝1. (2)因为曲线的参数方程为 x＝2tan2θ， y＝2tan θ (θ为参数)， ① ② 由 y＝2tan θ，得 tan θ＝y 2 ，代入①得 y2＝2x. 2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆 x2＋y2－x＝0 的参 数方程． 解：圆的半径为1 2 ， 记圆心为 C 1 2 ，0 ，连接 CP， 则∠PCx＝2θ， 故 xP＝1 2 ＋1 2cos 2θ＝cos2θ， yP＝1 2sin 2θ＝sin θcos θ. 所以圆的参数方程为 x＝cos2θ， y＝sin θcos θ (θ为参数)． 考点二 参数方程的应用 [ 典 例 ] (2019· 广 州 高 中 综 合 测 试 ) 已 知 过 点 P(m,0) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 是 x＝m＋ 3 2 t， y＝1 2t (t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数 m 的值． [解] (1)消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x＝ 3y＋m，即 x－ 3y－m＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ. 可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x，即 x2－2x＋y2＝0. (2)把 x＝m＋ 3 2 t， y＝1 2t 代入 x2－2x＋y2＝0， 得 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0. 由Δ>0，得－11， 即α∈ π 2 ，3π 4 或α∈ π 4 ，π 2 . 综上，α的取值范围是 π 4 ，3π 4 . (2)l 的参数方程为 x＝tcos α， y＝－ 2＋tsin α t 为参数，π 4<α<3π 4 . 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP， 则 tP＝tA＋tB 2 ，且 tA，tB 满足 t2－2 2tsin α＋1＝0. 于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α. 又点 P 的坐标(x，y)满足 x＝tPcos α， y＝－ 2＋tPsin α， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x＝ 2 2 sin 2α， y＝－ 2 2 － 2 2 cos 2α α为参数，π 4<α<3π 4 . 7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝t， y＝m＋t (t 为参数，m∈R)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为ρ2＝ 3 3－2cos2θ (0≤θ≤π)． (1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知点 P 是曲线 C2 上一点，若点 P 到曲线 C1 的最小距离为 2 2，求 m 的值． 解：(1)由曲线 C1 的参数方程消去参数 t，可得 C1 的普通方程为 x－y＋m＝0. 由曲线 C2 的极坐标方程得 3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线 C2 的直角坐标方程为x2 3 ＋y2＝1(0≤y≤1)． (2)设曲线 C2 上任意一点 P 的坐标为( 3cos α，sin α)，α∈[0，π]， 则点 P 到曲线 C1 的距离 d＝| 3cos α－sin α＋m| 2 ＝|2cos α＋π 6 ＋m| 2 . ∵α∈[0，π]，∴cos α＋π 6 ∈ －1， 3 2 ，2cos α＋π 6 ∈[－2， 3 ]， 当 m＋ 3＜0 时，m＋ 3＝－4，即 m＝－4－ 3. 当 m－2＞0 时，m－2＝4，即 m＝6. 当 m＋ 3≥0，m－2≤0，即－ 3≤m≤2 时，dmin＝0，不合题意，舍去． 综上，m＝－4－ 3或 m＝6. 8．已知直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos θ， y＝tsin θ (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x＝ 3cos α， y＝sin α (α为参数)，且直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π 3 时，|AB|的值； (2)已知点 P(1,0)，求当直线 l 的倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围． 解：(1)曲线 C 的普通方程为x2 3 ＋y2＝1. 当θ＝π 3 时，直线 l 的参数方程为 x＝1＋1 2t y＝ 3 2 t (t 为参数)， 将 l 的参数方程代入x2 3 ＋y2＝1，得 5t2＋2t－4＝0， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝－2 5 ，t1t2＝－4 5 ， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 21 5 . (2)将直线 l 的参数方程 x＝1＋tcos θ， y＝tsin θ 代入x2 3 ＋y2＝1， 得(1＋2sin2θ)t2＋2tcos θ－2＝0， 设 A，B 对应的参数分别为 t3，t4，则 t3t4＝ －2 1＋2sin2θ ， 则|PA|·|PB|＝－t3t4＝ 2 1＋2sin2θ . 又 0≤sin2θ≤1，所以2 3 ≤|PA|·|PB|≤2， 所以|PA|·|PB|的取值范围是 2 3 ，2 .