高中数学必修3教案:2_2_2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(教、学案)

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高中数学必修3教案:2_2_2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(教、学案)

‎2. 2.2‎‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎〖教学目标〗‎ ‎1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差 ‎2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释;‎ ‎3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识。‎ ‎〖教学重难点〗‎ 教学重点  用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。‎ 教学难点  能应用相关知识解决简单的实际问题。‎ ‎〖教学过程〗‎ ‎ 一、复习回顾 作频率分布直方图分几个步骤?各步骤需要注意哪些问题?‎ ‎ 二、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;‎ 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. ‎ 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?上节课我们学习了用图表的方法来研究,为了从整体上更好地把握总体的规律,我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。‎ ‎ 三、 新知探究 众数、中位数、平均数 众数—一组数中出现次数最多的数;在频率分布直方图中,我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。‎ 中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数,当有偶数个时等于中间两数的平均数;在频率分布直方图中,是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。‎ 平均数——将所有数相加再除以这组数的个数;在频率分布直方图中,等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。‎ 思考探究:‎ 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数,观察所得的数据,你发现了什么 问题?为什么会这样呢?‎ 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗?由此你有什么样的体会?‎ 答:(1)从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样,因为频率分布直方图损失了一部分样本信息,所以不如原始数据准确。‎ ‎ (2)众数和中位数不受极端值的影响,平均数反应样本总体的信息,容易受极端值的影响。‎ 练一练:‎ 假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额,其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币,另外25个项目的投资是20~100万元。中位数是25万元,平均数是100万元,众数是20万元。你会选择哪一种数字特征 来表示国家对每一个项目投资的平均金额?‎ 解析:平均数。‎ 一、 标准差、方差 在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;‎ 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. ‎ 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛?‎ 我们知道,。‎ 两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察图2.2-7)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据。‎ 1、 标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示。‎ 思考探究:‎ ‎1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?‎ ‎2、标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点?‎ 答:(1)显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。‎ ‎ (2)从标准差的定义和计算公式都可以得出:。当时,意味着所有的样本数据 ‎ 都等于样本平均数。‎ 2、 方差 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差。‎ 四、例题精析 ‎ 例1:农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下:‎ 甲:900,920,900,850,910,920‎ 乙:890,960,950,850,860,890‎ 那种水稻的产量比较稳定?‎ ‎ [分析]采用求标准差的方法 解:‎ ‎ ‎ 所以甲水稻的产量比较稳定。‎ 点评:在平均值相等的情况下,比较方差或标准差。‎ 变式训练:在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:‎ ‎ 90 89 90 95 93 94 93 ‎ ‎ 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ‎(A)92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,所剩数据为90,90,93,94,93,所以其平均值为 ‎90+=92;方差为2.8,故选B。‎ 例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是  . ‎ ‎(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数  .‎ ‎(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数  .‎ 点评:在直方图中估计中位数、平均数。‎ 变式训练:‎ 某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下:‎ 等待时间(分钟)‎ 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ,病人等待时间的标准差的估计值= ‎ ‎ 五、反馈测评 ‎1. 在一次知识竞赛中,抽取20名选手,成绩分布如下:‎ 成绩 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数分布 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ 则选手的平均成绩是 ( )‎ A.4 B.‎4.4 C.8 D.8.8‎ ‎2.8名新生儿的身长(cm)分别为50,51,52,55,53,54,58,54,则新生儿平均身长的估计为 ,约有一半的新生儿身长大于等于 ,新生儿身长的最可能值是 .‎ ‎3..样本的平均数为5,方差为7,则3的平均数、方差,标准差分别为 ‎ ‎4.某工厂甲,乙两个车间包装同一产品,在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品,称其重量是否合格,分别记录抽查数据如下:甲车间:102,101,99,103,98,99,98;乙车间:110,105,90,85,75,115,110.‎ ‎(1)这样的抽样是何种抽样方法?‎ ‎(2)估计甲、乙两车间的均值与方差,并说明哪个车间的产品较稳定.‎ ‎ ‎ 六、课堂小结 ‎1、在频率分布直方图中,如何求出众数、中位数、平均数? ‎ ‎2、标准差的公式;标准差的大小和数据的离散程度有什么关系? ‎ ‎〖板书设计〗‎ 一、众数、中位数、平均数 二、标准差、方差 例题讲解 练一练 小结 ‎〖书面作业〗‎ 课本 6 7 ‎ ‎ ‎ ‎2.2.2‎‎ 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课前预习学案 一、预习目标:‎ 通过预习,初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。‎ 二、预习内容:‎ ‎1、知识回顾:‎ ‎ 作频率分布直方图分几个步骤?各步骤需要注意哪些问题?‎ ‎2、众数、中位数、平均数的概念 众 数:____________________________________________________________________‎ 中位数:___________________________________________________________________‎ 平均数:____________________________________________________________________‎ ‎3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系:‎ 众数在样本数据的频率分布直方图中,就是______________________________________‎ 中位数左边和右边的直方图的________应该相等,由此可估计中位数的值。‎ 平均数是直方图的___________.‎ ‎4.标准差、方差 标准差 s=_________________________________________________________________‎ 方 差s2=_________________________________________________________________‎ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标:‎ ‎1. 能说出样本数据标准差的意义和作用,会计算数据的标准差 ‎2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释;‎ ‎3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识。‎ 二、学习内容 ‎1.众数、中位数、平均数 思考1:分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数,观察所得的数据,你发现了什么问题?为什么会这样呢?‎ 思考2: 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗?由此你有什么样的体会?‎ 练一练:‎ 假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额,其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币,另外25个项目的投资是20~100万元。中位数是25万元,平均数是100万元,众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额?‎ ‎2. 标准差、方差 在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕‎ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;‎ 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. ‎ 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛?‎ 思考1:标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?‎ 思考2:标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点?‎ ‎3、〖典型例题〗‎ 例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是  . ‎ ‎(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数  .‎ ‎(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数  .‎ 例2:农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下:‎ 甲:900,920,900,850,910,920‎ 乙:890,960,950,850,860,890‎ 那种水稻的产量比较稳定?‎ 三、反思总结 ‎1、 在频率分布直方图中,如何求出众数、中位数、平均数? ‎ ‎ ‎ ‎2、标准差的公式;标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?‎ 四、当堂检测 1. 在一次知识竞赛中,抽取20名选手,成绩分布如下:‎ 成绩 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数分布 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ 则选手的平均成绩是 ( )‎ A.4 B.‎4.4 C.8 D.8.8‎ ‎2.8名新生儿的身长(cm)分别为50,51,52,55,53,54,58,54,则新生儿平均身长的估计为 ,约有一半的新生儿身长大于等于 ,新生儿身长的最可能值是 .‎ ‎3.某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下:‎ 等待时间(分钟)‎ 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ,病人等待时间的标准差的估计值= ‎ ‎4.样本的平均数为5,方差为7,则3的平均数、方差,标准差分别为 ‎ ‎5.某工厂甲,乙两个车间包装同一产品,在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品,称其重量是否合格,分别记录抽查数据如下:甲车间:102,101,99,103,98,99,98‎ ‎;乙车间:110,105,90,85,75,115,110.‎ ‎(1)这样的抽样是何种抽样方法?‎ ‎(2)估计甲、乙两车间的均值与方差,并说明哪个车间的产品较稳定.‎ 课后练习与提高 ‎1.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为已知这组数据的平均数为10,方差为2,则的值为( )‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ 解:由平均数公式为10,得,则,又由于方差为2,则得 ‎ ‎ 所以有,故选D.‎ ‎2.某房间中10个人的平均身高为‎1.74米,身高为‎1.85米的第11个人,进入房间后,这11个人的平均身高是多少?‎ 解:原来的10个人的身高之和为17.4米,所以,这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米 ‎[例4]若有一个企业,70%的人年收入1万,25%的人年收入3万,5%的人年收入11万,求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数 解:年平均收入为1(万);中位数和众数均为1万 ‎3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表:‎ 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 ‎3000元 ‎450元 ‎350元 ‎400元 ‎320元 ‎320元 ‎410元 ‎(1)计算所有人员的月平均收入;‎ ‎(2)这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么?‎ ‎(3)去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的水平吗?‎ ‎(4)根据以上计算,以统计的观点对(3)的结果作出分析
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