高二数学导数的综合应用人教实验版（B）

高二数学导数的综合应用人教实验版（B）

高二数学导数的综合应用人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的综合应用 二. 学习目标 本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则； 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层 次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等 有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力 度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的 方法。 三. 考点分析 1、求函数  f x 极值的步骤： （1）导数  'f x ； （2）方程  'f x ＝0 的根； （3）检查  'f x ＝0 的根的左右区间对应的  'f x 的符号：若左正右负，则  f x 在 这个根处取得极大值；若左负右正，则  f x 在这个根处取得极小值。 （注：实质为‘解方程’，解关于 x 的方程  'f x ＝0） 2、设函数  f x 在 ,a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，求  f x 在 ,a b 上的最值的步骤： （1）求  f x 在 ( , )a b 内的极值； （2）将  f x 各极值与  f a ，  f b 比较，确定  f x 的最大和最小值。 3、求函数  f x 的单调区间：不等式  ' 0f x  的解集为  y f x 的增区间；不等式  ' 0f x  的解集为  y f x 的减区间。 （注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’） 4、几何意义：函数 y＝f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f（x）在点 P（x0， f（x0））处的切线的斜率。 5、常见函数的导函数 （1） 1aa ax)x(  （a 为常数） （2） '( ) ln ( 0, 1)x xa a a a a  且 （3） ' 1(log ) lna x x a  （4） '( )x xe e （5） ' 1(ln )x x  （6） '(sin ) cosx x （7） '(cos ) sinx x  【典型例题】 例 1. 已知函数 cbxaxxxf  23)( 在 2x 处有极值，其图象在 1x 处的切线平 行于直线 23  xy ，试求函数的极大值与极小值的差。 解： baxxxf  23)( 2 由于 )(xf 在 2x 处有极值 ∴ 0)2( f 即 0412  ba ① 又∵ 3)1( f ∴ 332  ba ② 由①②得 0,3  ba ∴ cxxxf  23 3)( 令 063)( 2  xxxf ，得 2,0 21  xx 由于在 )0,(x ， ),2( x 时， 0)(  xf )2,0(x 时， 0)(  xf ∴ )0(f 是极大值， )2(f 是极小值 ∴ 4)2()0(  ff 例 2. 已知 cxbxaxxf  23)( 在区间[0，1]上是增函数，在区间 ),1(),0,(  上是 减函数，又 .2 3)2 1( f （Ⅰ）求 )(xf 的解析式； （Ⅱ）若在区间 ],0[ m （m＞0）上恒有 )(xf ≤x 成立，求 m 的取值范围． 解：（Ⅰ） 2( ) 3 2f x ax bx c    ，由已知 (0) (1) 0f f   ， 即 0 3 2 0 c a b c      ， ，解得 0 3 2 c b a    ， ． 2( ) 3 3f x ax ax   ， 1 3 3 3 2 4 2 2 a af        ， 2a   ， 3 2( ) 2 3f x x x    ． （Ⅱ）令 ( )f x x≤ ，即 3 22 3 0x x x   ≤ ， (2 1)( 1) 0x x x   ≥ ， 10 2x ≤ ≤ 或 1x≥ ． 又 ( )f x x≤ 在区间 0 m， 上恒成立， 10 2m  ≤ ． 例 3. 函数 3 2( )f x x ax bx c    ，过曲线 ( )y f x 上的点 (1, ( ))P f x 的切线方程为 y ＝3x＋1 （1）若 ( ) 2y f x x  在 时有极值，求 ( )f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求 ( )y f x 在[－3，1]上的最大值； （3）若函数 ( )y f x 在区间[－2，1]上单调递增，求 b 的取值范围。 解：（1）由 3 2( )f x x ax bx c    求导数得 2( ) 3 2f x x ax b    过 ( )y f x 上点 (1, (1))P f 的切线方程为： (1) (1)( 1), ( 1) (3 2 )( 1)y f f x y a b c a b x          即 ， 而过 ( )y f x 上， (1, (1))P f 的切线方程为 3 1y x  故 3 2 3 2 1 a b a b c         即 2 0 3 a b a b c       ( )y f x 在 x＝－2 时有极值，故 ( 2)f   ＝0 4 12a b    ③ 由①②③式联立解得 2, 4, 5a b c    ， 3 2( ) 2 4 5f x x x x     （2） 2 2( ) 3 2 3 4 4 (3 2)( 2)f x x ax b x x x x          x [ 3 2)  －2 2( 2, )3  2 3 2( ,1]3 ( )f x ＋ 0 — 0 ＋ ( )f x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 3 2( ) ( 2) ( 2) 2( 2) 4( 2) 5 13f x f         极大 ， 3(1) 1 2 1 4 1 5 4f        ， ( )f x 在[－3，1]上最大值为 13。 （3） ( )y f x 在区间 [－2，1]上单调递增，又 2( ) 3 2f x x ax b    ， 由（1）知 2 0a b  ， 2( ) 3f x x bx b    依题意 ( )f x 在[－2，1]上恒有 2( ) 0, 3 0f x x bx b    即 在[－2，1]上恒成立。 ①当 16 bx   时， ( ) (1) 3 0f x f b b     小 ， 6b  ②当 26 bx    时， ( ) ( 2) 12 2 0f x f b b      小 ， b  ③当 162  bx 时， 212( ) 012 b bf x   小 ，∴0≤b≤6 综合上述讨论可知，所求参数 b 的取值范围是：b≥0。 例 4. 已知函数 2 2 2 1( ) ( )1 ax af x xx    R ，其中 aR ． （Ⅰ）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f， 处的切线方程； （Ⅱ）当 0a  时，求函数 ( )f x 的单调区间与极值． 本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法． （Ⅰ）解：当 1a  时， 2 2( ) 1 xf x x   ， 4(2) 5f  ， 又 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1) x x x xf x x x       · ， 6(2) 25f    ． 所 以 ， 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2))f， 处 的 切 线 方 程 为 4 6 ( 2)5 25y x    ， 即 6 2 32 0x y   ． （Ⅱ）解： 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)( ) ( 1) ( 1) a x x ax a x a axf x x x           ． 由于 0a  ，以下分两种情况讨论． （1）当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得到 1 1x a   ， 2x a ．当 x 变化时， ( ) ( )f x f x ， 的 变化情况如下表： ① ② x 1 a      ，∞ a 1 1 aa     ， a ( )a ， ∞ ( )f x  0  0  ( )f x  极小值  极大值  所以 ( )f x 在区间 1 a      ，∞ ， ( )a ， ∞ 内为减函数，在区间 1 aa     ， 内为增函数． 函数 ( )f x 在 1 1x a   处取得极小值 1f a     ，且 21f aa       ， 函数 ( )f x 在 ax 2 处取得极大值 ( )f a ，且 ( ) 1f a  ． （2）当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得到 1 2 1x a x a   ， ，当 x 变化时， ( ) ( )f x f x ， 的 变化情况如下表： x  a ，∞ a 1a a     ， 1 a  1 a     ，+ ∞ ( )f x  0  0  ( )f x  极大值  极小值  所以 ( )f x 在区间 ( )a ，∞ ， 1 a     ，+ ∞ 内为增函数，在区间 1a a     ， 内为减函数． 函数 ( )f x 在 1x a 处取得极大值 ( )f a ，且 ( ) 1f a  ． 函数 ( )f x 在 2 1x a   处取得极小值 1f a     ，且 21f aa       ． 【模拟试题】 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1、若函数 12)( 2  xxf 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1＋△x，1＋△y），则 x y   为（ ） A、4 x2 B、 xx 4 C、 x4 D、 2)(4 xx  2、设 ( ) |1 | ||f x x x  ，则 f  （0）为 A、0 B、1 C、－1 D、不存在 3、若 )(xf 为偶函数，且 )(xf  存在，则  )0(f （ ） A、0 B、1 C、 x D、x 4、若可导函数 )(xfy  的导数，即 )(xf  ＝0 只有一个实根 0xx  ，则（ ） A、 )( 0xf 是函数的最值 B、 )( 0xf 是函数的极值 C、 )(xf  在 0xx  的左右异号 D、当 )(xf 有极值时，其极值是 )( 0xf 5、函数 223)( abxaxxxf  ，在 1x 时有极值 10，则 a、b 值为（ ） A、 11,43,3  baba 或 B、 11,41,4  baba 或 C、 5,1  ba D、以上都不对 6、设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数，将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标 系中，不可能正确的是（ ） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 7、已知函数 dcxbxx)x(f 23  的图象过点 P（0，2），且在点 M ))1(,1(  f 处的切 线方程为 076  yx ，函数 )(xfy  的解析式为___________。 8、设点 P 是曲线 3 233  xxy 上的任意一点， P 点处切线倾斜角为 ，则角 的取 值范围是 。 9、已知函数 f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值 范围是 。 10 、 已 知 ( ) sin 2 , ,f x x x x R   且 (1 ) (2 ) 0f a f a   ， 则 a 的 取 值 范 围 是 。 三、解答题（本大题共 4 题，共 50 分） 11、已知函数 3 21( ) (2 ) 13f x ax bx b x     在 1x x 处取得极大值，在 2x x 处取得 极小值，且 1 20 1 2x x    ． （I）证明 0a  ； （II）若 z＝a＋2b，求 z 的取值范围。 12、设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c    在 1x  及 2x  时取得极值． （Ⅰ）求 a、b 的值； （Ⅱ）若对于任意的 [0 3]x ， ，都有 2( )f x c 成立，求 c 的取值范围． 13、设函数 2( ) ( )f x x x a   （ xR ），其中 aR ． （Ⅰ）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f， 处的切线方程； （Ⅱ）当 0a  时，求函数 ( )f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当 3a  时，证明存在  1 0k   ， ，使得不等式 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对 任意的 xR 恒成立． 14、设 a≥0，f （x）＝x－1－ln2 x＋2a ln x（x＞0）． （Ⅰ）令 F（x）＝xf＇（x），讨论 F（x）在（0，＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当 x＞1 时，恒有 x＞ln2x－2a ln x＋1． 【试题答案】 1、A 2、B 3、A 4、D 5、D 6、D 7、解：由 )(xf 的图象经过 P（0，2），知 d＝2， 所以 ,2)( 23  cxbxxxf .23)( 2 cbxxxf  由在 ))1(,1(  fM 处的切线方程是 076  yx ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6  fff 即 .3,0 ,32 .121 ,623            cbcb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 .233)( 23  xxxxf 8、 ),3 2[)2,0[   9、解：∵f'（x）＝3x2＋6ax＋3a＋6，令 f′（x）＝0，则 x2＋2ax＋a＋2＝0 又∵f（x）既有极大值又有极小值 ∴f’（x）＝0 必有两解，即△＝4a2－4a－8＞0 解得 a＜－1 或 a＞2。 10、（－∞，－1） 11、解：求函数 ( )f x 的导数 2( ) 2 2f x ax bx b     ． （Ⅰ）由函数 ( )f x 在 1x x 处取得极大值，在 2x x 处取得极小值，知 1 2x x， 是 ( ) 0f x  的两个根． 所以 1 2( ) ( )( )f x a x x x x    当 1x x 时， ( )f x 为增函数， ( ) 0f x  ，由 1 0x x  ， 2 0x x  得 0a  ． （Ⅱ）在题设下， 1 20 1 2x x    等价于 (0) 0 (1) 0 (2) 0 f f f         即 2 0 2 2 0 4 4 2 0 b a b b a b b             ． 化简得 2 0 3 2 0 4 5 2 0 b a b a b           ．此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线： 2 0 3 2 0 4 5 2 0b a b a b       ， ， ． 所围成的 ABC△ 的内部，其三个顶点分别为： 4 6 (2 2) (4 2)7 7A B C     ， ， ，， ， ． z 在这三点的值依次为16 6 87 ，，． 所以 z 的取值范围为 16 87      ， ． 12、解：（Ⅰ） 2( ) 6 6 3f x x ax b    ， 因为函数 ( )f x 在 1x  及 2x  时取得极值，则有 (1) 0f   ， (2) 0f   ． 即 6 6 3 0 24 12 3 0 a b a b        ， ． 解得 3a   ， 4b  ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c    ， 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x       ． 当 (01)x ， 时， ( ) 0f x  ； 当 (1 2)x ， 时， ( ) 0f x  ； 当 (2 3)x ， 时， ( ) 0f x  ． 所以，当 1x  时， ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c  ，又 (0) 8f c ， (3) 9 8f c  ． 则当  0 3x ， 时， ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c  ． 因为对于任意的  0 3x ， ，都有 2( )f x c 恒成立， 所以 29 8c c  ， 解得 1c   或 9c  ， 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )   ， ， ． 13、本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式 等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分 14 分． （Ⅰ）解：当 1a  时， 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x       ，得 (2) 2f   ，且 2( ) 3 4 1f x x x     ， (2) 5f    ． 所以，曲线 2( 1)y x x   在点 (2 2)， 处的切线方程是 2 5( 2)y x    ，整理得 5 8 0x y   ． （Ⅱ）解： 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a x       2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a         ． 令 ( ) 0f x  ，解得 3 ax  或 x a ． 由于 0a  ，以下分两种情况讨论． （1）若 0a  ，当 x 变化时， ( )f x 的正负如下表： x 3 a    ∞， 3 a 3 a a     ， a ( )a ，∞ ( )f x  0  0  因此，函数 ( )f x 在 3 ax  处取得极小值 3 af      ，且 34 3 27 af a      ； 函数 ( )f x 在 x a 处取得极大值 ( )f a ，且 ( ) 0f a  ． （2）若 0a  ，当 x 变化时， ( )f x 的正负如下表： x  a∞， a 3 aa     ， 3 a 3 a    ，∞ ( )f x  0  0  因此，函数 ( )f x 在 x a 处取得极小值 ( )f a ，且 ( ) 0f a  ； 函数 ( )f x 在 3 ax  处取得极大值 3 af      ，且 34 3 27 af a      ． （Ⅲ）证明：由 3a  ，得 13 a  ，当  1 0k   ， 时， cos 1k x ≤ ， 2 2cos 1k x ≤ ． 由（Ⅱ）知， ( )f x 在 1∞， 上是减函数，要使 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ ，xR 只要 2 2cos cos ( )k x k x x   R≤ 即 2 2cos cos ( )x x k k x   R≤ ① 设 2 2 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x        ，则函数 ( )g x 在 R 上的最大值为 2 ． 要使①式恒成立，必须 2 2k k ≥ ，即 2k ≥ 或 1k ≤ ． 所以，在区间  1 0 ， 上存在 1k   ，使得 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ≥ 对任意的 xR 恒成立． 14、本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不 等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力． （Ⅰ）解：根据求导法则有 2ln 2( ) 1 0x af x xx x     ， ， 故 ( ) ( ) 2ln 2 0F x xf x x x a x    ， ，于是 2 2( ) 1 0xF x xx x     ， ， 列表如下： x (0 2)， 2 (2 )， ∞ ( )F x  0  ( )F x  极小值 (2)F  故知 ( )F x 在 (0 2)， 内是减函数，在 (2 )， ∞ 内是增函数，所以，在 2x  处取得极小值 (2) 2 2ln 2 2F a   ． （Ⅱ）证明：由 0a≥ 知， ( )F x 的极小值 (2) 2 2ln 2 2 0F a    ． 于是由上表知，对一切 (0 )x ， ∞ ，恒有 ( ) ( ) 0F x xf x  ． 从而当 0x  时，恒有 ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 (0 )， ∞ 内单调增加． 所以当 1x  时， ( ) (1) 0f x f  ，即 21 ln 2 ln 0x x a x    ． 故当 1x  时，恒有 2ln 2 ln 1x x a x   ．