人教版 九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 培优训练

人教版 九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 培优训练

人教版 九年级数学 第 28 章 锐角三角函数 培 优训练 一、选择题 1. （2020·聊城）如图，在 4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， △ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 sin∠ACB 的值为（ ） A． 5 53 B． 5 17 C． 5 3 D． 5 4 2. (2019·湖北宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， △ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 A． 4 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 4 5 3. (2019•湖南长沙•3 分)如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离 灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的 南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是 A．30 3 nmile B．60nmile C．120nmile D．(30+30 3 )nmile 4. 如图，点 A,B,C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ） A. 6 2 B. 26 26 C. 13 26 D. 13 13 5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网格 的格点上，线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中∠QMB 的正切值是( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 D. 2 6. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB，点 A，B， C，D，O 在同一平面内)，已知 AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点 A 到 OC 的距离 等于 A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 7. 如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不 与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( ) A. (sinα，sinα) B. (cosα，cosα) C. (cosα，sinα) D. (sinα，cosα) 二、填空题 8. 如图，点 A(3，t)在第一象限，射线 OA 与 x 轴所夹的锐角为α，tanα＝3 2 ，则 t 的值是________． 9. 如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55°方向上的 B 处，此时 渔船与灯塔 P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8， cos55°≈0.6，tan55°≈1.4) 10. （2020·天水）如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sin∠ AOB 的值是________． 11. （2020·苏州）如图，已知 MON 是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半 径画弧，分别交OM 、ON 于点 A 、B ，再分别以点 A 、B 为圆心，大于 1 2 AB 长 为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC .过点 A作 AD ON ，交射线OC 于点 D ， 过 点 D 作 DE OC ， 交 ON 于 点 E . 设 10OA  ， 12DE  ， 则 sin MON  ________. 12. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为__________米．(精确到 1 米，参考 数据： 2  1.414， 3 1.732) 13. (2019•江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB=2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 __________． 14. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD ＝ 36 ，CD＝1,则BC的长为 . 三、解答题 15. 若河岸的两边平行，河宽为 900 米，一只船由河岸的 A 处沿直线方向开往对 岸的 B 处，AB 与河岸的夹角是 60°，船的速度为 5 米/秒，求船从 A 处到 B 处 约需时间几分．(参考数据： 3≈1.7) 16. 如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A 上看目标 B，D 的俯角分别为 30°，60°，此时无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A′处． (1)求 A，B 之间的距离； (2)求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值． 17. (2019•铜仁)如图，A、B 两个小岛相距 10km，一架直升飞机由 B 岛飞往 A 岛， 其飞行高度一直保持在海平面以上的 hkm，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45°和 60°，已知 A、B、P 和海平面上一点 M 都在同 一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(结果取整数， 3 ≈1.732) 人教版 九年级数学 第 28 章 锐角三角函数 培 优训练-答案 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】利用网格特征把∠ACB 放置于直角三角形中求正弦值．如图，在 Rt△ ACD 中，由勾股定理，得 AC＝ 22 CDAD  ＝ 22 34  ＝5，于是 sin∠ACB ＝ AC AD ＝ 5 4 ． A B C D 2. 【答案】D 【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°， ∴AC= 2 2AD CD = 2 23 4 =5．∴sin∠BAC= CD AC = 4 5 ．故选D． 3. 【答案】D 【解析】过 C 作 CD⊥AB 于 D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在 Rt△ACD 中，cos∠ACD= CD AC ，∴CD=AC•cos∠ACD=60× 3 2 =30 3 ． 在 Rt△DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30 3 ，∴ AB=AD+BD=30+30 3 ． 所以此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是(30+30 3 )nmile．故选 D． 4. 【答案】B 【解析】过点 B 作 BD⊥AC 于 D 点 D， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边 长为 1，根据勾股定理得 AB= 2 22 3 13  ，BD= 1 22 ,∴在 Rt△ABD 中，sin ∠BAC= 2 262 2613 BD AB   ,故选 B． 5. 【答案】D 【解析】如解图，将 AB 平移到 PE 位置，连接 QE, 则 PQ＝2 10， PE＝2 2，QE＝4 2，∵△PEQ 中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠ QMB ＝tan∠P＝QE PE ＝2. 6. 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，作 AF⊥OB 于点 F，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴ FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx， 故选 D． 7. 【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PC⊥OB 于点 C，则在 Rt△OPC 中， OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即 点 P 的坐标为(cosα，sinα)． 二、填空题 8. 【答案】9 2 【解析】如解图，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B.∵点 A(3，t)在第一象 限，∴OB＝3，AB＝t，在 Rt△ABO 中，tanα＝AB OB ＝t 3 ＝3 2 ，解得 t＝9 2. 9. 【答案】11 【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝1 2PA＝9 海里．∵∠B＝55°， sinB ＝PM PB ，∴0.8＝ 9 PB ，∴PB≈11 海里． 10. 【答案】 2 2 【解析】连接 AB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB 是等腰直角三角形，得到 ∠AOB＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB2＝12＋32＝10，OB2＝12＋32 ＝10，OA2＝22＋42＝20，∴AB2＋OB2＝OA2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠ AOB＝45°，∴sin∠AOB＝sin45°＝ 2 2 ． 11. 【答案】【答案】 24 25 12. 【答案】567 【解析】如图，设线段 AB 交 y 轴于 C， 在直角△OAC 中，∠ACO=∠CAO=45°，则 AC=OC． ∵OA=400 米，∴OC=OA•cos45°=400 2 2  200 2 (米)． ∵在直角△OBC 中，∠COB=60°，OC=200 2 米， ∴ 200 2 1cos60 2 OCOB    400 2 567(米) 故答案为：567． 13. 【答案】 3

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