北京市海淀区2021届高三上学期期末练习数学试题

北京市海淀区2021届高三上学期期末练习数学试题

2021 北京海淀高三（上）期末 数 学 2020.01 本试卷共 8 页，150 分。考试时常 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线 x2y 的准线方程是 （A） 2 1x （B） 4 1x （C） 2 1y  （D） 4 1y  （2）在复平面内，复数 i i 1 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）在 52x 的展开式中， 4x 的系数为 （A）5 （B） 5 （C）10 （D）10 （4）已知直线 02:  ayxl ，点 ），（ 11A  和点 ）（ 2,2B ，若 ABl // ，则实数 a 的值为 （A）1 （B） 1 （C） 2 （D） 2 （5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 （A） 2 （B） 4 （C）6 （D）12 （6）已知向量 a ，b 满足 1a ， ），（ 12b ，且 2ba ，则 ba （A） 1 （B）0 （C）1 （D） 2 （7）已知 ，  是两个不同的平面，“ ∥ ”的一个充分条件是 （A） 内有无数直线平行于  （B）存在平面 ，  ，   （C）存在平面 ， m   ， n   且 m n∥ （D）存在直线l ， l  ，l  （8）已知函数 2( ) 1 2sin ( )4f x x    则 （A） ( )f x 是偶函数 （B）函数 ( )f x 的最小正周期为 2π （C）曲线 ( )y f x 关于 π 4x   对称 （D） (1) (2)f f （9）数列 na 的通项公式为 2 3na n n  ， n N ，前 n 项和为 nS ，给出 下列三个结论： ①存在正整数 , ( )m n m n ，使得 m nS S ； ②存在正整数 , ( )m n m n ，使得 2m n m na a a a  ； ③记， 1 2 (1,2,3, )n nT a a a   则数列 nT 有最小项，其中所有正 确结论的序号是 （A） （B）③ （C）③ （D）②③ （10）如图所示，在圆锥内放入连个球 1O ， 2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中 粗线所示）分别为,⊙. 这两个球都与平面 a 相切，切点分别为 1F ， 2F ，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证 明了平面 a 与圆锥侧面的交线为椭圆， 1F ， 2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin 双球。若圆锥 的母线与它的轴的夹角为，, ⊙的半径分别为 1,4，点 M 为⊙上的一个定点，点 P 为椭圆上的一个动点，则从 点 P 沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 1PF 的长之和的最小值是 （A）6 （B）8 （C）3 3 （D） 4 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式 变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样 本中，高一学生有 16 人，则该样本中的高三学生人数为 . （12）设等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS .若 1S 、 2S 、 3a 成等差数列，则数列{ }na 的公比为 . （13）已知双曲线 2 2 12 yx   的左右焦点分别为 1 2,F F ，点 ( 3,4)M  ，则双曲线的渐近线方程为 ； 1 2MF MF  ; （14）已知函数 ( )f x 是定义域 R 的奇函数，且 0x  时， ( ) 1xf x ae  ，则 a  ， ( )f x 的值域是 ； （15）已知圆 2 2: ( 5) ( 2) 2P x y    ，直线 :l y ax ，点 (5,2 2)M  ，点 ( , )A s t . 给出下列 4 个结论： ①当 0a  ，直线 l 与圆 P 相离； ②若直线 l 圆 P 的一条对称轴，则 2 5a  ； ③若直线 l 上存在点 A，圆 P 上存在点 N ，使得 90MAN  ，则 a 的最大值为 20 21 ； ④ N 为圆 P 上的一动点，若 90MAN  ，则 t 的最大值为 5 2 8 4  . 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共 15 分）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1BCC B 为矩形， 1 1AC BCC B 平面 , ,D E 分别是棱 1AA ， 1BB 的中点. （Ⅰ）求证： 1 1AE B C D∥平面 （Ⅱ）求证: 1CC ABC 平面 (Ⅲ)若 1 2AC BC AA   ,求直线 AB 与 1 1B C D平面 所成角的正弦值. （17）（本小题共 14 分）若存在 ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的 三个条件并解答下列问题： （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 cosB 和 a 的值. 条件①： 3 3sin 14C  ； 条件②： 7 3a c ； 条件③： 1b a  ； 条件④： 5cos 2b A   （18）（本小题共 14 分） 某公司在 2013~2021 年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注： = 年返修台数年返修率 年生产台数 . （Ⅰ）从 2013~2020 年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率； （Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从 2013~2020 年中随机选出 3 年，记 表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数.求 的分布列和数学期望； （Ⅲ）记公司在 2013~2015 年，2016~2018 年，2019~2021 年的年生产台数的方差分别为 2 2 2 1 2 3, ,s s s .若 2 2 2 3 1 2max{ , }s s s ，其中 2 2 1 2max{ , }s s 表示 2 2 1 2,s s ，这两个数中最大的数.请写出 a 的最大值和最小值.（只需写出 结论） （注： 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       ，其中 x 为数据 1 2, , , nx x x 的平均数） （19）（本小题共 14 分）已知椭圆 ）（ 01: 2 2 2 2  bab y a xW 的离心率为 2 3 ，且经过点 ），（ 32C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长； （Ⅱ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点 D 在椭圆W 上，且位于 x 轴下方，直线CD 交 x 轴于点Q ，若 ACQ△ 的面积比 BDQ△ 的面积大 32 ，求点 D 的坐标. （20）（本小题共 14 分） 已知函数 ln( ) xf x x  . （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅱ）设 xxfxg  )()( ，求证： 1)( xg ； （Ⅲ）设 142)()( 22  aaxxxfxh .若存在 0x 使得 0)( 0 xh ，求 a 的最大值. （21）（本小题共 14 分）设 A 是由 )2(  nnn 个实数组成的 n 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所 有数的和是非负数，则称数表 A 是“ n 阶非负数表”. （Ⅰ）判断如下数表 1A ， 2A 是否是“ 4 阶非负数表”； （Ⅱ）对于任意“5阶非负数表” A ，记 )(sR 为 A 的第 s 行各数之和 ）（ 51  s ，证明：存在   5,4,3,2,1,, kji ， 使得 3)()()(  kRjRiR ； （Ⅲ）当 )N(2 * kkn 时，证明：对与任意“ n 阶非负数表” A ，均存在 k 行 k 列，使得这 k 行 k 列交叉处的 2k 个数之和不小于 k .