高考数学一轮复习专题11立体几何角的计算与证明特色训练

高考数学一轮复习专题11立体几何角的计算与证明特色训练

十一、立体几何角的计算与证明 一、选择题 1．【2017 年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： 3cm ） 是 A. +12  B. +32  C. 3 +12  D. 3 +32  【答案】A 2．【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试（一模）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积（单位： ）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3．如图（1）在正方形 中， 分别是边 的中点，沿 及 把这个正方形 折成一个几何体如图(2),使 三点重合于 , 下面结论成立的是( ) A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】A 【解析】证明： 在折叠过程中，始终有 ，即 平面 ，故选 A. 4．如图，在四面体 D ABC 中，若 D ABC ，AB=BC， AD CD ， E 是 AC 的中点， 则下列命题中正确的是（ ） A. 平面 ABC  平面 ABD B. 平面 ABD  平面 BCD C. 平面 ABC  平面 BDE ，且平面 ACD  平面 BDE D. 平面 ABC  平面 ACD ，且平面 ACD  平面 BDE 【答案】C 【解析】因为 AB BC ， AD CD ， E 是 AC 的中点 BE AC ， DE AC ⇒ AC  平面 BDE ，由面面垂直判定定理可得平面 ABC  平面 BDE ，平面 ADC  平面 BDE ，故 选 C. 5．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，点 E ， F ， G 分别是线段 1B B ， AB 和 1AC 上的动 点，观察直线CE 与 1D F ， CE 与 1D G ．给出下列结论： ①对于任意给定的点 E ，存在点 F ，使得 1D F CE ； ②对于任意给定的点 F ，存在点 E ，使得 1CE D F ； ③对于任意给定的点 E ，存在点G ，使得 1D G CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点 E ，使得 1CE D G ． 其中正确结论的个数是（ ）． A. 4 个 B. 3个 C. 2 个 D. 1个 【答案】C ②当点 E 与 1B 重合时， CE AB 且 1CE AD ，∴ CE  平面 1ABD ， ∵对于任意给定的点 F ，存在点 E ，使得 1CE D F ，故②正确． ③只有CE 垂直于 1D G 在平面 1BCC B 中的射影时， 1D G CE ，故③正确． ④只有CE  平面 1 1ACD 时，④才正确，因为过C 点的平面 1 1ACD 的垂线与 1BB 无交点，故 ④错误． 综上，正确的结论是②③，故选 C ． 6．在正三棱柱 中， ，点 、 分别是棱 、 的中点，若 ，则 侧棱 的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 7．【2018 届江西省南昌市高三上摸底】已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 满足 2 2, 90AB ACB    ， PA 为球O 的直径且 4PA  ，则点 P 到底面 ABC 的 距离为 A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 【答案】B 【解析】∵三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， PA 为球O 的直径且 4PA  ， ∴球心O 是 PA 的中点，球半径 1 22R OC PA   ，过O 作OD  平面 ABC ，垂足是 D ， ∵ ABC 满足 2 2AB  ， 90ACB   ，∴ D 是 AB 中点，且 2AD BD CD   ，∴ 2 2 4 2 2OD OC CD     ，∴点 P 到底面 ABC 的距离为 2 2 2d OD  ，故选 B． 8．【2017 届广东省广州高三下第一次模拟】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA  平面 ABC ， 2PA PB  ， 4AC  ，三棱锥 P ABC 的四个 顶点都在球O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）． A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π 【答案】C 9．【2018 届海南省八校高三上新起点联考】在三棱锥 P ABC 中， 1PA AB BC   ， 2AC PB  ， 3PC  ，则异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值为( ) A. 3 3 B. 3 4 C. 2 3 D. 2 4 【答案】A 【解析】 10．【2017 年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟（二）】如图，在四面体 P ABC 中， 已知 PA PB PC、 、 两两互相垂直，且 3PA PB PC   ．则在该四面体表面上与点 A 距离 为 2 3 的点形成的曲线段的总长度为（ ） A. 3 B. 3 3 2  C. 5 3 2  D. 3 3 【答案】B 【解析】 如图，设 2 3AE AF AG   ( E 在 AB 上， F 在 PB 上， G 在 PC 上)． 由 , ,PA PB PA PC PB PC   ， 3PA PB PC   ， 知 3PF PG  ， 6PAF   ， 4 6 12EAF       ． ∴在面 PAB 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段(图中弧 EF ) 长为 32 312 6    ． 同理，在面 PAC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段长为 3 6  ． 同理，在面 ABC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段长为 2 32 33 3    ． 同理，在面 PBC 内与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段长为 332 2    ． 所以，该四面体表面上与点 A 距离为 2 3 的点形成的曲线段的总长度为 3 3 2  ． 故选 B． 11．【2017 届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下第八次模拟】已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，其表面上的动点T 到底面 ABCD 的中心 O 的距离为 2 ，则 线段TO 的中点的轨迹长度为（ ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 12．【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知三棱锥 的四个顶点都在同一个 球面上，底面 满足 ，若该三棱锥体积最大值为 3，则其外接球的 表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 二、填空题 13．【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部 分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为____________，体积为 _________． 【答案】 18 2 3 20 3 【解析】： 由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， ∵正方体的棱长是 2， ∴三棱锥的体积 1 1 1 42 2 23 2 3V       ， ∴剩余部分体积 1 202 2 2 3V V     ， 截面为边长为 2 2 的正三角形，其面积为  23 2 2 2 34   则该几何体的表面积为 2 13 2 3 2 2 2 3 18 2 32         . 14．在正三棱锥 S ABC 中， M 是 SC 的中点，且 AM SB ，底面边长 2 2AB  ，则 正三棱锥 S ABC 的体积为__________，其外接球的表面积为__________． 【答案】 8 3 ， 12 15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月高考模拟】如图，正四面体 ABCD 的顶点C 在平 面 内，且直线 BC 与平面 所成角为15 ，顶点 B 在平面 上的射影为点 O ，当顶点 A 与 点O 的距离最大时，直线 CD 与平面 所成角的正弦值为__________. 【答案】 6 6 【解析】当四边形 ABOC 为平面四边形时，点 A 到点 O 的距离最大。 此时平面 ABOC⊥平面α，过 D 作 DN⊥平面 ABOC，垂足为 N， 则 N 为正三角形 ABC 的中心。 16．【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边 的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、 E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 _______. 【答案】 4 15 【解析】 三、解答题 17．【2017 浙江卷】如图，已知四棱锥 P-ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD， CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. （I）证明：CE∥平面 PAB； （II）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 【答案】（I）见解析；（II） 2 8 . （Ⅰ）取 PA 中点 F，构造平行四边形 BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取 BC，AD 的中点 M，N， 可得 AD⊥平面 PBN，即 BC⊥平面 PBN，过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MH．可知 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角．依此可在 Rt△MQH 中， 求∠QMH 的正弦值． 试题解析： （Ⅰ）如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB． 因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 / /EF AD且 1 2EF AD ， 又因为 / /BC AD ， 1 2BC AD ，所以 / /EF BC 且 EF BC ， 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 / /CE BF ， 因此 / /CE 平面 PAB． 所以 AD⊥平面 PBN， 由 BC//AD 得 BC⊥平面 PBN， 那么平面 PBC⊥平面 PBN． 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH． MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角． 设 CD=1． 在△PCD 中，由 PC=2，CD=1，PD= 2 得 CE= 2 ， 在△PBN 中，由 PN=BN=1，PB= 3 得 QH= 1 4 ， 在 Rt△MQH中，QH= 1 4 ，MQ= 2 ， 所以 sin∠QMH= 2 8 ， 所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 2 8 ． 18．【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试（一模）】如图，四面体 中， ，平面 平面 ． （1）求 的长； （2）点 是线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1） ；（2） . 试题解析：（1）∵ ， ， ， ∴ ， 又∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 由 ， ，得 ，∴ ， 又∵ ， ∴ ，又∵ ， ∴ ． 19．【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】如图，四棱锥 ,底面 为菱形， 平面 ， ， 为 的中点， . （I）求证：直线 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】试题分析：（1）易证 ，再在底面证明 ，从而目标得证；（2）连接 过 点作 于 点.由（1）易得 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，在 △PAE 中求出所成角的正弦值即可. 试题解析： （I）证明： ， 又 又 平面 , 直线 平面 . （方法二）如图建立所示的空间直角坐标系 . . 设平面 的法向量 ， .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 20．【2017 北京卷】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD， 点 M 在线段 PPD//平面 MAC，PA=PD= 6 ，AB=4． （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 3  （3） 2 6 9 试题解析：解：（I）设 ,AC BD 交点为 E ，连接 ME . 因为 PD  平面 MAC ，平面 MAC  平面 PBD ME ，所以 PD ME . 因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点. （II）取 AD 的中点O ，连接 OP ， OE . 因为 PA PD ，所以OP AD . 又因为平面 PAD  平面 ABCD ，且OP  平面 PAD ，所以OP 平面 ABCD . 因为OE  平面 ABCD ，所以OP OE . 因为 ABCD 是正方形，所以OE AD . 如图建立空间直角坐标系O xyz ，则  0,0, 2P ，  2,0,0D ，  2,4,0B  ，  4, 4,0BD   ，  2,0, 2PD   . 设平面 BDP 的法向量为  , ,n x y z ，则 0{ 0 n BD n PD       ，即 4 4 0 { 2 2 0 x y x z     . 令 1x  ，则 1y  ， 2z  .于是  1,1, 2n  . 平面 PAD 的法向量为  0,1,0p  ，所以 1cos , 2 n pn p n p   . 由题知二面角 B PD A  为锐角，所以它的大小为 3  . 21．【2018 届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图5,矩形 ABCD 中, AB 12,AD 6,  , E,F分别为 CD,AB 边上的点,且 DE 3,BF 4  ,将 BCE 沿 BE 折 起至 PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP,PF ,其中 PF 2 5 . (Ⅰ) 求证: PF ABED 平面 ； (Ⅱ) 在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ PBE 平面 ?若存在,求出点 Q 的位置；若不存在, 请说明理由. (Ⅲ) 求点 A 到 PBE平面 的距离. 【答案】（1）见解析；（2） 8 5 3 （Ⅲ） 由 PF⊥平面 ABED，知 PF 为三棱锥 P-ABE 的高，利用等积法能求出点 A 到平面 PBE 的距离． 试题解析： (Ⅰ)连结 EF ,由翻折不变性可知, 6PB BC  , 9PE CE  , 在 PBF 中, 2 2 220 16 36PF BF PB     , 所以 PF BF 在图1中,易得  226 12 3 4 61EF      , 在 PEF 中, 2 2 261 20 81EF PF PE     ,所以 PF EF 又 BF EF F  , BF  平面 ABED , EF  平面 ABED ,所以 PF  平面 ABED . (Ⅱ) 当Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, / /FQ 平面 PBE . 证明如下: 因为 2 3AQ AP , 2 3AF AB ,所以 / /FQ BP 又 FQ  平面 PBE , PB  平面 PBE ,所以 / /FQ 平面 PBE . （注：学生不写 FQ  平面 PBE ,扣 1 分） (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 PF  平面 ABED ,所以 PF 为三棱锥 P ABE 的高. 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 A PBE P ABEV V  , 即 1 1 3 3PBE ABES h S PF     ,又 1 6 9 272PBES     , 1 12 6 362ABES     , 所以 36 2 5 8 5 27 3 ABE PBE S PFh S       ,即点 A 到平面 PBE 的距离为 8 5 3 . 22.【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9 月月考】如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， ， , ABCD 平面 ABCD ， ,M N 分别是 ,BC PC 的中点. （1）证明： AM PAD 平面 ； （2）若 H 为 上的动点， 与平面 所成最大角 的正切值为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2） 15 5 试题解析：(1)证明：由四边形 ABCD 为菱形， 120BAD   ，可得 60ABC ABC   ， 为正三角形。 因为 M 为 BC 的中点，所以 AM BC ,又 BC AD ,因此 AM AD ， 因为 PA ABCD 平面 ， AM  平面 ABCD ，所以 PA AM ， 而 PA AD A  ，所以 AM PAD 平面 （2）设 H 为 PD 上任意一点，连接 AH 、 MH 所以 ADH =45 ，于是 2PA  因为 PA  平面 ABCD ， PC 平面 PAC ，所以平面 PAC  平面 ABCD ， 过 M 作 MO AC 于O ，则由面面垂直的性质定理可知: MO  平面 PAC , 所以 MO AN ，过过 M 作 MS AN 于 S ，连接OS ， AN  平面 MSO ， 所以 AN SO ,则 MSO 为二面角 M AN C  的平面角， 在 Rt AOM 中， 330 2OM AMsin   ， 330 2OA AMcos   又 N 是 PC 的中点， PA AC , AN PC  且 AN NC 在 Rt ASO 中， 3 245 4SO AOsin   ， 又 2 2SM MO SO  = 30 4 , 在 Rt MSO 中， cosMSO= SO SM = 15 5 即二面角 M AN C  的余弦值为 15 5 .