2020-2021学年高考数学（理）考点：随机事件的概率与古典概型

2020-2021学年高考数学（理）考点：随机事件的概率与古典概型

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：随机事件的概率与古典概型 ‎1．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且 P(A∪B)＝‎ P(A)＋P(B)‎ ‎＝1‎ ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ ‎4．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎5．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 概念方法微思考 ‎1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？‎ 提示　随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．‎ ‎2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？‎ 提示　当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．‎ ‎1．（2018•新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为　　‎ A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，‎ 所以不用现金支付的概率为：．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅰ）设为正方形的中心，在，，，，中任取3点，则取到的3点共线的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，，，中任取3点，共有种，‎ 即，，，，，，，，，十种，‎ 其中共线为，，和，，两种，‎ 故取到的3点共线的概率为，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者　　‎ A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 ‎【答案】B ‎【解析】第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，‎ 第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，‎ 因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名，‎ 故选．‎ ‎4．（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有种排法，‎ 再所有的4个人全排列有：种排法，‎ 利用古典概型求概率原理得：，‎ 方法二：假设两位男同学为、，两位女同学为、，所有的排列情况有24种，如下：‎ 其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为、、、、、‎ ‎、、、、、、，‎ 故两位女同学相邻的概率是：，‎ 故选．‎ ‎5．（2019•新课标Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：由题意，可知：‎ 根据组合的概念，可知：‎ 从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，‎ 恰有2只测量过该指标的所有情况数为．‎ ‎．‎ 法二：设其中做过测试的3只兔子为，，，剩余的2只为，，则从这5只中任取3只的所有取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，种，其中恰好有两只做过测试的取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，种，故恰有两只做过测试的概率为．‎ 故选．‎ ‎6．（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在所有重卦中随机取一重卦，‎ 基本事件总数，‎ 该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，‎ 则该重卦恰有3个阳爻的概率．‎ 故选．‎ ‎7．（2018•全国）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数，‎ 甲不在两端包含的基本事件个数，‎ 甲不在两端的概率．‎ 故选．‎ ‎8．（2018•新课标Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为　　‎ A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是女生的有种，‎ 故选中的2人都是女同学的概率，‎ ‎（适合文科生），设2名男生为，，3名女生为，，，‎ 则任选2人的种数为，，，，，，，，，共10种，其中全是女生为，，共3种，‎ 故选中的2人都是女同学的概率，‎ 故选．‎ ‎9．（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30‎ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，‎ 从中选2个不同的数有种，‎ 和等于30的有，，，共3种，‎ 则对应的概率，‎ 故选．‎ ‎10．（2017•天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，‎ 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，‎ 基本事件总数，‎ 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数，‎ 取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为．‎ 故选．‎ ‎11．（2017•山东）从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有种不同情况，‎ 且这些情况是等可能发生的，‎ 抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有种，‎ 故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率，‎ 故选．‎ ‎12．（2017•新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，‎ 基本事件总数，‎ 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 共有个基本事件，‎ 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则，‎ 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，‎ 故答案为：，．‎ ‎14．（2019•新课标Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________．‎ ‎【答案】0.98‎ ‎【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，‎ 有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，‎ 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：‎ ‎．‎ 故答案为：0.98．‎ ‎15．（2020•江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种，‎ 而点数和为5的事件为，，，，共4种，‎ 则点数和为5的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（2019•全国）若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】5个男生和2个女生随机排成一行，总共有种排法；‎ 两端都是女生的排法有：种；‎ 由古典概型可得两端都是女生的概率为：；‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2019•上海）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，‎ 总的基本事件个数为1000，‎ 其中恰有两位数字相同的个数为，‎ 则其中恰有两位数字相同的概率是；‎ 方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，‎ 总的基本事件个数为1000，‎ 其中三位数字均不同和全相同的个数为，‎ 可得其中恰有两位数字相同的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎18．（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，‎ 基本事件总数，‎ 选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：‎ ‎，‎ 选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎19．（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是___________（结果用最简分数表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，‎ 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，‎ 所有的事件总数为：，‎ 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，‎ 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：，‎ 故答案为：．‎ ‎20．（2018•江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为___________．‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，‎ 共有种，其中全是女生的有种，‎ 故选中的2人都是女同学的概率，‎ ‎（适合文科生），设2名男生为，，3名女生为，，，‎ 则任选2人的种数为，，，，，，，，，共10种，‎ 其中全是女生为，，共3种，‎ 故选中的2人都是女同学的概率，‎ 故答案为：0.3．‎ ‎21．（2017•上海）已知四个函数：①，②，③，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】给出四个函数：①，②，③，④，‎ 从四个函数中任选2个，基本事件总数，‎ ‎③④有两个公共点，．‎ 事件：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：‎ ‎①③，①④共2个，‎ 事件：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为（A）．‎ 故答案为：．‎ ‎22．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：‎ 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 ‎200人 ‎400人 ‎300人 ‎100人 方案二 ‎350人 ‎250人 ‎150人 ‎250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．‎ ‎（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；‎ ‎（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；‎ ‎（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件，“该校女生支持方案一”为事件，‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件，‎ 则；‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎23．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，设点集，，，，，‎ ‎，，，，，，，．令．从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．‎ ‎（1）当时，求的概率分布；‎ ‎（2）对给定的正整数，求概率（用表示）．‎ ‎【解析】（1）当时，的所有可能取值为1，，2，，‎ 的概率分布为；；‎ ‎；；‎ ‎（2）设和是从中取出的两个点，‎ 因为，所以只需考虑的情况，‎ ‎①若，则，不存在的取法；‎ ‎②若，，则，所以当且仅当，‎ 此时．或，，有两种情况；‎ ‎③若，，则，所以当且仅当，‎ 此时．或，，有两种情况；‎ ‎④若，，则，所以当且仅当，‎ 此时．或，，有两种情况；‎ 综上可得当，的所有值是或，‎ 且，，‎ 可得．‎ ‎24．（2019•天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为，，，，，．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．‎ 子女教育 〇 〇 〇 〇 继续教育 〇 〇 〇 大病医疗 〇 住房贷款利息 〇 〇 〇 〇 住房租金 〇 赡养老人 〇 〇 〇 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ 设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为，‎ 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，‎ 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；‎ ‎（Ⅱ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，共15种；‎ 由表格知，符合题意的所有可能结果为 ‎，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，共11种，‎ 所以，事件发生的概率．‎ ‎25．（2018•天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．‎ ‎（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．‎ 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ 设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，‎ 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．‎ ‎（Ⅱ）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，共21个．‎ 设抽取的7名学生中，来自甲年级的是，，，‎ 来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，‎ 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，‎ 则事件包含的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，共5个基本事件，‎ 事件发生的概率．‎ ‎26．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ ‎（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；‎ ‎（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）‎ ‎【解析】（Ⅰ）总的电影部数为部，‎ 获得好评的第四类电影，‎ 故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（Ⅱ）获得好评的电影部数为，‎ 估计这部电影没有获得好评的概率为，‎ ‎（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．‎ ‎27．（2017•全国）袋中有个白球和个黑球，．‎ ‎（1）若，，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；‎ ‎（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为，求．‎ ‎【解析】（1）记“一次随机抽取两个球，两个球颜色相同”为事件，则；‎ ‎（2）记“有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同”为事件，‎ 则两次取出的颜色都是白色的概率为，‎ 则两次取出的颜色都是黑色的概率为，‎ 由题意，，化简得，‎ 即，解得或，由，故．‎ ‎28．（2017•山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家，，和3个欧洲国家，，中选择2个国家去旅游．‎ ‎（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括但不包括的概率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家，，和3个欧洲国家，，中选择2个国家去旅游．‎ 从这6个国家中任选2个，基本事件总数，‎ 这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数，‎ 这2个国家都是亚洲国家的概率．‎ ‎（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ 这2个国家包括但不包括包含的基本事件有：，，，，共2个，‎ 这2个国家包括但不包括的概率．‎ 强化训练 ‎1．（2020•襄城区校级四模）排球比赛的规则是5局3胜制局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一：根据题意，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜，有3种情况，‎ 第三局乙队获胜，其概率为，‎ 第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，其概率为，‎ 第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，其概率为，‎ 则最后乙队获胜的概率；‎ 法二：根据题意，前2局中乙队以领先，‎ 若最后甲队获胜，甲队需要连胜三局，则甲队获胜的概率，‎ 则最后乙队获胜的概率；‎ 故选．‎ ‎2．（2020•九江二模）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，‎ 再随机选择两个档位各拨一颗下珠，‎ 依题意得所拨数字共有，‎ 所拨数字大于200包含两种情况：‎ ‎①上珠拨的是千位档或百位档，有种，‎ ‎②上珠拨的是个位档或十位档，则有种，‎ 所拨数字大于200包含的基本事件有种，‎ 则所拨数字大于200的概率为．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•衡阳一模）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件，‎ ‎，‎ 所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：‎ ‎（A）．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•丹东模拟）一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是　　‎ A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.95‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，‎ 故其概率．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•驻马店模拟）书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是　　‎ A．与是互斥事件 B．与是互斥事件 ‎ C．与是对立事件 D．，，两两互斥 ‎【答案】B ‎【解析】书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．‎ 设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；‎ 事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．‎ 在中，与是既不是对立也不是互斥事件，故错误；‎ 在中，与是互斥事件，故正确；‎ 在中，与是互斥事件，故错误．‎ 在中，与是既不是对立也不是互斥事件，故错误．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•西安二模）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件　　‎ A．是互斥事件，不是对立事件 ‎ B．是对立事件，不是互斥事件 ‎ C．既是互斥事件，也是对立事件 ‎ D．既不是互斥事件也不是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】2021年某省新高考将实行“”模式，‎ 即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，‎ 共有12种选课模式．某同学已选了物理，‎ 记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，‎ 则事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，‎ 故事件和是互斥事件，但不是对立事件，故正确．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•辽宁一模）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是　　‎ A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张 ‎ C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．‎ 其中甲获胜有3种，而乙只有1种，‎ 所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．‎ 所以甲得到的游戏牌为，乙得到游戏牌为；‎ 当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•江门模拟）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分两种情况3，1，1及2，2，1‎ 这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，‎ 当取球的个数是3，1，1时，‎ 试验发生包含的事件是，‎ 满足条件的事件数是 这种结果发生的概率是 同理求得第二种结果的概率是 根据互斥事件的概率公式得到 故选．‎ ‎9．（2020•镜湖区校级模拟）从集合，4，中随机抽取一个数，从集合，3，中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从集合，4，中随机抽取一个数，从集合，3，中随机抽取一个数，‎ 可以组成向量的个数是（个；‎ 其中与向量垂直的向量是和，共2个；‎ 故所求的概率为．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•Ⅱ卷模拟）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦《每一卦由三个爻组成，其中“─”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】含有两个阳爻的卦有3个，含有三个阳爻的卦有1个，‎ 从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，‎ 基本事件总数，‎ 这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻包含的基本事件个数，‎ 这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•衡阳三模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，‎ 各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．‎ 所以能被5整除的概率，‎ 故选．‎ ‎12．（2020•南充模拟）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的，两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的，两个城市支援，‎ 基本事件总数，‎ 每个城市至少有一名医生包含的基本事件个数，‎ 则每个城市至少有一名医生的概率．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•红河州三模）整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1184和1210，2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数分别写在完全相同的六张卡片上，从中任意抽取两张（不放回），则抽到的两个数恰好是一对“亲和数”的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】220和284，1184和1210，2924和2620是3对“亲和数”，‎ 把这六个数分别写在完全相同的六张卡片上，从中任意抽取两张（不放回），‎ 基本事件总数，‎ 抽到的两个数恰好是一对“亲和数”包含的基本事件个数，‎ 则抽到的两个数恰好是一对“亲和数”的概率．‎ 故选．‎ ‎14．（2020•河南模拟）2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设获得乒乓球奖牌的三名候选人为，，，‎ 获得跳远奖牌的三名候选人为，，，‎ 由题意，各选1名同学的基本事件有，，，‎ ‎，，，，，，共9种；‎ 设“2名同学性别相同”为事件，则事件包含4个基本事件，概率（E），‎ 所以选出的2名同学性别相同的概率是，‎ 故选．‎ ‎15．（2020•黄州区校级三模）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．现有四名志愿者医生被分配到、、三所不同的乡镇医院中，若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到医院的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】基本事件总数，‎ 医生甲恰好分配到到医院包含的基本事件个数，‎ 所以医生甲恰好分配到医院的概率为，‎ 故选．‎ ‎16．（2020•衡水模拟）在2020年初抗击新冠肺炎疫情期间，某医院派出了3名医生和包括甲，乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作．现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，则甲，乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，‎ 有种选法，‎ 甲，乙、丙这3名护士至少选中2人，‎ 有种选法，‎ 所求概率为，‎ 故选．‎ ‎17．（2020•青羊区校级模拟）从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】记2名男生为，，3名女生为，，，‎ 所有的结果为：，，，，，‎ ‎，，，，，一共有10种情况，‎ 符合条件的有：，，，‎ ‎，，，共6种情况，‎ 所以概率为，‎ 故选．‎ ‎18．（2020•武昌区校级模拟）2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北．某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，‎ 基本事件总数，‎ 医生甲和护士乙分到同一家医院包含的基本事件个数，‎ 则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为．‎ 故选．‎ ‎19．（2020•黄州区校级二模）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况：‎ ‎①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为；‎ ‎②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，‎ 所以，所求事件概率为：，‎ 故选．‎ ‎20．（2020•新乡三模）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为，，，那么点，，到原点的距离不超过3的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】所有点，，的情况共有种，‎ 点到原点的距离不超过3，‎ 即，，满足，满足条件的点有：‎ ‎，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，，2，，共7个，‎ 故点到原点的距离不超过3的概率为．‎ 故选．‎ ‎21．（2020•西安模拟）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为、，则“”的概率为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为、，‎ 基本事件总数，‎ 当时，可以从，中取两个数，‎ 从2，3，5，9中取两个数，‎ 包含的基本事件个数 则“”的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎22．（2020•新乡三模）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：‎ 乘坐站数 票价（元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．‎ ‎（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？‎ ‎（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率．‎ ‎【解析】（1）由题意知小华、小李乘坐地铁，其中一人不超过3站，‎ 另外一人超过3站不超过6站，‎ 设前3站依次为，，，，，，‎ 若小华乘坐地铁不超过3站，则他们下地铁的所有方案为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 同理，若小李乘坐地铁不超过3站，也有9种方案，‎ 小华、小李下地铁的方案共有种．‎ ‎（2）设9站依次分别为，，，，，，，，．‎ 小华、小李两人共付费4元，则车费情况可能有三种：‎ 小华付2元，小李付4元；小华付3元，小李付3元，小华付4元，小李付4元，‎ 由（1）中方法可知每类情况分别有9种下车方案，‎ 小华、小李两人共付6元共有27种下车方案，‎ 而小华比小李先下地铁的方案有12种：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 小华比小李先下地铁的概率为．‎ ‎23．（2020•江苏模拟）袋中装有5张分别写着1，2，3，4，5的卡片．‎ ‎（1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件两次抽取的卡片上的数相同的概率；‎ ‎（2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片．‎ ‎①求事件第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数的概率；‎ ‎②若第一次抽取的卡片上的数记为，第二次抽取的卡片上的数记为，求事件点在圆内的概率．‎ ‎【解析】（1）袋中装有5张分别写着1，2，3，4，5的卡片．‎ 从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，‎ 基本事件总数，‎ 事件两次抽取的卡片上的数相同，‎ 则事件包含的基本事件个数，‎ 事件两次抽取的卡片上的数相同的概率（A）．‎ ‎（2）①从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片．‎ 基本事件总数，‎ 事件第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数，‎ 则事件包含的基本事件有10个，分别为：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 事件第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数的概率为：‎ ‎．‎ ‎②第一次抽取的卡片上的数记为，第二次抽取的卡片上的数记为，‎ 基本事件总数，‎ 事件点在圆内，‎ 事件包含的基本事件有6个，分别为：‎ ‎，，，，，，‎ 事件点在圆内的概率为：‎ ‎（C）．‎ ‎24．（2020•罗湖区校级模拟）十九大报告要求，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰．农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：‎ 方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；‎ 方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元．‎ 扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得表：‎ 保养次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 台数 ‎1‎ ‎10‎ ‎19‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎2‎ 记表示1台机器在三年使用期内的保养次数．‎ ‎（1）用样本估计总体的思想，求“不超过3”的概率；‎ ‎（2）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用售价保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？‎ ‎【解析】（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过3次的台数共44台，‎ 故“不超过3”的概率为．‎ ‎（2）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为：‎ ‎（元．‎ 所以每年每台平均费用为元．‎ 在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为（元．‎ 所以每年每台平均费用为元．因为，‎ 所以扶贫办应选择第二种方案更合算．‎