阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测 数学试题（文科）

阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测 数学试题（文科）

阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测 数学试题（文科） （总分：150 分 时间：120 分钟 ） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。本试卷卷面分计 5 分。 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（60 分，每小题 5 分） 1．直线 3 1 0x y  - 的倾斜角为（ ） A.30 B. 60 C.120 D.150 2．若 (4,3) (5, ) (6, )A B a C b、 、 三点共线，则下列结论正确的是（ ） A． 2 3a b  B． 1b a  C． 3, 5a b  D． 2 3a b  3．已知直线 1l ：3 4 3 0x y   与直线 2l ：6 14 0x my   平行，则它们之间的距离 是（ ） A．1 B．2 C． 1 2 D．4 4．在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a  正确的是（ ） A． B． C． D． 5．不等式组 0 3 4 2 3 x x y x y        所表示的平面区域的面积等于（ ） A. 5 3 B. 5 4 C. 13 6 D. 5 6 6．点 (2,5)P 关于直线 1x y  的对称点的坐标是（ ） A. ( 4, 1)  B. ( 5, 2)  C. ( 6, 3)  D. ( 4, 2)  7．圆 x 2 ＋y 2 ＝50 与圆 x 2 ＋y 2 －12x－6y＋40＝0 的公共弦长为（ ） A． 5 B． 6 C．2 5 D．2 6 8．已知圆 02422  yxyx ，则过圆内一点  0,1E 的最短弦长为（ ） A. 3 B． 2 2 C． 2 3 D． 2 5 9．点  0 0,M x y 是圆  2 2 2 0x y a a   上一点，则直线 2 0 0x x y y a  与该圆的位置 关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 10.右图给出的是计算 1 1 1 1 2 4 6 20     的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的 条件是（ ） A． 20?i  B． 20?i  C． 10?i  D． 10?i  11.已知直线 3 kxy 与圆 4)2(3 22  yx ）（ 相交于 NM , 两点，若 32MN ，则 k的取值范围是（ ） A．       4 3, B．     0, 4 3 C．        3 3, 3 3 D．     0, 3 2 12.直线 l： bxy  与曲线 :C 21 xy  有两个公共点，则b的取值范围是（ ） A. 22  b B. 21  b C. 21  b D. 21  b 阆中中学校 2016年秋高 2015级第一学段教学质量检测 数学答题卷（文科） （总分：150 分 时间：120 分钟 命题教师：陈志明 审题教师：廖润生） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（60 分，每小题 5 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（20 分，每小题 5 分） 13.圆心在原点且与直线 4 0x y   相切的圆的方程为__________________． 14．如果实数 yx, 满足：         01 02 01 x yx yx ，则目标函数 yxz  4 的最大值为 ． 15.已知圆 2 2 2 4 3 0x y x y     关于直线 1 0( 0, 0)ax by a b     对称，则 1 2 a b  的最小值为 ． 16.设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 为两个不同的点,直线 : 0l ax by c   , 1 1 2 2 ax by c ax by c       . 有下列命题： ①不论 为何值,点 N 都不在直线 l上； ②若直线 l垂直平分线段 MN,则 =1； ③若 =-1,则直线 l经过线段 MN 的中点； ④若 1 ,则点 M、N 在直线 l的同侧且 l与线段 MN 的延长线相交. 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）. 三、解答题（本答题共 6 个小题，共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知直线 1 : 6 0l x my   与 2 : ( 2) 3 2 0l m x my m    ． (1) 当m为何值时， 1l 与 2l 平行； (2) 当m为何值时， 1l 与 2l 垂直. 18．（本小题满分 10 分） 已知圆C的圆心在直线 1y x  上，半径为 2，且圆C经过点 (5, 4)P ． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点  1,0A 且与圆 C 相切的切线方程 19．（本题满分 10 分） 某厂用甲、乙两种原料生产 A、B 两种产品，已知生产 1 吨 A 产品，1吨 B产品 分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在 现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？利润总额最大是多少？ 列产品和原料关系表如下： A产品 （1吨） B产品 （1吨） 总原料 （吨） 甲原料（吨） 2 5 10 乙原料（吨） 6 3 18 利润（万元） 4 3 产品 所需原料 原料 20．（本小题满分 10 分） 过点  2,1P 作直线 l交 x轴、 y 轴的正半轴于 ,A B两点，O为坐标原点． （1）当 AOB 的面积为 9 2 时，求直线 l的方程； （2）当 AOB 的面积最小时，求直线 l的方程． 21．（本小题满分 12 分） 已知平面直角坐标系中的动点M 与两个定点 1(26,1)M , 2 (2,1)M 的距离之比等于 5． （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记动点M 的轨迹为 C ,过点 ( 2,3)P  且斜率为 k的直线 l被C所截得的弦长为 8，求直线 l的方程． 22．（本小题满分 13 分） 已知圆C： 2 2 2 4 4 0x y x y     与直线 :l y x b  相交于不同的两点 A B、 ． （1）求实数b的取值范围； （2）是否存在直线 l，使得OA OB (其中O为坐标原点)，若存在，求出直线 l的 方程；若不存在，请说明理由． 阆中中学校 2016 年秋高 2015 级第一学段教学质量检测 数学试题参考答案及评分细则 1．A 2．A 3．B 4．C 5．D【解析】根据条件，作出可行域，如图所示， 联立方程组，解得 A(0，3),B(0， 3 4 ),C(1，1),则 3 5 AB ,C 点 到 AB 的 距 离 d=1 ， 所 以 6 51 3 5 2 1 2 1  dABS .故选 D. 6．A【解析】 由题可设 P（2,5）关于直线的对称点 P1（x,y），可由对应点的连线与对称轴垂直得， 1 1 1 1, 1PP PPk k   （ ） ，再由点斜式方程可得 P P1直线方程； 5 ( 2), +3 0y x x y     两直线方程联立 +3 0 + -1 0 x y x y     ，的中点坐标为（-1,2），可得 P1（-4，-1,） 7．C【解析】 两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为 0152  yx ，原 点到该直线的距离为 53 12 15 2    d ，则公共弦长为 52)53(5022 222  dr ，故 本题正确选项为 C. 8．C【解析】 圆的标准方程 2 2( 2) ( 1) 5x y    ，过点  0,1E 的最长弦为直径长 2 5，最短为与直径垂直的弦 长 2 3，故选 C． 9．A【解析】  0 0,M x y 是圆  2 2 2 0x y a a   上一点 2 2 2 0 0x y a  ,又圆心到直线 2 0 0x x y y a  的距离 2 2 2 0 0 a d a x y     ，故直线与圆相切． 10．C 11 ． B 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 ： 2 2 | 3 2 3 | | 3 1 | 1 1 k kd k k        ， 由 32MN 2 22 3 2 4 1d d     ， 2 38 6 0 0 4 k k k      ，故选 B. 12．C【解析】本题考查数形结合的思想方法. 由 21y x  得 2 2 1y x  ，先作出曲线 2 2 1y x  ，由于 0y  ，去掉此曲线上 x轴下方的部分即为 曲线 2: 1C y x  ；再作出直线 :l y x b  ，这是一族斜率为定值 1k  ，在 y轴上截距为 b的直线， 如图所示. 由图可知，当直线 l过且仅当    1,0 , 0,1A B 时，曲线 2: 1C y x  与直线 :l y x b  有两个交点， 此时 1b  ；当直线 :l y x b  与曲线 2: 1C y x  相切且切点在第二象限时，有唯一的公共点，此时 2b  .所以当直线 l： bxy  与曲线 c： 21 xy  有两个公共点，则 b 的取值范围是 21  b .故正确答案为 C. 13． 2 2 8x y  ． 14． 7 2 15．9 【 解 析 】 由 题 设 直 线 1 0( 0, 0)ax by a b     过 圆 心 )2,1(C , 即 2 1a b  , 因 1 1 1 2 2 B A 0l xo y 1 2 1 2 2 2( 2 )( ) 5 5 4 9b aa b a b a b a b           ,故应填 9. 16．①③④ 【解析】①因为 cbyax cbyax    22 11 中， 022  cbyax ，所以点  22 , yxN 不在直线 l上，本选 项正确； ②当 0b 时，根据 1 ，得到 1 22 11     cbyax cbyax  ，化简得 a b xx yy    12 12 ，即直线MN的斜 率为 a b  ，又直线 l的斜率为 a b  ，①知点 N 不在直线 l上，得到直线MN与直线 l平行， 当 0b 时，根据 1 ，得到 1 22 11     cbyax cbyax  ，化简得： 21 xx  ，直线MN与直线 l的斜率 不存在，都与 y 轴平行，①知点 N 不在直线 l上，得到直线MN与直线 l平行，综上，当 1 时， 直线MN与直线 l平行，本选项错误； ③当 1- 时， 1- 22 11     cbyax cbyax  ，化简得： 0 22 2121      cyybxxa ，而线段MN的 中点坐标为        2 , 2 2121 yyxx ，所以直线 l经过线段MN的中点，本选项正确； ④当 1 时， 1 22 11     cbyax cbyax  ，即    02211  cbyaxcbyax ，所以点 NM , 在直线 l的同侧，且 cbyaxcbyax  2211 ，得到点 NM , 到直线 l的距离不等，所以延长线于直 线 l相交，本选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：①③④. 17．（1）m=0 或 m=5 ；（2）m=-1 或 2 3 【解析】（1）当 m=0 时，l1 与l2 平行； 当 m=2 时，l1 与 l2 相交； 当 m 0 且 m 2 时，由 1 2 3 m m m     得 m=5，当 m=5 时 l1 与 l2平行； 综上，当 m=0 或 m=5 时 l1 与 l2平行；.................. 5 分； （2）当 m 0 且 m 2 时 1 2 =-1 3 m m m    （ ）（ ） 得 m=-1 或 2 3 ， 所以当 m=-1 或 2 3 时 l1 与 l2垂直．..................10 分。 18．（1）    2 24 5 2x y    （2） 23 ( 1) 7 y x  或 1y x  【解析】（1）设圆心为 ( , )a b ，圆方程为 2 2( ) ( ) 2x a y b    ……1分 由题意：    2 2 1 4 55 4 2 b a a ba b           .................. 4 分 圆方程为 2 2( 4 ) ( 5 ) 2x y    .................. 5 分 （2）设过点  1,0A 且与圆 c 相切的切线方程为 ( 1)y k x  即 1 0kx y   ……6分 圆心到切线的距离 2 4 5 2 1 k k k     解得： 2 3 7 k  或 1k  ……9分 故切线方程为 23 ( 1) 7 y x  或 1y x  ..................10 分 19．生产 A 产品 2．5 吨，B产品 1 吨时，总利润最大，为 13 万元 【解析】解：设生产 A、B 两种产品分别为 x 吨，y吨，其利润总额为 z 万元, ……1分 根据题意，可得约束条件为         0,0 1836 1052 yx yx yx 目标函数 z=4x+3y，..................4 分 作出可行域如图：..................7 分 由图可得直线 l 经过 P点时 z=4x+3y 取得最大值，..................8 分 由      1836 1052 yx yx ，解得交点 P )1, 2 5( ..................9 分 所以有 )(1313 2 54 万元Pz 所以生产 A 产品 2．5 吨，B产品 1 吨时，总利润最大，为 13 万元．……10 分 20．（1） 3 0x y   或 4 6 0x y   （2） 2 4 0x y   【解析】（1）设直线方程为 y-1=k（x-2），..................1 分 分别令 x=0，y=0 得 A（1-2k，0），B（0， 12 k  ），..................2 分 x 2 50 3 P( ,1) 5 2- y 6x+3y=18 2x+5y=10 故三角形 AOB 的面积为 1 12 1 2 2 S k k      = 9 2 ，..................3 分 解得 11, 4 k k    ，故所求直线为 3 0x y   或 4 6 0x y   ；............5 分 （2） 由（1）知 1 12 1 2 2 S k k      ..................6 分 = 1 1 1 1(2 )(1 2 ) 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 k k k k k k             =4，..................8 分 故 min 4S  ，此时 1 2 k   ， l的方程为 2 4 0x y   ．..................10 分 21.解：（1）由题意得： 1 2 5 MM MM  ,即 2 2 2 2 ( 26) ( 1) 5 ( 2) ( 1) x y x y        .................2 分 化简得： 2 2 2 2 23 0x y x y     ，即 2 2( 1) ( 1) 25x y    .................5 分 所以动点M 的轨迹方程是 2 2( 1) ( 1) 25x y    动点M 的轨迹是以 (1,1)为圆心，5 为半径的圆. .................6 分 （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 3 ( 2)y k x   ，即 2 3 0kx y k    圆心到直线 l的距离 2 3 2 1 k d k    .................8 分 由垂径定理得： 2 2 2 2 3 2 ( ) 4 5 1 k k     ，解之得： 5 12 k  .................10 分 所以直线 l的方程为 5 23 0 12 6 x y   ，即：5 12 46 0x y   .................12 分 22.解：（1）联立方程组 2 2 2 4 4 0 y x b x y x y        ，消去 y， 得到： 2 22 2( 1) 4 4 0x b x b b      ................2 分 圆C： 2 2 2 4 4 0x y x y     与直线 :l y x b  相交于不同的两点 A B、 .  2 24( 1) 8( 4 4) 0b b b       ................4 分 解之得： 3 3 2 3 3 2b      ................6 分 （2）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 那么 1 2 ( 1)x x b    ， 2 1 2 4 4 2 b bx x    .................8 分 所以 1 2 1 2( )( )y y x b x b   2 1 2 1 2( )x x b x x b    2 2 4 2 b b   .................10 分 假设存在直线 l，使得OA OB ,即 1 2 1 2 0x x y y   2 4 4 2 b b  + 2 2 4 2 b b  =0 解之得： 1b  或 4b   .................12 分 又因为 3 3 2 3 3 2b      所以存在直线 l： 1 0x y   或 4 0x y   满足题意. .................12 分