北师大版高三数学复习专题-集合与常用逻辑用语基础达标-第1章第3节

北师大版高三数学复习专题-集合与常用逻辑用语基础达标-第1章第3节

第一章 第三节 一、选择题 1．(文)(2014·湖南高考改编)设命题 p：任意 x∈R，x2＋1>0，则非 p 为( ) A．存在 x0∈R，x20＋1>0 B．存在 x0∈R，x20＋1≤0 C．任意 x0∈R，x20＋1<0 D．任意 x∈R，x2＋1≤0 [答案] B [解析] 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命 题 p 的否定为“存在 x0∈R，x20＋1≤0”，所以选 B. (理)(2014·湖南高考改编)已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在 命题①p 且 q；②p 或 q；③p 且(非 q)；④(非 p)或 q 中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [答案] C [解析] 由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故①p 且 q 为假命 题，②p 或 q 为真命题，③非 q 为真命题，则 p 且(非 q)为真命题，④非 p 为假命题，则(非 p)或 q 为假命题，所以选 C. 2．(文)若 p 是真命题，q 是假命题，则( ) A．p 且 q 是真命题 B．p 或 q 是假命题 C．非 p 是真命题 D．非 q 是真命题 [答案] D [解析] 根据命题真值表知，q 是假命题，非 q 是真命题． (理)命题 p：x2＋y2<0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( ) A．p 或 q B．p 且 q C．q D．非 p [答案] B [解析] 命题 p 为假，命题 q 为真，故 p 且 q 为假． 3．如果命题“非(p 或 q)”是假命题，则下列命题中正确的是( ) A．p、q 均为真命题 B．p、q 中至少有一个为真命题 C．p、q 均为假命题 D．p、q 中至多有一个为真命题 [答案] B [解析] “非(p 或 q)”是假命题，则命题“p 或 q”为真，所以 p、q 中至少有一个为真 命题． 4．(2013·新课标Ⅰ)已知命题 p：任意 x∈R,2x<3x；命题 q：存在 x∈R，x3＝1－x2，则 下列命题中为真命题的是( ) A．p 且 q B．非 p 且 q C．p 且非 q D．非 p 且非 q [答案] B [解析] 本题考查由“且”构成的复合命题的真假．由函数 y＝2x 与 y＝3x 的图像可判 断，当 x<0 时，2x>3x，p 为假，非 p 为真；由函数 y＝x3 与 y＝1－x2 的图像可判断 q 为真命 题，所以非 p 且 q 为真命题，选 B. 5．(2014·天津高考)已知命题 p：任意 x>0，总有(x＋1)ex>1，则非 p 为( ) A．存在 x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．存在 x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．任意 x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．任意 x≤0，总有(x＋1)ex≤1 [答案] B [解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>” 的否定为“≤”知选 B. 6．下列各组命题中，满足“p 或 q 为真”，且“非 p 为真”的是( ) A．p：0＝∅；q：0∈∅ B．p：在△ABC 中，若 cos2A＝cos2B，则 A＝B； q：y＝sinx 在第一象限是增函数 C．p：a＋b≥2 ab(a，b∈R)； q：不等式|x|>x 的解集为(－∞，0) D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 的面积被直线 x＝1 平分；q：椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的离心率为 e ＝1 2 [答案] C [解析] A 中，p、q 均为假，故“p 或 q 为假”，排除 A； B 中，cos2A＝cos2B⇔1－2sin2A＝1－2sin2B ⇔sin2A－sin2B＝0⇔(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝0 ⇒A－B＝0，故 p 为真，从而“非 p”为假，排除 B； C 中，p 为假，从而“非 p”为真，q 为真，从而“p 或 q”为真；D 中，p 为真，故非 p 为假． 二、填空题 7．(文)“若 a∉M 或 a∉P，则 a∉M∩P”的逆否命题是__________________________． [答案] 若 a∈M∩P，则 a∈M 且 a∈P [解析] 命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q 则非 p”，本题中“a∉M 或 a∉P”的 否定是“a∈M 且 a∈P”． (理)命题“如果 x－2＋(y＋1)2＝0，则 x＝2 且 y＝－1”的逆否命题为________． [答案] 如果 x≠2 或 y≠－1，则 x－2＋(y＋1)2≠0 8．命题 p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p 或 q 为真； ②p 或 q 为假；③p 且 q 为真；④p 且 q 为假；⑤非 p 为真；⑥非 q 为假．其中判断正确的 序号是________．(填上你认为正确的所有序号) [答案] ①④⑤⑥ [解析] p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，p 假 q 真，故①④⑤⑥正确． 9．(文)命题“存在 x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围为________． [答案] [－2 2，2 2] [解析] 由题意知命题“任意 x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以只需Δ＝9a2－ 4×2×9≤0， 即－2 2≤a≤2 2. (理)已知命题 p：任意 x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题非 p 是真命题，那么实数 a 的取 值范围是________． [答案] a≤1 3 [解析] 因为命题非 p 是真命题，所以命题 p 是假命题，而当命题 p 是真命题时，就是 不等式 ax2＋2x＋3>0 对一切 x∈R 恒成立，这时应有 a>0 Δ＝4－12a<0 ，解得 a>1 3 ，因此当命 题 p 是假命题，即命题非 p 是真命题时实数 a 的取值范围是 a≤1 3. 三、解答题 10．已知命题 p：存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根；命题 q：存在 实数 m，使方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根．若“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，求 m 的 取值范围． [分析] 利用已知条件构造关于 m 的不等式组，进而求得 m 的取值范围，注意命题真 假的要求． [解析] 存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，则 Δ＝m2－4>0 m>0 ，解 得 m>2，即 m>2 时，p 真． 存在实数 m，使方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根， 则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0， 解得 12 m≤1 或 m≥3 或 m≤2 14x－3 均成立； ②若 log2x＋logx2≥2，则 x>1； ③“若 a>b>0 且 c<0，则c a>c b ”的逆否命题是真命题； ④若命题 p：任意 x∈R，x2＋1≥1，命题 q：存在 x∈R，x2－x－1≤0，则命题 p 且(非 q)是真命题． 其中真命题为( ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ [答案] A [解析] 由 x2＋2x>4x－3 推得 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0 恒成立，故①正确；根据基本 不等式可知要使不等式 log2x＋logx2≥2 成立需要 x>1，故②正确；由 a>b>0 得 0<1 a<1 b ，又 c<0，可得c a>c b ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；④命题 p 是真命题，命题 q 是真 命题，所以 p 且(非 q)为假命题．所以选 A. 2．(2014·乐平模拟)若函数 f(x)＝x2＋a x(a∈R)，则下列结论正确的是( ) A．任意 a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．任意 a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．存在 a∈R, f(x)是偶函数 D．存在 a∈R, f(x)是奇函数 [答案] C [解析] 对于 A，只有当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立； 对于 B，当 a≤0 时不成立； 对于 D，不存在 a(a∈R)，使 f(x)是奇函数，因此只有 C 是正确的，即当 a＝0 时，有 f(x) ＝x2 是一个偶函数，因此存在这样的 a，使 f(x)是偶函数． 二、填空题 3．给定下列几个命题： ①“x＝π 6 ”是“sinx＝1 2 ”的充分不必要条件； ②若“p 或 q”为真，则“p 且 q”为真； ③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题． 其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序列号) [答案] ①③ [解析] ①中，若 x＝π 6 ，则 sinx＝1 2 ，但 sinx＝1 2 时，x＝π 6 ＋2kπ或5π 6 ＋2kπ(k∈Z)．故“x ＝π 6 ”是“sinx＝1 2 ”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令 p 为假命题，q 为真命题， 有“p 或 q”为真命题，而“p 且 q”为假命题，故②为假命题；③为真命题． 4．命题：“任意 x∈R，存在 m∈Z，m2－m0)取得最小值 4. [解析] (1)是真命题，因为对任意实数 x，y，都有 x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，∴x2＋ y2≥2xy. (2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件． (3)是假命题，因为 a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，当且仅当 a＝2，b＝－1 时等号成立，所以不存在实数 a，b，使(a－2)2＋(b＋1)2<0，即不存在实数 a≠2 且 b≠－1 使 a2＋b2－4a＋2b≤－5. (4)是真命题，因为存在实数 x＝2>0，使函数 f(x)＝x＋4 x(x>0)取得最小值 4. 6．(文)设命题 p：函数 f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增；q：关于 x 的方程 x2＋2x＋ loga 3 2 ＝0 的解集只有一个子集．若“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，求实数 a 的取值范围． [解析] 当命题 p 是真命题时，应有 a>1；当命题 q 是真命题时，关于 x 的方程 x2＋2x ＋loga 3 2 ＝0 无解， 所以Δ＝4－4loga 3 2<0，解得 10，设 p：函数 y＝cx 在 R 上递减；q：不等式 x＋|x－2c|>1 的解集为 R，如 果“p 或 q”为真，且“(非 p)或(非 q)”也为真，求 c 的范围． [分析] [解析] 由 p 知 01⇔c>1 2 ， 由于 p 或 q 为真，所以 p 和 q 中至少有一个为真，又“(非 p)或(非 q)”也为真，所以非 p 和非 q 中至少有一个为真，即 p 和 q 中至少有一个为假，故 p 和 q 中一真一假，所以 p 真 q 假或 p 假 q 真； 若 p 真 q 假，则 c 的范围是(0,1)∩ 0，1 2 ＝ 0，1 2 ； 若 p 假 q 真，则 c 的范围是[1，＋∞)∩ 1 2 ，＋∞ ＝[1，＋∞)； 因此 c 的范围是 0，1 2 ∪[1，＋∞)．