【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
第三节 二元一次不等式(组)与简单的
线性规划问题
[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不
等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出
一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
(
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一
侧的所有点组成的平面区
域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的相关概念
名称 意义
约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组)
线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z＝2x＋3y 等
线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问
题
[常用结论]
二元一次不等式表示的区域
(1)若 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．
(2)若 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上
方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1．下列各点中，不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在 x＋y－1≤0 表示的平面区域内，故
选 C.]
2．不等式组 x－3y＋6＜0，
x－y＋2≥0
表示的平面区域是( )
A B C D
C [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在 x－3y＋6＜0 表示的平面区
域内，点(0,0)在 x－y＋2≥0 表示的平面区域内，故选 C.]
3．已知 x，y 满足约束条件
y≤x，
x＋y≤1，
y≥－1，
则 z＝2x＋y＋1 的最大值、最小值
分别是( )
A．3，－3 B．2，－4
C．4，－2 D．4，－4
C [不等式组所表示的平面区域如图所示．
其中 A(－1，－1)，B(2，－1)，C
1
2
，1
2 ，
画直线 l0：y＝－2x，平移 l0 过 B 时，zmax＝4，
平移 l0 过点 A 时，zmin＝－2.]
4．投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方
米；投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米．现
某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示
为________．(用 x，y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨)
200x＋300y≤1 400，
200x＋100y≤900，
x≥0，
y≥0
[用表格列出各数据：
A B 总数
产品吨数 x y
资金 200x 300y 1 400
场地 200x 100y 900
所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. ]
考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．
①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为
虚线；
②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)．
(2)平面区域的形状问题主要有两种题型
①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，
但要注意对参数进行必要的讨论．
1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部
分表示)大致是( )
A B
C D
C [(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即 x－2y＋1≥0，
x＋y－3≤0，
或 x－2y＋1≤0，
x＋y－3≥0，
与选
项 C 符合．故选 C.]
2．若不等式组
x－y≥0，
2x＋y≤2，
y≥0，
x＋y≤a
表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取
值范围是( )
A．a≥4
3 B．0
0，且不等式组
y≤－x＋2，
y≤kx－1，
y≥0
所表示的平面区域如图所
示．
∵直线 y＝kx－1 与 x 轴的交点为
1
k
，0 ，
直线 y＝kx－1 与直线 y＝－x＋2 的交点为
3
k＋1
，2k－1
k＋1 ，
∴三角形的面积为1
2
× 2－1
k ×2k－1
k＋1
＝1
4
，
解得 k＝1 或 k＝2
7
，经检验，k＝2
7
不符合题意，
∴k＝1.]
4．若函数 y＝2x 图像上存在点(x，y)满足约束条件
x＋y－3≤0，
x－2y－3≤0，
x≥m，
则实数
m 的最大值为( )
A．1
2 B．1
C．3
2 D．2
B [在同一直角坐标系中作出函数 y＝2x 的图像及
x＋y－3≤0，
x－2y－3≤0，
x≥m，
所表
示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由图可知，当 m≤1 时，函数 y＝2x 的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故
m 的最大值为 1.]
(1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如 T1，
T4.
(2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、
线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通
过割补法计算面积．
考点 2 求目标函数的最值
求线性目标函数的最值
截距型：形如 z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式，通过求直
线的截距z
b
的最值间接求出 z 的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直
线的斜率大小关系．
(2018·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件
x－2y－2≤0，
x－y＋1≥0，
y≤0，
则 z＝3x＋2y 的最大值为________．
6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x＋2y＝
0，并平移该直线，当直线过点 A(2,0)时，目标函数 z＝3x＋2y 取得最大值，且 zmax
＝3×2＋2×0＝6.
]
[母题探究] 本例条件不变，试求 z＝3x－2y 的范围．
[解] z＝3x－2y 变形为 y＝3
2x－1
2z，由本例可行域知直线 y＝3
2x－1
2z 过 A 点
时截距取得最小值，而 z 恰好取得最大值，即 z＝6.
过 C 点时截距取得最大值而 z 恰好取得最小值，即 z＝－6，
∴z＝3x－2y 的范围为[－6,6]．
充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．
(2019·北京高考)若 x，y 满足|x|≤1－y，且 y≥－1，则 3x＋y 的最大
值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7
C [由题意
x－y＋1≥0，
x＋y－1≤0，
y≥－1
，作出可行域如图阴影部分所示.
设 z＝3x＋y，y＝z－3x，当直线 l0：y＝z－3x 经过点 C(2，－1)时，z 取最大
值 5.故选 C.]
求非线性目标函数的最值
非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：
(1)距离型： x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离， x－a2＋y－b2表示
点(x，y)与点(a，b)间的距离．
(2) 斜率型：y
x
表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－b
x－a
表示点(x，y)与点(a，
b)连线的斜率．
(2019·广州模拟)若实数 x，y 满足
x－y＋1≤0，
x≥0，
y≤2.
则y
x
的取值范围为
________．
[2，＋∞) [作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．
z＝y
x
表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y
x
的范围为直线 OB 的
斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)
由 x－y＋1＝0，
y＝2，
得 B(1,2)，所以 kOB＝2
1
＝2，即 zmin＝2，
所以 z 的取值范围是[2，＋∞)．]
[母题探究]
1．本例条件不变，则目标函数 z＝x2＋y2 的取值范围为________．
[1,5] [z＝x2＋y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此 x2＋y2 的最小值为 OA2，最大值为 OB2.
易知 A(0,1)，所以 OA2＝1，
OB2＝12＋22＝5，所以 z 的取值范围是[1,5]．]
2．本例条件不变，则目标函数 z＝y－1
x－1
的取值范围为______．
(－∞，0] [z＝y－1
x－1
可以看作点 P(1,1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率．易
知点 P(1,1)与 A(0,1)连线的斜率最大，为 0.无最小值．所以 z 的取值范围是(－∞，
0]．]
求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意
义及转化的等价性，如 x2＋y2 是距离的平方，易忽视平方而求错，y－1
x－1
是点(x，y)
与(1,1)连线的斜率，易误认为点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率．
(2019·海南五校模拟)已知实数 x，y 满足不等式组
x＋y≤2，
x－y≥－2，
y≥1，
则(x－3)2＋(y＋2)2 的最小值为________．
13 [画出不等式组
x＋y≤2，
x－y≥－2，
y≥1
表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y
＋2)2 表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，
当(x，y)为直线 x＋y＝2 与 y＝1 的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2 取得最小值，最
小值为 13.]
求参数值或取值范围
由目标函数的最值求参数的 2 种基本方法
一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目
标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离
含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的
位置，从而求出参数．
(1)已知 z＝2x＋y，其中实数 x，y 满足
y≥x，
x＋y≤2，
x≥a，
且 z 的最大值
是最小值的 4 倍，则 a 的值是( )
A. 2
11 B.1
4 C.4 D.11
2
(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量 x，y 满足
3x－y－1≥0，
3x＋y－11≤0，
y≥2，
且 z＝ax－
y 的最小值为－1，则实数 a 的值为________．
(1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：
由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z，
由图可知当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值．
由 x＋y＝2，
y＝x，
解得 x＝1，
y＝1，
即 A(1,1)，
zmax＝2×1＋1＝3.
当直线 y＝－2x＋z 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小．
由 x＝a，
y＝x，
解得 x＝a，
y＝a，
则点 B(a，a)．
∴zmin＝2×a＋a＝3a，
∵z 的最大值是最小值的 4 倍，
∴3＝4×3a，即 a＝1
4.
(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a≥3，
则直线 z＝ax－y 经过点 B(1,2)时，z 取得最小值，由 a－2＝－1，得 a＝1，与 a≥3
矛盾；若 0
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