人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-1第2课时两个计数原理的综合应用word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-1第2课时两个计数原理的综合应用word版含解析

第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 2 课时 两个计数原理的综合应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本， 则购买方案有( ) A．3 种 B．6 种 C．7 种 D．9 种 解析：买一本，有 3 种方案；买两本，有 3 种方案；买三本有 1 种方案．因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)． 答案：C 2．从 1，2，3，4，5 五个数中任取 3 个，可组成不同的等差数列 的个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：分两类：第一类，公差大于 0，有以下 4 个等差数列：①1， 2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于 0，也 有 4 个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有 4 ＋4＝8(个)． 答案：D 3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取 1 个元素作为点的坐标， 则在直角坐标系中能确定不同点的个数为( ) A．12 B．11 C．24 D．23 解析：先在{1，2，3}中取出 1 个元素，共有 3 种取法，再在{1，4， 5，6}中取出 1 个元素，共有 4 种取法，取出的 2 个数作为点的坐标有 2 种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有 N＝3×4×2＝ 24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有 24－1＝23(个)． 答案：D 4．要把 3 张不同的电影票分给 10 个人，每人最多一张，则有不 同的分法种数是( ) A．2 160 B．720 C．240 D．120 解析：可分三步：第一步，任取一张电影票分给一人，有 10 种不 同分法；第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票， 不能再参与，故有 9 种不同分法；第三步，前面两人已得电影票，不 再参与，因而剩余最后一张有 8 种不同分法．所以不同的分法种数是 10×9×8＝720(种)． 答案：B 5．用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样 的四位数的个数是( ) A．20 B．16 C． 14 D．12 解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取 2 或 3)，其中 四个数字全是 2 或 3 的不合题意，所以适合题意的四位数共有 2×2×2×2－2＝14(个)． 答案：C 二、填空题 6．3 位旅客投宿到 1 个旅馆的 4 个房间(每房间最多可住 3 人)有 ________种不同的住宿方法． 解析：分三步，每位旅客都有 4 种不同的住宿方法，因而共有不 同的方法 4×4×4＝43＝64(种)． 答案：64 7．甲、乙、丙 3 个班各有三好学生 3，5，2 名，现准备推选 2 名 来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种 不同的推选方法． 解析：分为三类： 第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选 法有 3×5＝15(种)； 第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选 法有 3×2＝6(种)； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选 法有 5×2＝10(种)． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有 15＋6＋10 ＝31(种)． 答案：31 8．下图的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图 案为 L 形，那么在由 3×5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置 的 L 形图案的个数为________(注：其他方向的也是 L 形)． 解析：每四个小正方形图案都可画出四个不同的 L 形图案，该图 中共有 8 个这样的小正方形．故可画出不同的位置的 L 形图案的个数 为 4×8＝32. 答案：32 三、解答题 9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 28 人，A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人． (1)从中任选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ 解：从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法，从 A 型血的人 中选 1 人有 7 种不同的选法，从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选 法，从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法． (1)任选 1 人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选 1 人去 献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法 有 28＋7＋9＋3＝47(种)． (2)要从四种血型的人中各选 1 人，即从每种血型的人中各选出 1 人后，“各选 1 人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理， 不同的选法有 28×7×9×3＝5 292(种)． 10．由 1，2，3，4 可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多 只能是四位数)? 解：组成的自然数可以分为以下四类： 第一类：一位自然数，共有 4 个； 第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字， 再取出个位上的数字，共有 4×4＝16(个)； 第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从 4 个 不同的数字中任取一个，共有 4×4×4＝64(个)； 第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从 4 个 不同的数字中任取一个，共有 4×4×4×4＝256(个)． 由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为 4＋16＋64＋256＝340(个)． B 级 能力提升 1．用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部 使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A．36 个 B．18 个 C．9 个 D．6 个 解析：分 3 步完成，1，2，3 这三个数中必有某一个数字被重复使 用 2 次． 第 1 步，确定哪一个数字被重复使用 2 次，有 3 种方法； 第 2 步，把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有 3 种方法； 第 3 步，将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上，有 2 种方法． 故可组成的不同的四位数有 3×3×2＝18(个)． 答案：B 2．把 9 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个箱子里，要求每 个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________ 种． 解析：分四类：第一个箱子放入 1 个小球，将剩余的 8 个小球放 入 2，3 号箱子，共有 4 种放法；第一个箱子放入 2 个小球，将剩余的 7 个小球放入 2，3 号箱子，共有 3 种放法；第一个箱子放入 3 个小球， 将剩余的 6 个小球放入 2，3 号箱子，共有 2 种放法；第一个箱子放入 4 个小球则共有 1 种放法．根据分类加法计数原理共有 10 种情况． 答案：10 3．某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所 示的 6 个点 A，B，C，A1，B1，C1 上各装一个灯泡，要求同一条线段 两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 多少种？ 解：第一步，在点 A1，B1，C1 上安装灯泡，A1 有 4 种方法，B1 有 3 种方法，C1 有 2 种方法，4×3×2＝24，即共有 24 种方法． 第二步，从 A，B，C 中选一个点安装第 4 种颜色的灯泡，有 3 种 方法． 第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有 3 种方法，由分步乘 法计数原理可得，安装方法共有 4×3×2×3×3＝216(种)．