2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

第 1 课时　函数的表示法 必备知识 · 自主学习 1. 表示函数的三种方法 导思 在初中我们学习了哪些表示函数的方法？ 解析法 用 ___________ 表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出 _____ 来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用 _____ 表示两个变量之间的关系 2. 本质：两个变量对应关系的三种不同方式的表示 . 3. 应用：表示函数的两个变量之间的对应关系 . 数学表达式 表格 图象 【 思考 】 函数的三种表示方法各有哪些优缺点？ 提示： 表示方法 优点 缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数关系 图象法 能形象直观地表示出函数的变换情况 只能近似地求出函数值，而且有时误差较大 解析法 (1) 简明、全面地概括了变量间的关系，从 “ 数 ” 的方面揭示了函数关系； (2) 可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 任何一个函数都可以用图象法表示出来 . ( 　　 ) (2) 任何一个函数都可以用解析法表示出来 . ( 　　 ) (3) 函数的图象一定是连续不断的曲线 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 如函数 f(x)= 就不能画出函数的图象 . (2)×. 如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示 . (3)×. 如 y= 的图象就是不连续的曲线 . 2. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，其中点 A ， B 的坐标分别为 (0 ， 3) ， (3 ， 0) ，则 f(f(0))= ( 　　 ) A.2 B.4 C.0 D.3 【 解析 】 选 C. 结合题图可得 f(0)=3 ，则 f(f(0))=f(3)=0. 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x(x 为正整数 ) 与收款数 y 之间的函数关系，用解析法表示 y=____.  【 解析 】 用解析法表示 y=3 000x ， x∈{1 ， 2 ， 3 ， … ， 10}. 答案： 3 000x ， x∈{1 ， 2 ， 3 ， … ， 10} 关键能力 · 合作学习 类型一　函数的表示方法 ( 数学建模 ) 【 题组训练 】 1. 已知 x∈Q 时， f(x)=1 ； x 为无理数时， f(x)=0 ，我们知道函数表示法有三种：①列表法，②图象法，③解析法，那么该函数 y=f(x) 应用 _______ 表示 ( 填序号 ).  2. 某问答游戏的规则是：共 5 道选择题，基础分为 50 分，每答错一道题扣 10 分，答对不扣分 . 试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x(x∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}) 之间的函数关系 . 【 解析 】 1. 因为 Q 和无理数的元素无法具体表示， 所以①列表法，②图象法，都无法建立 x 和 y 之间的对应关系，所以不能表示函数 y=f(x). ③ 利用解析法表示为 f(x)= 答案： ③ 2.(1) 列表法，列出参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}) 之间的函数关系为： x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 (2) 图象法，画出参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}) 之间的函数关系如图： (3) 解析法，参赛者得分 y 与答错题目道数 x(x∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}) 之间的函数关系为： y=50-10x ， x∈{0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}. 【 解题策略 】 关于函数的三种表示方法 三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系，各有优缺点，在解题的过程中，可以选取最适合的方法表示函数 . 【 补偿训练 】 某公共汽车，行进的站数与票价关系如表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了列表之外，能否用其他方法表示？ 【 解析 】 设票价为 y 元，行进的站数为 x ， 解析法： y= 图象法： 类型二　函数的图象及其应用 ( 直观想象 ) 【 典例 】 1.(2020· 徐州高一检测 ) 函数 y= 的图象的大致形状是 ( 　　 ) 2. 已知函数 f(x)=x 2 -2x(-1≤x≤2). (1) 画出 f(x) 图象的简图 . (2) 根据图象写出 f(x) 的值域 . 【 思路导引 】 1. 分 x>0 ， x<0 两种情况作出判断 . 2. 先作出图象，再根据图象写值域 . 【 解析 】 1. 选 C. 函数的定义域为 {x|x≠0} ， 当 x>0 时， y= =-x ； 当 x<0 时， y= =x ，则对应的图象为 C. 2.(1)f(x) 图象的简图如图所示 . (2) 观察 f(x) 的图象可知， f(x) 图象上所有点的纵坐标的取值范围是 [-1 ， 3] ，即 f(x) 的值域是 [-1 ， 3]. 【 解题策略 】 画函数图象的两种常见方法 (1) 描点法： 一般步骤： ①列表 —— 先找出一些 ( 有代表性的 ) 自变量 x ，并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x) ，用表格的形式表示出来； ②描点 —— 从表中得到一系列的点 (x ， f(x)) ，在坐标平面上描出这些点； ③连线 —— 用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来 . (2) 变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等 . 【 跟踪训练 】 作出下列函数的图象并写出其值域 . (1)y=-x ， x∈{0 ， 1 ， -2 ， 3}. (2)y= ， x∈[2 ， +∞). 【 解析 】 (1) 列表 x -2 0 1 3 y 2 0 -1 -3 函数图象只是四个点 (-2 ， 2) ， (0 ， 0) ， (1 ， -1) ， (3 ， -3) ，其值域为 {0 ， -1 ， 2 ， -3}. (2) 列表 x 2 3 4 … y 1 … 当 x∈[2 ， +∞) 时，图象是反比例函数 y= 的一部分，观察图象可知其值域为 (0 ， 1]. 【 拓展延伸 】 关于图象变换的常见结论有哪些？ 提示： (1)y=f(x) 与 y=f(-x) 的图象关于 y 轴对称 . (2)y=f(x) 与 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称 . (3)y=f(x) 与 y=-f(-x) 的图象关于点 (0 ， 0) 对称 . (4)y=f(|x|) 是保留 y=f(x) 的 y 轴右边的图象，去掉 y 轴左边的图象，且将右边图象沿 y 轴对折而成 . (5)y=|f(x)| 是保留 y=f(x) 的 x 轴上方的图象，将 x 轴下方的图象沿 x 轴对折且去掉 x 轴下方的图象而成 . 【 拓展训练 】 已知函数 y=f(x) 的图象如图所示，则函数 y=f(|x|) 的图象为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 函数 y=f(|x|)= ， x≥0 时，函数 y=f(|x|) 的图象与 函数 y=f(x) 的图象相同，当 x<0 时， f(x) 的图象与 x>0 时的图象关于 y 轴对称 . 所以函数 y=f(|x|) 的图象为： . 类型三　求函数的解析式 ( 逻辑推理、数学运算 ) 　角度 1 　待定系数法  【 典例 】 一辆中型客车的营运总利润 y( 单位：万元 ) 与营运年数 x(x∈N) 的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是 _______ ，营运 10 年的总利润是 _______ 万元 .  x/ 年 4 6 8 … y 是 x 的二次函数 7 11 7 … 【 思路导引 】 由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数；求出函数的解析式，计算营运 10 年的总利润 . 【 解析 】 由表格数据可知， f(4)=f(8)=7.f(6)>f(8) ，则二次函数开口向下，且对称轴为 x=6 ，根据二次函数的性质可知，当 x=6 时，营运总利润 y 最大为 11 ；设 y=a(x-6) 2 +11 ，则 a(4-6) 2 +11=7 ，解得 a=-1 ，所以当 x=10 时， y=-5. 答案： 6 　 -5 　角度 2 　代入法  【 典例 】 若 则 f(x)=_______.  【 思路导引 】 令 t=1+ ，换元求解析式 . 【 解析 】 设 t=1+ ，则 t≠1 ， =t-1 ， 因为 所以 f(t)=(t-1) 2 -1=t 2 -2t ， 所以 f(x)=x 2 -2x ， (x≠1). 答案： x 2 -2x ， (x≠1) 【 变式探究 】 本例中若已知 ，试求函数的解析式及定义域 . 【 解析 】 因为 = -2 ， 令 t=x+ ，所以 f(t)=t 2 -2 ， 因为 x>0 ，所以 t=x+ ≥2 =2 ， 当且仅当 x=1 时等号成立，所以 f(x)=x 2 -2(x≥2). 　角度 3 　解方程组法  【 典例 】 已知 2f(x)+f( )=3x ，求 f(x). 【 思路导引 】 用 替换 x ，代入后消去 f( ). 【 解析 】 因为 2f(x)+f( )=3x ， 用 替换 x 得 2f( )+f(x)= ， 消去 f( ) 得 3f(x)=6x- ，所以 f(x)=2x- . 【 解题策略 】 1. 待定系数法求解析式 根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法： 正比例函数 y=kx ， k≠0 反比例函数 y= ， k≠0 一元一次函数 y=kx+b ， k≠0 一元二次函数 一般式： y=ax 2 +bx+c ， a≠0 顶点式： y=a(x-h) 2 +k ， a≠0 两点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) ， a≠0 2. 换元法求函数的解析式 已知复合函数 f(g(x)) 的解析式，令 t=g(x) ， 当 x 比较容易解出时，可以解出 x 换元代入； 当 x 不容易解出时，可以考虑先构造， 如 f(1+ )=x 2 + =(x+ ) 2 -2 ，令 t=x+ ，换元代入 . 换元法还要注意换元 t 的范围 . 3. 解方程组法求函数的解析式 方程组法 ( 消去法 ) ，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的 f(-x) ， f(x) 的函数方程，通过对称规律再构造一个关于 f(-x) ， f(x) 的方程，联立解出 f(x). 【 题组训练 】 1. 已知函数 φ (x)=f(x)+g(x) ，其中 f(x) 是 x 的正比例函数， g(x) 是 x 的反比例 函数，且 φ ( )=16 ， φ (1)=8 ，则 φ (x) 的解析式为 _______.  【 解析 】 设 f(x)=mx(m≠0) ， g(x)= (n≠0) ，所以 φ (x)=mx+ ， 由 φ ( )=16 ， φ (1)=8 得 解得 故 φ (x)=3x+ ， x≠0. 答案： φ (x)=3x+ ， x≠0 2. 已知 f( )= ，那么 f(x)=_______ ，定义域为 _______.  【 解析 】 由 f( )= 可知，函数的定义域为 {x|x≠0 ， x≠-1} ， 用 替换 x ，代入上式得： f(x)= 答案： {x|x≠0 ， x≠-1} 3. 已知 f(x)+2f(-x)= ，求 f(x). 【 解析 】 因为 f(x)+2f(-x)= ，① 用 -x 替换 x 得 f(-x)+2f(x)=- ，② ② ×2-① 得 3f(x)=- - =- ， 所以 f(x)=- . 【 补偿训练 】 　　 已知 f(x) 满足 f(x)=2f( )+x ，则 f(x) 的解析式为 _______.  【 解析 】 因为 f(x)=2f( )+x ，用 替换 x 得 f( )=2f(x)+ ， 代入上式得 f(x)= 解得 f(x)= . 答案： f(x)= 课堂检测 · 素养达标 1. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象 . 由图象可知，下列说法中错误的是 ( 　　 ) A. 这天 15 时的温度最高 B. 这天 3 时的温度最低 C. 这天的最高温度与最低温度相差 13℃ D. 这天 21 时的温度是 30℃ 【 解析 】 选 C. 这天的最高温度与最低温度相差为 36-22=14(℃). 2. 已知函数 f(x) 满足： f( )=8x 2 -2x-1 ，则 f(x)=( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2x 4 +3x 2 B.2x 4 -3x 2 C.4x 4 +x 2 D.4x 4 -x 2 【 解析 】 选 A. 令 t= ， t≥0 ，得 x= ， 故有 f(t)=8× -2× -1 ， 整理得 f(t)=2t 4 +3t 2 ，即 f(x)=2x 4 +3x 2 ， x≥0. 3.( 教材二次开发：复习巩固改编 ) 已知函数 f(x)=x- ，且此函数的图象过点 (5 ， 4) ，则实数 m 的值为 _______.  【 解析 】 因为函数 f(x)=x- 的图象过点 (5 ， 4) ， 所以 4=5- ，解得 m=5. 答案： 5 4. 已知函数 y=f(x) 的对应关系如表所示，函数 y=g(x) 的图象是如图的曲线 ABC ，其中 A(1 ， 3) ， B(2 ， 1) ， C(3 ， 2) ，则 f(g(2)) 的值为 ___________.  x 1 2 3 f(x) 2 3 0 【 解析 】 由函数 g(x) 的图象知， g(2)=1 ， 则 f(g(2))=f(1)=2. 答案： 2 5. 作出下列函数的图象，并求其值域： (1)y=1-x(x∈Z ，且 |x|≤2). (2)y=2x 2 -4x-3(0≤x<3). 【 解析 】 (1) 因为 x∈Z ，且 |x|≤2 ，所以 x∈{-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2} ， 所以该函数图象为直线 y=1-x 上的孤立点 ( 如图① ). 由图象知， y∈{-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}. (2) 因为 y=2(x-1) 2 -5 ，所以当 x=0 时， y=-3 ； 当 x=3 时， y=3 ；当 x=1 时， y=-5. 因为 x∈[0 ， 3) ，故图象是一段抛物线 ( 如图② ). 由图象可知， y∈[-5 ， 3).