高考数学考点27几何体的体积试题解读与变式

高考数学考点27几何体的体积试题解读与变式

考点 27 几何体的体积 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: 1.1 多面体的体积公式 名称 体 积 (V ) 棱 柱 棱柱 S底 · h = S直截面 ·l 直棱柱 S底 · h 棱 锥 棱锥 3 1 S底 · h 正棱锥 棱 台 棱台 3 1 h ( S上底 + S下底 + SS 上底 下底 )正棱台 表中 S 表示面积， ',c c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长. 1.2 旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 V 2r h (即 2r l ) 21 3 r h  2 2 1 1 2 2 1 3 h r rr r   34 3 R 表中l 、 h 分别表示母线、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 1 2,r r 分别表示圆台 上、 下底面半径， R 表示半径. 1.3 求体积常见方法 ①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化， 把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分 割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换 法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比； （ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三 棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方. 求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥 三棱柱 平 行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 1：2：3 和等积变换法(平 行换点、换面)和比例(性质转换)法等. 1.4 以三视图为载体的几何体的体积问题 根据三视图，画出对应几何体的直观图，根据三视图确定几何体中点、线、面的位置关系及 有关量的值，分析几何体的构成，根据几何体的构成特点，确定求体积的方法，求出几何体 的体积. 2.命题规律展望：几何体的体积是高考考查的重点和热点，主要以三视图为载体考查简单几 何体的体积或以球与多面体、旋转体切接为载体考查几何体或球体的体积，难度为容易、中 档或难题，题型为选择、填空题，分值为 5-10 分. 二、题型与相关高考题解读 1.多面体的体积 1.1 考题展示与解读 例 1 【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三 角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA， △FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单 位：cm3）的最大值为_______. 【命题意图探究】本题主要考查锥体体积的计算及利用导数求体积的最值，是难题. 【答案】 4 15 【解析】如下图，设正三角形的边长为 x，则 1 3 3 2OG x  3 6 x .  35 6FG SG x   ， 2 2 2 2 3 35 6 6SO h SG GO x x                   35 5 3       三棱锥的体积 21 1 3 35 53 3 4 3ABCV S h x x           4 515 3512 3x x  . 令   4 535 3n x x x  ，则   3 45 3' 20 3n x x x  ， 令  ' 0n x  ， 4 34 0 3 xx   ， 4 3x  ， max 75 48 5 4 4 1512V      . 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】对与几何体体积有关的综合问题，先根据题意设出量，根据几何体的性质 求出几何体的体积，利用函数求最值的方法求出体积的最值. 1.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】在正方体 中， 为 中点， 为 的中点， ， 则三棱锥 的体积为__________． 【答案】 【变式 2：改编结论】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此 三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的体积是V ，那么三棱柱的体积是（ ） A. 2V  B. V  C. 2 V  D. 3 V  【答案】C 【解析】设圆的半径为 R，等腰直角三角形的边长为 2 R，设三棱柱的体积为V柱 ，则  22 1V= R , = 2R2h V h 柱 ， 2 2 R 1= =V V h VVR h   柱 柱 ，故选 B 【变式 3：改编问法】将一张边长为 6cm 的纸片按如图 1 所示的阴影部分截去四个全等的等 腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底 面的射影为正方形的中心）模型，如图 2 放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图 3）， 则正四棱锥的体积是（ ） A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 【答案】A 2.以三视图为背景的几何体体积问题 2.1 考题展示与解读 例 2【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． 90 B．63 C．42 D．36 【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积的计算，是基础题. 【答案】B 【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱， 其体积 2 1 3 4 36V      ，上半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱的一半，其体 积  2 2 1 3 6 272V       ，该组合体的体积为： 1 2 36 27 63V V V        。故 选 B。 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】先根据三视图画出几何体的直观图，确定各量的值和几何体中点线面的位 置关系，再运用相关公式计算几何体的体积. 2.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ） A. 16 4 B. 16 2 C. 48 4 D. 48 2 【答案】B 【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为 1 4 4 33     21 1 2 3 16 22 3       ，故选 B. 【变式 2：改编结论】如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的 三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ） A． B． C． ﹣2 D．2 【答案】B 【变式 3：改编问法】已知空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积 12+4π，则该几 何体的表面积是 ． 【答案】28+8π 【解析】根据三视图可知几何体是组合体：后面是直三棱柱、前面是半个圆柱，且圆柱的底 面圆半径是 2，母线长是 x ，三棱柱的底面是直角三角形：直角边分别是 4、3，斜边是 5， 三棱柱的高是 x ，则该几何体的体积 V= xx   2 1242 1 =12+4π，解得 2x ，∴该几 何体的表面积 S= +π×22+π×2×2=28+8π. 3.传统文化与几何体的体积结合问题. 3.1 考题展示与解读 例 3.【2015 高考新课标 1，理 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米 堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米 的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ） (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 【命题意图探究】本题主要考查传统文化与简单几何体体积，是基础题. 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为 r，则 1 2 3 84 r   = 16 3r  ，所以米堆的体积为 21 1 163 ( ) 54 3 3     = 320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选 B. 【解题能力要求】传统文化阅读理解、运算求解能力 【方法技巧归纳】传统文化与几何体的体积结合问题，认真阅读题目，将问题转化为简单几 何体的体积问题，利用简单几何体的体积公式计算. 3.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为 矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 仗长 仗；上棱长 仗，高一丈，问它的体积是多少？”已 知 丈为 尺，现将该锲体的三视图给出右图所示，齐总网格纸小正方形的边长 1 丈，则该 锲体的体积为（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 【答案】A 【变式 2：改编结论】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一 种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为12.6（立 方寸），则图中的 x 为（ ） A. 1.2 B. 1.6 C. 1.8 D. 2.4 【答案】B 【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：   215.4 3 1 12.62x x          ， 1.6x  ，故选 B. 【变式 3：改编问法】堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如 下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高若干丈，其积为 46500 立方尺，问表 面积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为 2 丈，长为 18 丈 6 尺，高为若干丈尺，它 的体积是 46500 立方尺，问其表面积多少平方尺？”（注：一丈=十尺）．答案是 。 【答案】 8749508870  【解析】由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，设其高为 h ，其体积为 h186202 1  =46500 立方尺，解得 25h ，则表面积为 25)2018618620(186202 12 22  = 8749508870  ． 4.旋转体的体积问题 4.1 考题展示与解读 例 4【2015 高考山东，理 7】在梯形 ABCD 中， 2ABC   ， / / , 2 2 2AD BC BC AD AB   .将梯 形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） 2 3  （B） 4 3  （C） 5 3  （D） 2 【命题意图探究】本题主要考查圆柱、圆锥的定义及其体积公式，是容易题. 【答案】C 【解析】直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面 半径为 1，母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是 1、高为 1 的圆锥后得到的组合体， 所以该组合体的体积为： 2 21 51 2 1 13 3V V V            圆柱 圆锥 ,故选 C. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】对旋转体的体积问题，常利用旋转体的轴截面，根据题中的条件求出底面 半径和高，利用体积公式即可求出体积. 4.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积 为( ) A. 32 3  B. 3 C. 16 3  D. 8 3  【答案】D 【解析】球的半径为 2，圆锥的半径为 2，高为 2；则 V=V 半球-V 圆锥= 31 4 1 82 4 22 3 3 3       ＝ ， 故选 D. 【变式 2：改编结论】在梯形 ABCD 中， 2ABC   , / /AD BC , 2 2 2BC AD AB   .将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的 几何体的体积为( ) A. 2 3  B. 4 3  C. 5 3  D. 2 【答案】C 【解析】 2 21 51 2 1 13 3V         ，答案选 C. 【变式 3：改编问法】竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六 成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈ L2h．它 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3．那么，近似公式 V≈ L2h 相当于将 圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面周长 L=2πr，∴r= ，∴ V= = ．令 = L2h，得π= ，故选 A． 三、课本试题探源 必修 2 P35 页复习参考题 A 组 第 5 题：如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆 柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是V ，底面直径与母线长相等，那么三 棱柱的体积是多少？ 四．典例高考试题演练 1.【2018 届广东省揭阳市惠来县一中上期第一次月考】某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为（ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 D. 2 3 【答案】B 【解析】几何体为一个四棱锥，髙为 1，底面为边长为 1 的正方形，所以体积为 21 11 13 3    ， 选 B. 2.【2018 届江西省南昌市上学期摸底考】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗 虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. 4 3 B. 2 3 C. 8 3 D. 4 【答案】B 【解析】由已知可得该几何体为红色部分的三棱锥，故其体积为 1 1 22 1 23 2 3V       ， 故选 B. 3.【2018 届衡水金卷全国高三大联考】已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等 腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的 组合体，故其体积 ，故选 A. 4.【2018 届浙江省温州市一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位： ） 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体， 其中半圆柱底面半径为 ，高为 ，体积为 ，四棱锥体积为 ，所以 该几何体体积为 ，故选 A. 5.【2017 届陕西西安一模】）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视 图中的 x 的值是（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 6.【2017 届广东花都区二模】一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等 边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】此几何体是底面积是 S= =1 的三棱锥，与底面是边长为 2 的正方形的四棱 锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为 ，∴V= = ， 故选 B. 7.【2017 届江西新余二模】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 8.【2017•贵阳二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．16π﹣ B．16π﹣ C．8π﹣ D．8π﹣ 【答案】D 【解析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴该几何体的体积 V= ﹣ =8π﹣ ，故选：D． 9.【2017 届湖北模拟】如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，过点 D1、E、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 V1、V2（V1＜V2），则 V1：V2=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F 的截面下方体积为 ﹣ = ，∴另一部分体积为 8a3﹣ = ，∴V1：V2= ，故选 C． 10.【2017 届江西一模】我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道： “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何 体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如 下图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体 BB1C1﹣AA1D1 和四分之一圆柱体 AA1B1﹣ DD1C1 公共部分的体积 V，若图中正方体的棱长为 2，则 V=（ ） （在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得 面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2，截得锥体所得面积为 S3， ， ⇒S2 ﹣S1=S3） A． B． C．8 D． 【答案】A 11.【2017 届安徽六安模拟】将一块边长为 10 的正方形铁片按图 1 所示的阴影部分裁下， 用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个底面边长为 x 的正四棱锥形容器（如图 2），则 函数 f（x）= 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知 EF=5，OF= ，∴四棱锥的高 OE= ，∴VE﹣ABCD= S△ ABC•OE= ．∴f（x）= = = ，∵ ≤ = ，当且仅当 =25﹣ 即 x=5 时取等号．∴fmax（x） = = ，故选 C． 12.【2018 届广东省深圳市南山区上学期入学摸底考】某组合体的三视图如图所示，其中正 视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 1，则该多面体的体积是 __________. 【答案】 4 3 【解析】几何体为如图，两个三棱锥和一个正方体的组合体，所以 1 1 42 1 13 2 3V       13.【2017 届福建厦门二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． 【答案】 【解析】由三视图得到几何体是三棱柱割去一个三棱锥剩下的几何体：如图所示，几何体的 体积为 . 14.【2018 届黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学第一次月考】若球O 的直径CD ，点 ,A B 在 球面上， 090AOB  ， CD  平面 AOB ，三棱锥 B ACD 的体积为 9，则球O 的体 积为__________． 【答案】36 【解析】 3 31 49 3, 363 3R R V R      15.【2017 届浙江温州模拟】已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的 体积为 ，表面积为 ． 【答案】 ， 【解析】根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为 2 的正方形，PE⊥面 ABCD， 且 PE=2，其中 E、F 分别是 BC、AD 的中点，连结 EF、PA，∴几何体的体积 V= = ， 在△PEB 中，PB= = ，同理可得 PC= ，∵PE⊥面 ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC， BC∩PE=E，∴CD⊥面 PBC，则 CD⊥PC，在△PCD 中，PD= = =3，同理可得 PA=3， 则 PF⊥AD，在△PDF 中，PF= = = ，∴此几何体的体积为 3 82223 1  ，∴此几何体的表面积 S=2× 2+ + + = .