2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定与性质课件新人教A版

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2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定与性质课件新人教A版

第 4 节 直线、平面平行的判定与性质 考试要求  1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理; 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1. 直线与平面平行 (1) 直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点,则称直线 l 与平面 α 平行 . (2) 判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 平面外 ______________________ __________ 平行,则该直线平行于此平面 a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α   定理 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 _______ 与该直线平行 a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β = b ⇒ a ∥ b 一条直线与此平面内的 一条直线 交线 2. 平面与平面平行 (1) 平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面 . (2) 判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面内的两 条 _________ 与 另一个平面平行,则这两个平面平行 a ⊂ α , b ⊂ α , a ∩ b = P , a ∥ β , b ∥ β ⇒ α ∥ β 相交直线 性质 定理 两个平面平行,则其中一个平面内的 直线 _______ 于 另一个平面 α ∥ β , a ⊂ α ⇒ a ∥ β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的 _______ 平行 α ∥ β , α ∩ γ = a , β ∩ γ = b ⇒ a ∥ b 平行 交线 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 平行关系中的三个重要结论 (1) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a ⊥ α , a ⊥ β ,则 α ∥ β . (2) 平行于同一平面的两个平面平行,即若 α ∥ β , β ∥ γ ,则 α ∥ γ . (3) 垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a ∥ b . 2. 三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 .(    ) (2) 若直线 a ∥ 平面 α , P ∈ α ,则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 .(    ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .(    ) (4) 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 .(    ) 解析  (1) 若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故 (1) 错误 . (2) 若 a ∥ α , P ∈ α ,则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条,故 (2) 错误 . (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故 (3) 错误 . 答案  (1) ×   (2) ×   (3) ×   (4) √ 2. ( 老教材必修 2P61A 组 T1(2) 改编 ) 下列说法中,与 “ 直线 a ∥ 平面 α ” 等价的是 (    ) A. 直线 a 上有无数个点不在平面 α 内 B. 直线 a 与平面 α 内的所有直线平行 C. 直线 a 与平面 α 内无数条直线不相交 D. 直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 解析  因为 a ∥ 平面 α ,所以直线 a 与平面 α 无交点,因此 a 和平面 α 内的任意一条直线都不相交,故选 D. 答案  D 3. ( 新教材必修第二册 P142T2 改编 ) 平面 α ∥ 平面 β 的一个充分条件是 (    ) A. 存在一条直线 a , a ∥ α , a ∥ β B. 存在一条直线 a , a ⊂ α , a ∥ β C. 存在两条平行直线 a , b , a ⊂ α , b ⊂ β , a ∥ β , b ∥ α D. 存在两条异面直线 a , b , a ⊂ α , b ⊂ β , a ∥ β , b ∥ α 解析  若 α ∩ β = l , a ∥ l , a ⊄ α , a ⊄ β , a ∥ α , a ∥ β ,故排除 A ; 若 α ∩ β = l , a ⊂ α , a ∥ l ,则 a ∥ β ,故排除 B ; 若 α ∩ β = l , a ⊂ α , a ∥ l , b ⊂ β , b ∥ l ,则 a ∥ β , b ∥ α ,故排除 C ; 故选 D. 答案  D 4. (2020· 洛阳尖子生联考 ) 设 l , m 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,且 l ⊂ α , m ⊂ β ,下列结论正确的是 (    ) A. 若 α ⊥ β ,则 l ⊥ β B. 若 l ⊥ m ,则 α ⊥ β C. 若 α ∥ β ,则 l ∥ β D. 若 l ∥ m ,则 α ∥ β 解析  对于 A , α ⊥ β , l ⊂ α ,只有加上 l 垂直于 α 与 β 的交线,才有 l ⊥ β ,所以 A 错误;对于 B ,若 l ⊥ m , l ⊂ α , m ⊂ β ,则 α 与 β 可能平行,也可能相交但不垂直,所以 B 错误;对于 C ,若 α ∥ β , l ⊂ α ,由面面平行的性质可知, l ∥ β ,所以 C 正确;对于 D ,若 l ∥ m , l ⊂ α , m ⊂ β ,则 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 D 错误 . 答案  C 5. (2019· 成都月考 ) 若平面 α ∥ 平面 β ,直线 a ∥ 平面 α ,点 B ∈ β ,则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中 (    ) A. 不一定存在与 a 平行的直线 B. 只有两条与 a 平行的直线 C. 存在无数条与 a 平行的直线 D. 存在唯一与 a 平行的直线 解析  当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A. 答案  A 6. (2019· 衡水中学开学考试 ) 如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 ________. 解析  ∵ 平面 ABFE ∥ 平面 DCGH , 又平面 EFGH ∩ 平面 ABFE = EF , 平面 EFGH ∩ 平面 DCGH = HG , ∴ EF ∥ HG . 同理 EH ∥ FG , ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 答案  平行四边形 ① 若 a ∥ c , b ∥ c ,则 a ∥ b ; ② 若 a ∥ b , b ∥ α ,则 a ∥ α ; ③ 若 a ∥ α , b ∥ α ,则 a ∥ b . 其中真命题的个数是 (    ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点一 与线、面平行相关命题的判定 【例 1 】 (1) (2019· 长沙模拟 ) 设 a , b , c 表示不同直线, α , β 表示不同平面,给出下列命题: (2) (2020· 江西红色七校联考 ) 设 m , n 是空间中两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是 (    ) A. 若 m ∥ n , n ⊂ α ,则 m ∥ α B. 若 m ⊂ α , n ⊂ β , α ∥ β ,则 m ∥ n C. 若 α ∥ β , m ⊥ α ,则 m ⊥ β D. 若 m ⊂ α , n ⊂ β , m ∥ β , n ∥ α ,则 α ∥ β 解析  (1) 对于 ① ,根据线线平行的传递性可知 ① 是真命题;对于 ② ,由 a ∥ b , b ∥ α ,可以推出 a ∥ α 或 a ⊂ α ,故 ② 是假命题;对于 ③ ,根据 a ∥ α , b ∥ α ,可以推出 a 与 b 平行、相交或异面,故 ③ 是假命题 . 故选 B. (2) 若 m ∥ n , n ⊂ α ,则 m ∥ α 或 m ⊂ α ,所以选项 A 不正确;若 m ⊂ α , n ⊂ β , α ∥ β ,则 m ∥ n 或 m 与 n 异面,所以选项 B 不正确;若 m ⊂ α , n ⊂ β , m ∥ β , n ∥ α ,则 α ∥ β 或 α 与 β 相交,所以选项 D 不正确 . 故选 C. 答案  (1)B   (2)C 规律方法  1. 判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项 . 2.(1) 结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断 . (2) 特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 . 【训练 1 】 (1) (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 设 α , β 为两个平面,则 α ∥ β 的充要条件是 (    ) A. α 内有无数条直线与 β 平行 B. α 内有两条相交直线与 β 平行 C. α , β 平行于同一条直线 D. α , β 垂直于同一平面 (2) 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,下列结论正确的是 ________( 填序号 ). ① AD 1 ∥ BC 1 ; ② 平面 AB 1 D 1 ∥ 平面 BDC 1 ; ③ AD 1 ∥ DC 1 ; ④ AD 1 ∥ 平面 BDC 1 . 解析  (1) 若 α ∥ β ,则 α 内有无数条直线与 β 平行,当无数条直线互相平行时, α 与 β 可能相交;若 α , β 平行于同一条直线,则 α 与 β 可以平行也可以相交;若 α , β 垂直于同一个平面,则 α 与 β 可以平行也可以相交,故 A , C , D 中条件均不是 α ∥ β 的充要条件 . 根据两平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则两平面平行,反之也成立 . 因此 B 中条件是 α ∥ β 的充要条件 . (2) 如图,因为 AB 綉 C 1 D 1 , 所以四边形 AD 1 C 1 B 为平行四边形 . 故 AD 1 ∥ BC 1 ,从而 ① 正确; 易证 BD ∥ B 1 D 1 , AB 1 ∥ DC 1 , 又 AB 1 ∩ B 1 D 1 = B 1 , BD ∩ DC 1 = D , 故平面 AB 1 D 1 ∥ 平面 BDC 1 ,从而 ② 正确; 由图易知 AD 1 与 DC 1 异面,故 ③ 错误; 因为 AD 1 ∥ BC 1 , AD 1 ⊄ 平面 BDC 1 , BC 1 ⊂ 平面 BDC 1 , 所以 AD 1 ∥ 平面 BDC 1 ,故 ④ 正确 . 答案  (1)B   (2) ①②④ (1) 求证: AB ∥ 平面 ECD ; (2) 求三棱锥 E - ACD 的体积 . (1) 证明  取 CD 的中点 M ,连接 EM , BM . 因为 CE = ED ,所以 EM ⊥ CD . 因为平面 ECD ⊥ 平面 BCD ,且平面 ECD ∩ 平面 BCD = CD , EM ⊂ 平面 ECD , 所以 EM ⊥ 平面 BCD . 因为 AB ⊥ 平面 BCD ,所以 AB ∥ EM . 又 EM ⊂ 平面 ECD , AB ⊄ 平面 ECD , 所以 AB ∥ 平面 ECD . (2) 解  因为原四边形 BCED 为正方形, M 为 CD 的中点,所以 BM ⊥ CD . 又因为平面 ECD ⊥ 平面 BCD ,且平面 ECD ∩ 平面 BCD = CD , BM ⊂ 平面 BCD , 所以 BM ⊥ 平面 ECD . 角度 2  直线与平面平行性质定理的应用 【例 2 - 2 】 如图,在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为线段 AD 上的任意一点 ( 不包括 A , D 两点 ) ,平面 CEC 1 与平面 BB 1 D 交于 FG . 证明: FG ∥ 平面 AA 1 B 1 B . 证明  在四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 , BB 1 ∥ CC 1 , BB 1 ⊂ 平面 BB 1 D , CC 1 ⊄平面 BB 1 D , 所以 CC 1 ∥ 平面 BB 1 D . 又 CC 1 ⊂ 平面 CEC 1 , 平面 CEC 1 与平面 BB 1 D 交于 FG , 所以 CC 1 ∥ FG . 因 为 BB 1 ∥ CC 1 , 所以 BB 1 ∥ FG . 而 BB 1 ⊂ 平面 AA 1 B 1 B , FG ⊄ 平面 AA 1 B 1 B , 所以 FG ∥ 平面 AA 1 B 1 B . 规律方法  1. 利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线 . 常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 . 2. 在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化,即从 “ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ” ,再到 “ 面面平行 ” ;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反 . 【训练 2 】 (2019· 太原一模 ) 如图,在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, M , N 分别是 BC , DE 的中点, △ ABE 是等边三角形,平面 ABE ⊥ 平面 BCE , BE ⊥ CE , BE = CE = 2. (1) 求证: CN ∥ 平面 AEM ; (2) 求三棱锥 N - AEM 的体积 . (1) 证明  如图,设 AE 的中点为 F ,连接 MF , NF . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥ BC , AD = BC . ∴ 四边形 MCNF 是平行四边形, ∴ CN ∥ MF . 又 MF ⊂ 平面 AEM , CN ⊄ 平面 AEM , ∴ CN ∥ 平面 AEM . (2) 解  如图,过点 A 作 AO ⊥ BE , O 为垂足,连接 AC . ∵ 平面 ABE ⊥ 平面 BCE ,平面 ABE ∩ 平面 BCE = BE , ∴ AO ⊥ 平面 BCE . 考点三 面面平行的判定与性质  典例迁移 【例 3 】 ( 经典母题 ) 如图所示,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点,求证: (1) B , C , H , G 四点共面; (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 证明  (1) ∵ G , H 分别是 A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点, ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线,则 GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC , ∴ GH ∥ BC , ∴ B , C , H , G 四点共面 . (2) ∵ E , F 分别为 AB , AC 的中点, ∴ EF ∥ BC , ∵ EF ⊄ 平面 BCHG , BC ⊂ 平面 BCHG , ∴ EF ∥ 平面 BCHG . 又 G , E 分别为 A 1 B 1 , AB 的中点, A 1 B 1 綉 AB , ∴ A 1 G 綉 EB , ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形, ∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG , GB ⊂ 平面 BCHG , ∴ A 1 E ∥ 平面 BCHG . 又 ∵ A 1 E ∩ EF = E , ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 【迁移 1 】 在本例中,若将条件 “ E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点 ” 变为 “ D 1 , D 分别为 B 1 C 1 , BC 的中点 ” ,求证:平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 证明  如图所示,连接 A 1 C 交 AC 1 于点 M , ∵ 四边形 A 1 ACC 1 是平行四边形, ∴ M 是 A 1 C 的中点,连接 MD , ∵ D 为 BC 的中点, ∴ A 1 B ∥ DM . ∵ A 1 B ⊂ 平面 A 1 BD 1 , DM ⊄ 平面 A 1 BD 1 , ∴ DM ∥ 平面 A 1 BD 1 , 又由三棱柱的性质及 D , D 1 分别为 BC , B 1 C 1 的中点知, D 1 C 1 綉 BD , ∴ 四边形 BDC 1 D 1 为平行四边形, ∴ DC 1 ∥ BD 1 . 又 DC 1 ⊄ 平面 A 1 BD 1 , BD 1 ⊂ 平面 A 1 BD 1 , ∴ DC 1 ∥ 平面 A 1 BD 1 , 又 DC 1 ∩ DM = D , DC 1 , DM ⊂ 平面 AC 1 D , 因此平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 解  连接 A 1 B 交 AB 1 于 O , 连接 OD 1 . 由平面 BC 1 D ∥ 平面 AB 1 D 1 , 且平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 BC 1 D = BC 1 , 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 AB 1 D 1 = D 1 O , 规律方法  1. 判定面面平行的主要方法 (1) 利用面面平行的判定定理 . (2) 线面垂直的性质 ( 垂直于同一直线的两平面平行 ). 2. 面面平行条件的应用 (1) 两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行 . (2) 两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 . 提醒  利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线 . 【训练 3 】 已知四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, AD ∥ BC , AD = 2 BC , E , F 分别为 CC 1 , DD 1 的中点 . 求证:平面 BEF ∥ 平面 AD 1 C 1 . 证明  取 AD 的中点 G ,连接 BG , FG . 因为 E , F 分别为 CC 1 , DD 1 的中点,所以 C 1 D 1 綉 CD 綉 EF , 因为 C 1 D 1 ⊂ 平面 AD 1 C 1 , EF ⊄ 平面 AD 1 C 1 ,所以 EF ∥ 平面 AD 1 C 1 . 因为 AD ∥ BC , AD = 2 BC , 所以 GD 綉 BC ,即四边形 BCDG 是平行四边形, 所以 BG 綉 CD ,所以 BG 綉 EF ,即四边形 EFGB 是平行四边形,所以 BE ∥ FG . 因为 F , G 分别是 DD 1 , AD 的中点,所以 FG ∥ AD 1 ,所以 BE ∥ AD 1 . 因为 AD 1 ⊂ 平面 AD 1 C 1 , BE ⊄ 平面 AD 1 C 1 ,所以 BE ∥ 平面 AD 1 C 1 . 又 BE ⊂ 平面 BEF , FE ⊂ 平面 BEF , BE ∩ EF = E , 所以平面 BEF ∥ 平面 AD 1 C 1 .
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